第8章 影响线及其应用1

8影响线及其应用§8.1影响线的概念§8.2静力法作影响线§8.3间接荷载作用下的影响线§8.4平面桁架的内力影响线§8.5机动法作影响线§8.6影响线的应用8.1影响线的概念根据荷载在结构上的作用位置变化与否可以将荷载分为移动荷载和固定荷载。固定荷载即荷载的大小、方向和作用位置都是固定不变的。移动荷载荷载大小、方向不变，荷载作用点随时间改变，结构所产生加速度的反应与静荷载的反应相比可以忽略。特点：结构的反应（反力、内力和变形）随荷载作用位置改变。固定荷载移动荷载影响线定义单位移动荷载下某物理量随荷载位置变化规律的图形。影响线作法平行于杆轴线的坐标表示荷载位置，用垂直于杆轴线的坐标表示反力、内力等量值C截面弯矩图物理量影响线要注意：外形、数值（单位）和符号。影响线的作法静力法，机动法（虚功法）8.2静力法作影响线静力法作结构某一反力或内力的影响线步骤：a.将单位荷载作用于结构上任意位置，并建立适当坐标系，以坐标变量x表示荷载的位置；b.用隔离体平衡法，建立所求反力或内力等量值与荷载位置x之间的函数关系式；c.作该函数的图形，即影响线符号规定：对于梁，反力一般以向上为正；轴力以拉力为正；剪力以使隔离体顺时针转动为正；弯矩以使下侧受拉为正。一般将正值的影响线画在基线上侧，负值画在基线下侧。表示当移动荷载FP=1作用于K处时，反力FAy的大小。简支单跨梁影响线：AyPlxlxFFlllx0支座的反力影响线ByxFllx0内力影响线将梁分成AC和BC段分别考虑CByxMFbblax0lxaalxlaFMAyClxFFBySClxlFFAySC反力影响线是基本的。弯矩、剪力影响线可由反力影响线导出。试作图a所示悬臂梁的FAy、MA、MC、FSC影响线。AMxAy1FC0MSC0FCMxaSC1F影响线如图：试作图a所示伸臂梁的FBy、FCy、ME、FSE、MF、FSF影响线。(a)作FBy、FCy影响线BylxFlCyxFl跨中部分与简支梁相同，伸臂部分为跨中部分的延长线。(a)作ME、FSE影响线需分AE、ED段分别考虑当力在AE段上bFMCyECySEFF当力在ED段上aFMByEBySEFF可直接利用FBy、FCy影响线分别作出ME、FSE影响线(a)作MF、FSF影响线当力在AF段上当力在FD段上0FM0SFF）（x-l-eMF1SFF伸臂部分的内力影响线与将CD段视为C端固定的悬臂梁的影响线相同。试作图a所示多跨静定梁的影响线。RDLDRSBLSBGyKMMFFFM,,,,,区分基本部分与附属部分作MK影响线ABC部分：MK=0CE部分：将CE部分作为伸臂梁EG部分：定出两点其余影响线如图：作多跨静定梁反力或内力影响线：（1）当FP=1与所求反力或内力在同一梁段上时，影响线可按该梁段为单跨静定梁直接确定。（2）当FP=1作用的梁段相对于反力或内力所在的梁段而言为其基本部分时，影响线的竖标为零。（3）当FP=1作用的梁段相对于反力或内力所在的梁段而言为其附属部分时，影响线为直线，可根据铰处的竖标为已知和支座处竖标为零的条件作出。（4）支座截面左、右两侧的弯矩影响线相同，剪力影响线是不同的。8.3间接荷载下的影响线间接荷载或结点荷载:对主梁来说，只在横梁与主梁相交处（即结点处），承受通过横梁传递过来的集中荷载荷载→纵梁→横梁(结点)→主梁→柱作图a的间接荷载作用下MC影响线将所有结点投影到（c）影响线上，然后将相邻投影点用直线相连，即（e）依据:结点处纵标与直接荷载下的影响线相同结点之间为直线例如：荷载作用在结点D、E间的板或纵梁上设FP=1直接作用在主梁上时，MC影响线在D、E处的竖标分别为yD和yE间接荷载作用下：CDEdxxMyydd故MC影响线在DE间为一直线，且该直线在D处（x=0时）的竖标值为yD，E处（x=d时）的竖标值为yE作图所示主梁的FBy、MK、FSK影响线。①作直接荷载作用下主梁上的影响线②将结点投影到上述影响线得若干投影点③将相邻投影点用直线相连，即得影响线8.4静定桁架的影响线试作图a所示桁架中反力FAy、FBy影响线以及1、2和3杆的轴力影响线。FP=1在上弦移动。作FAy、FBy影响线AylxFlByxFl故与简支梁相同作FN1的影响线在ac间移动ByN14FdFh在db间移动hdFF2AyN1在cd间移动影响线为直线作FN2，FN3的影响线如图8.5机动法作影响线8.5.1机动法作静定梁的影响线依据：刚体体系的虚位移原理去掉竖向链杆绕B点作微小转动00)(1ByPAyFxyFF)(AyxyF作简支梁C截面的弯矩MC影响线a.解除与MC相应的约束，并代一对正弯矩MCb.使体系沿MC的正向发生单位广义虚位移即为MC的影响线作C截面的剪力FSC影响线改为定向滑动连接产生虚位移后两段应相互平行机动法作影响线的步骤：（1）将与所求量值对应的约束去掉并代以该量值，使原结构成为几何可变体系；（2）使该体系沿所求量值的正向产生单位广义虚位移，则所得的虚位移图即为所求量值的影响线。用机动法作图a所示梁的FBy、MD、FSD、ME、FSE、、影响线。LSBFRSBF用机动法作多跨静定梁的影响线。RDLDRSBLSBGyKMMFFFM,,,,,8.5.2机动法作多跨超静定梁的影响线依据:功的互等定理步骤:与机动法作静定梁的影响线类似区别:静定梁:去掉约束为几何可变体系，影响线为直线连续梁:去掉一个约束后仍为几何不变体系，影响线为曲线作连续梁的反力FAy影响线梁的变形曲线就是FAy的影响线去掉A处相应的约束用机动法作图示连续梁的MA、FCy、MK、FSK、MD、、影响线。LSCFRSCF8.6影响线的应用8.6.1固定荷载作用下的量值集中荷载作用下的情况：叠加原理：n1iiPinPn22P11PyFyFyFyFS用其合力FR代替：RRnPn22P11PyFyFyFyFS分布荷载作用下的情况：()d()nmSqxxyx对于均布荷载：()dnmSqyxxqA阴影部分面积为A,为正8.6.2最不利荷载位置的确定使某个量值产生最大值或最小值时的荷载位置，称为该量值的最不利荷载位置。（1）单个集中荷载FP时：当FP作用于最大正值竖标处时，使S产生最大值（2）均布荷载且可任意断续布置时：均布荷载布满S影响线的所有正值部分时将产生S的最大值（3）若干个集中荷载共同作用时：将各个集中荷载分别作用于影响线的最大竖标处，然后分别求出对应的量值，进行比较图a所示的简支梁受一组间距不变的集中荷载作用，试确定K截面弯矩的最不利荷载位置和MK的最大值。使FP1、FP2、FP3、FP4分别作用于截面K处,比较MKmkN375.1975.35.425.12KMmkN2225.25.475.32625.07KMmkN47.3538.05.488.1275.3725.13KMmkN76.2738.0225.2775.33KM最不利荷载布置临界位置的判别设移动荷载群为一组大小和间距都不变的集中荷载，各影响线直线段与x轴的夹角分别为α1，α2，…，αn，逆时针为正nRn22R11RyFyFyFSFRi为第i个直线段上集中荷载的合力当荷载群整体移动微小距离时，yi的增量xiitanxyS的增量nR11R22RnnRiii1tanSFyFyFyxFn1iiRitanFxSS为极大值0x0SnRiii1tan0F0x0SnRiii1tan0FS为极小值0x0SnRiii1tan0F0x0SnRiii1tan0F异号异号当荷载从临界位置向左或向右移动微小距离时，的符号应当改变。为使求和结果变号，必须有某个集中荷载恰好位于影响线的顶点或转折处nRiii1tanF确定临界位置步骤：将集中荷载置于影响线的顶点处，利用上式判别其符合是否改变若变号，则该集中荷载为临界荷载，此时对应的荷载位置称为临界位置计算所有临界荷载位置下的量值并进行比较，其中量值最大的荷载位置即为最不利荷载位置。图a所示简支梁受列车荷载作用。试确定E截面弯矩的最不利荷载位置和ME的最大值。11tan322tan331tan3（1）当FP5作用于E截面时若荷载向左微移06.27431692325.492315220tan)6(tan)5.4(tan)(tan3215P4P3P2P1PiRiqqFFFFFF若荷载向右微移07.543169232)5.492220(314220tan)6(tan)5.4(tan)(tan325P14P3P2P1PiRiqqFFFFFF符号未变，所以FP5不是临界荷载（2）当FP4作用于E截面时若荷载向左微移07.146tan)6(tan)3(tan)(tan325P14P3P2P1PiRiqqFFFFFF若荷载向右微移03.73tan)6(tan)3(tan)(tan325P4P13P2P1PiRiqqFFFFFF符号改变，所以FP4是临界荷载mkN492922192)125.115.0(220EM同理可判别出FP1、FP2、FP3设FPcr为临界荷载，在影响线范围内其左侧的合力用表示，右侧的合力用表示，影响线为三角形LRFRRF荷载左移时0)tan(tan)(RPcrRRLFFF荷载右移时0)tan()(tanRPcrRRLFFFRPcrRLRFFFabRPcrRRLFFFab临界荷载的特点：将临界荷载归入哪一边，哪一边的平均荷载就大于或等于另一边的平均荷载。试确定例8.9中K截面最大弯矩的最不利荷载位置。（1）当FP1作用于截面K时荷载左移时2kN4.5kN06m10m荷载右移时2kN4.5kN6m10m故FP1是临界荷载mkN375.1975.35.425.12KM同理，可判断当FP2、FP3、FP4作用于K截面8.6.3简支梁的绝对最大弯矩如图a在一组间距不变的集中荷载中，任选一集中荷载FPK，设其作用位置的坐标为x。B0M由RAy()FlxaFlKAyKRK()LLMxFxMFlxaxMl（）表示FPK以左且实际作用于梁上的集中荷载对FPK作用点的力矩之和LMK0)2(dx)(dRKaxllFxM为最大值时）（xMK22lax2RKmaxK22LFlaMMl此时FPK与FR关于梁的中点对称布置简支梁的绝对最大弯矩总是发生在梁的中点附近，因此使梁跨中截面产生最大弯矩的临界荷载就是产生绝对最大弯矩的临界荷载求绝对最大弯矩步骤：（１）求出使梁的跨中截面产生最大弯矩的临界荷载（按上一节方法）；（２）对每一临界荷载，先假设梁上实际作用的荷载个数，计算其合力FR；然后移动荷载，使FPK与FR对称布置于梁中点的两侧，并注意观察此时梁上荷载有无变化；最后，计算临界荷载作用截面的弯矩，即为可能的绝对最大弯矩；（3）从上述可能的绝对最大弯矩中选出最大的，即为简支梁的绝对最大弯矩。试求例8.9中的简支梁（图8.28a）的绝对最大弯矩。考虑FP1和FP2即可（1）考虑FP1为FPK的情况a.假设FP1、FP2、FP3、FP4实际作用在梁上kN5.165.42734P3PP21PRFFFFFm67.65.161339742aFR与FP1之间的距离由于FP4移出梁外，需重新考虑b.假设FP1、FP2、FP3实际作用在梁上