高考数学总复习 第三章第1课时 任意角和弧度制及任意角的三角函数课件 理

第三章三角函数、解三角形第三章三角函数、解三角形第1课时任意角和弧度制及任意角的三角函数教材回扣夯实双基基础梳理1．任意角(1)角的概念的推广①按旋转方向不同分为______、______、______．正角负角零角②按终边位置不同分为_________和_________．(2)终边相同的角终边与角α相同的角可写成_________________________________.象限角轴线角α＋k·360°(k∈Z)或α＋k·2π(k∈Z)思考探究1．终边相同的角相等吗？提示：不一定相等．终边相同的角有无数个，它们相差360°的整数倍．2．弧度与角度的互化(1)1弧度的角长度等于_________长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，用符号rad表示．半径(2)角α的弧度数如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么角α的弧度数的绝对值是|α|＝lr.(3)角度与弧度的换算①1°＝______rad；②1rad＝(180π)°.π180(4)弧长、扇形面积的公式设扇形的弧长为l，圆心角大小为α(rad)，半径为r，则l＝rα，扇形的面积为S＝______＝_______.12lr12r2α3．任意角的三角函数(1)定义：设角α的终边与单位圆交于P(x，y)，则sinα＝___,cosα＝___,tanα＝_____(x≠0)．yxyx(2)几何表示：三角函数线可以看作是三角函数的几何表示．正弦线的起点都在______上，余弦线的起点都是______，正切线的起点都是____________________________．x轴原点单位圆与x轴正半轴的交点课前热身答案：D1．已知角α的终边上一点A(2,2)，则α的大小为()A.π4B.π6C．k·360°＋45°，k∈ZD．k·360°＋30°，k∈Z2．已知角α的余弦线是单位长度的有向线段，那么角α的终边在()A．x轴上B．y轴上C．直线y＝x上D．直线y＝－x上解析：选A.|cosα|＝1，则角α的终边在x轴上．故选A.3．若4π＜α＜6π且α与－23π终边相同，则α＝________.答案：163π4．已知角θ的终边上一点P(m，－2),且OP＝4，则tanθ＝________.解析：依题意得OP＝m2＋4＝4，∴m2＝12，得m＝±23，∴tanθ＝±33.答案：±33考点探究讲练互动考点突破弧度制的应用已知半径为10的圆O中，弦AB的长为10.(1)求弦AB所对的圆心角α的大小；(2)求α所在的扇形弧长l及弧所在的弓形的面积S.例1【解】(1)由⊙O的半径r＝10＝AB知，△AOB是等边三角形，∴α＝∠AOB＝60°＝π3.(2)由(1)可知α＝π3，r＝10，∴弧长l＝α·r＝π3×10＝10π3，∴S扇形＝12lr＝12×10π3×10＝50π3，而S△AOB＝12·AB·1032＝12×10×1032＝5032，∴S＝S扇形－S△AOB＝50π3－32.【题后感悟】在弧度制下，弧长公式为l＝α·r，扇形面积公式为S＝12l·r＝12α·r2，α为圆心角，α∈(0,2π)，r为半径，l为弧长．备选例题(教师用书独具)已知扇形周长为10，面积是4，求扇形的圆心角．例【解】设圆心角是θ，半径是r，则2r＋rθ＝1012θ·r2＝4⇒r＝1θ＝8或r＝4θ＝12.又∵θ∈(0,2π)，∴θ＝8舍去，∴r＝4θ＝12.即圆心角为12.变式训练1．已知扇形周长为40，当它的半径和圆心角取何值时，才使扇形面积最大？解：设圆心角是θ，半径是r，则2r＋rθ＝40，S＝12θ·r2＝12r(40－2r)＝r(20－r)≤(202)2＝100，当且仅当r＝20－r，即r＝10时，Smax＝100.∴当r＝10，θ＝2时，扇形面积最大．即半径为10，圆心角为2时，扇形面积最大．已知sin2θ＜0，且|cosθ|＝－cosθ,问点P(tanθ，cosθ)在第几象限？三角函数值的符号例2【解】由|cosθ|＝－cosθ知cosθ≤0，①又sin2θ＜0，即2sinθcosθ＜0.②由①②可推出sinθ＞0cosθ＜0.因此θ在第二象限，P(tanθ，cosθ)在第三象限．【题后感悟】(1)熟练掌握三角函数的符号法则是解决此类题目的关键．(2)由三角函数符号判断角所在象限，在写角的集合时，注意终边相同的角．备选例题(教师用书独具)若θ是第二象限角，试判断sincosθcossin2θ的符号是什么？例【解】∵2kπ＋π2＜θ＜2kπ＋π(k∈Z)，∴－1＜cosθ＜0,4kπ＋π＜2θ＜4kπ＋2π，－1≤sin2θ＜0，∴sin(cosθ)＜0，cos(sin2θ)＞0.∴sincosθcossin2θ＜0.∴sincosθcossin2θ的符号是负号．变式训练2．若θ是第四象限角，试判断sin(cosθ)·cos(sinθ)的符号．解：∵θ是第四象限角，∴0＜cosθ＜1＜π2，－π2＜－1＜sinθ＜0.∴sin(cosθ)＞0，cos(sinθ)＞0，∴sin(cosθ)·cos(sinθ)＞0.三角函数的定义例3已知角α的终边上一点P(－3，m)(m≠0)，且sinα＝2m4，求cosα，tanα的值．【解】由题设知x＝－3，y＝m，∴r2＝|OP|2＝(－3)2＋m2，得r＝3＋m2，从而sinα＝mr＝2m4＝m22，∴r＝3＋m2＝22，于是3＋m2＝8，解得m＝±5.当m＝5时，r＝22，x＝－3，sinα＝522＝104.∴cosα＝－322＝－64，tanα＝－153；当m＝－5时，r＝22，x＝－3，sinα＝－522＝－104.∴cosα＝－322＝－64，tanα＝153.【题后感悟】定义法求三角函数值的两种情况：(1)已知角α终边上一点P的坐标，则可先求出点P到原点的距离r，然后用三角函数的定义求解．(2)已知角α的终边所在的直线方程，则可先设出终边上一点的坐标，求出此点到原点的距离，然后用三角函数的定义来求相关问题．若直线的倾斜角为特殊角，也可直接写出角α的三角函数值．备选例题(教师用书独具)角α终边上一点P(4m，－3m)(m≠0)，则2sinα＋cosα的值为________．例【解析】由题意，有x＝4m，y＝－3m，所以r＝4m2＋－3m2＝5|m|.①当m＞0时，r＝5m，sinα＝－35，cosα＝45，则2sinα＋cosα＝－65＋45＝－25.②当m＜0时，r＝－5m，sinα＝35，cosα＝－45，则2sinα＋cosα＝65－45＝25.【答案】±25变式训练3．若角θ的终边与函数y＝－2|x|的图象重合，求θ的正弦、余弦、正切值．解：θ为第三象限角时，tanθ＝yx＝2.又sin2θ＋cos2θ＝1，解得sinθ＝－255，cosθ＝－55；θ为第四象限角时，tanθ＝yx＝－2，又sin2θ＋cos2θ＝1，解得sinθ＝－255，cosθ＝55.方法技巧1．在利用三角函数定义时，点P可取终边上任一点，如有可能则取终边与单位圆的交点．|OP|＝r一定是正值．方法感悟2．(1)三角函数线是有向线段，在用字母表示时，应分清其起点、终点，其顺序不能颠倒(如课前热身2题)．(2)三角函数曲线即三角函数的图象，与三角函数线是不同的概念，不要混淆．失误防范1．注意易混概念的区别：第一象限角、锐角、小于90°的角是概念不同的三类角．第一类是象限角，第二、第三类是区间角．2．角度制与弧度制可利用180°＝πrad进行互化，在同一个式子中，采用的度量制度必须一致，不可混用．3．注意熟记0°～360°间特殊角的弧度表示．考向瞭望把脉高考命题预测从近几年的高考试题来看，以三角函数的定义为载体，求三角函数值成为这几年高考热点，试题一般以基础题为主，难度不会太大，属于低、中档题目．预测2013年高考对三角函数定义及三角函数符号仍会考查．(2011·高考课标全国卷)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x轴的正半轴重合，终边在直线y＝2x上，则cos2θ＝()A．－45B．－35C.35D.45典例透析例【解析】设Pt，2tt≠0为角θ终边上任意一点，则cosθ＝t5|t|.当t0时，cosθ＝55；当t0时，cosθ＝－55.因此cos2θ＝2cos2θ－1＝25－1＝－35.【答案】B【得分技巧】解答本题在于两点：一是用P(t,2t)(t≠0)表示角θ终边上任意一点；二是利用定义写出cosθ.【失分溯源】解答本题失分原因，原因一不知在终边y＝2x上找点；原因二想不到对参数t分类讨论．