高考数学总复习 第九章第3课时 二项式定理课件

第3课时二项式定理教材回扣夯实双基基础梳理1．二项式定理(1)二项式定理公式(a＋b)n＝_________________________________________________叫做二项式定理．(2)二项展开式的通项Tk＋1＝Cknan－kbk为展开式的第________项．k＋1C0nan＋C1nan－1b＋…＋Cknan－kbk＋…＋Cnnbn(n∈N*)思考探究在公式中，交换a，b的顺序对各项是否有影响？提示：从整体看，(a＋b)n与(b＋a)n相同，但具体到某一项是不同的，如(a＋b)n的第k＋1项Tk＋1＝Cknan－kbk，(b＋a)n的第k＋1项T′k＋1＝Cknbn－kak.2．二项式系数的性质(1)对称性：与首、末两端________的两个二项式系数相等，即______________.(2)增减性与最大值：二项式系数C，当__________时，二项式系数是递增的；当__________时，二项式系数是递减的．等距离Cmn＝Cn－mnknkn＋12k≥n＋12当n是偶数时，____________取得最大值．当n是奇数时，中间两项_______和______相等，且同时取得最大值．中间一项(3)各二项式系数的和(a＋b)n的展开式的各个二项式系数的和等于2n，即C0n＋C1n＋…＋Cnn＝____.二项展开式中,偶数项的二项式系数的和____奇数项的二项式系数的和，即C0n＋C2n＋…＝C1n＋C3n＋…＝________.2n等于2n－1课前热身1．(2011·高考福建卷)(1＋2x)5的展开式中，x2的系数等于()A．80B．40C．20D．10解析：选B.(1＋2x)5的第r＋1项为Tr＋1＝Cr5(2x)r＝2rCr5xr，令r＝2，得x2的系数为22·C25＝40.2.12x2－2x310的展开式中的常数项是()A．210B.1052C.14D．－105解析：选B.Tr＋1＝Cr10(2x3)r－12x210－r＝Cr102r－1210－rx3r－20＋2r，令3r－20＋2r＝0，得r＝4，所以常数项为T5＝C41024－1210－4＝1052.3．(2012·荆州质检)(x＋y)12的展开式中，与第3项系数相等的项是第________项．答案：11解析：Tr＋1＝Cr12x12－ryr，r＝2时，C212＝C1012，C1012为第11项的系数．4．(2012·开封调研)在(x－a)10的展开式中，含x7项的系数是15，则实数a＝________.解析：Tr＋1＝Cr10x10－r(－a)r，由C310(－a)3＝15得a＝－12.答案：－12考点探究讲练互动考点突破二项展开式中的特定项或特定项的系数(1)已知f(x)＝(ax＋2)6，f′(x)是f(x)的导数，若f′(x)的展开式中x的系数大于f(x)的展开式中x的系数，则a的取值范围是()例1A．a＞25或a＜0B．0＜a＜25C．a＞25D．a＞52或a＜0(2)(2011·高考山东卷)若x－ax26展开式的常数项为60，则常数a的值为________．【解析】(1)f(x)的展开式中x的系数是C5625a6－5＝192a，f′(x)＝6(ax＋2)5·(ax＋2)′＝6a(ax＋2)5，f′(x)的展开式中x的系数是6aC4524a5－4＝480a2，依题意得480a2＞192a⇒a＞25或a＜0，故选A.(2)x－ax26展开式的通项为Tr＋1＝Cr6x6－r(－1)r(a)r·x－2r＝Cr6x6－3r(－1)r·(a)r.令6－3r＝0，得r＝2.故C26(a)2＝60，解得a＝4.【答案】(1)A(2)4【题后感悟】求二项展开式中的特定项，一般是利用通项公式进行，化简通项公式后，令字母的指数符合要求(求常数项时，指数为零；求有理项时，指数为整数等)，解出项数k＋1，代回通项公式即可．备选例题例已知在3x－123xn的展开式中，第6项为常数项．(1)求n；(2)求含x2的项的系数；(3)求展开式中所有的有理项．【解】(1)通项公式为Tk＋1＝Cknxn－k3－12kx－k3＝Ckn－12kxn－2k3.因为第6项为常数项，所以k＝5时，n－2×53＝0，即n＝10.(2)令10－2k3＝2，得k＝2，故含x2的项的系数是C210－122＝454.(3)根据通项公式，由题意10－2k3∈Z0≤k≤10k∈N，令10－2k3＝r(r∈Z)，则10－2k＝3r，k＝5－32r，∵k∈N，∴r应为偶数．∴r可取2,0，－2，即k可取2,5,8，∴第3项，第6项与第9项为有理项，它们分别为C210－122x2,C510－125,C810－128x－2.变式训练1．(1＋2x)3(1－x)4展开式中x2的系数为________．解析：∵(1＋2x)3(1－x)4展开式中x2项为C0313(2x)0·C2412(－x)2＋C1312(2x)1C1413(－x)1＋C2311(2x)2C0414(－x)0，∴所求系数为C03·C24＋C13·2·C14(－1)＋C23·22·C0414＝6－24＋12＝－6.答案：－6最大系数与系数最大项的求法例2二项式(1＋sinx)n的展开式中，末尾两项的系数之和为7，且系数最大的一项的值为52，则x在[0,2π]内的值为________．【解析】二项式(1＋sinx)n的展开式中，末尾两项的系数之和Cn－1n＋Cnn＝1＋n＝7，∴n＝6，系数最大的项为第4项，T4＝C36(sinx)3＝52，∴(sinx)3＝18，∴sinx＝12.又x∈[0,2π]，∴x＝π6或56π.【答案】π6或56π【题后感悟】求形如(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法，设展开式的各项系数分别为A0，A1，A2，…，且第k＋1项系数最大．由Ak≥Ak－1Ak≥Ak＋1解出k，即得系数最大项．备选例题例已知(3x＋x2)2n的展开式的二项式系数和比(3x－1)n的展开式的二项式系数和大992.求2x－1x2n的展开式中，(1)二项式系数最大的项；(2)系数的绝对值最大的项．【解】由题意知，22n－2n＝992，即(2n－32)(2n＋31)＝0，∴2n＝32，解得n＝5.(1)由二项式系数的性质知，2x－1x10的展开式中第6项的二项式系数最大，即C510＝252.∴二项式系数最大的项为T6＝C510(2x)5－1x5＝－8064.(2)设第r＋1项的系数的绝对值最大，∴Tr＋1＝Cr10·(2x)10－r·－1xr＝(－1)rCr10·210－r·x10－2r，∴Cr10·210－r≥Cr－110·210－r＋1Cr10·210－r≥Cr＋110·210－r－1，得Cr10≥2Cr－1102Cr10≥Cr＋110，即11－r≥2r2r＋1≥10－r，解得83≤r≤113，∵r∈Z，∴r＝3.故系数的绝对值最大的项是第4项，T4＝－C310·27·x4＝－15360x4.变式训练2．(1＋2x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等，求展开式中二项式系数最大的项．解：T6＝C5n(2x)5，T7＝C6n(2x)6，依题意有C5n25＝C6n26⇒n＝8.∴(1＋2x)8的展开式中，二项式系数最大的项为T5＝C48(2x)4＝1120x4.二项式系数的性质例3在二项式x＋3xn的展开式中，各项系数之和为A，各项二项式系数之和为B，且A＋B＝72，则展开式中常数项的值为()A．6B．9C．12D．18【解析】令x＝1得各项系数的和为4n，各项的二项式系数的和等于2n，根据已知得方程4n＋2n＝72，解得n＝3.二项式的通项公式为Tr＋1＝Cr3(x)3－r3xr＝3rCr3x32－32r，显然当r＝1时，通项是常数，这个常数是9.故选B.【答案】B【题后感悟】(1)“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法，对形如(ax＋b)n、(ax2＋bx＋c)m(a、b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式各项系数之和，只需令x＝y＝1即可．(2)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝f1＋f－12，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝f1－f－12.备选例题二项式(2x－3y)9的展开式中，求：(1)二项式系数之和；(2)各项系数之和；(3)所有奇数项系数之和．例【解】设(2x－3y)9＝a0x9＋a1x8y＋a2x7y2＋…＋a9y9.(1)二项式系数之和为C09＋C19＋C29＋…＋C99＝29.(2)各项系数之和为a0＋a1＋a2＋…＋a9＝(2－3)9＝－1.(3)由(2)知a0＋a1＋a2＋…＋a9＝－1，令x＝1，y＝－1，得a0－a1＋a2－…－a9＝59，将两式相加，整理得a0＋a2＋a4＋a6＋a8＝59－12，即为所有奇数项系数之和．变式训练3．(2010·高考江西卷)(2－x)8展开式中不含x4项的系数的和为()A．－1B．0C．1D．2解析：选B.展开式的通项公式Tk＋1＝Ck8·28－k·(－x)k＝(－1)kCk828－kxk2.由k2＝4得k＝8，则含x4项的系数为1.令x＝1得展开式所有项系数和为(2－1)8＝1.故展开式中不含x4项的系数的和为1－1＝0.方法技巧方法感悟对二项式定理的再认识(1)通项为Tr＋1＝Crnan－rbr是(a＋b)n的展开式的第r＋1项，而不是第r项，这里r＝0,1，…，n.(2)二项式系数与项的系数是完全不同的两个概念．二项式系数是指C0n，C1n，…，Cnn，它只与各项的项数有关，而与a，b的值无关；而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，而且也与a，b的值有关，如(a＋bx)n的展开式中，第r＋1项的二项式系数是Crn，而该项的系数是Crnan－rbr.当然，在某些二项展开式(如(a＋b)n)中，各项的系数与二项式系数是相等的．(3)运用通项求展开式的一些特殊项，通常都是由题意列方程求出r，再求所需的某项；有时需先求n，计算时要注意n和r的取值范围及它们之间的大小关系．失误防范1．区别“项的系数”与“二项式系数”，审题时要仔细．项的系数与a，b有关，可正可负，二项式系数只与n有关，恒为正(如例1)．2．切实理解“常数项”“有理项”(字母指数为整数)“系数最大的项”等概念(如例1、2)．3．赋值法求展开式中的系数和或部分系数和，常赋的值为0，±1(如例3)．4．在化简求值时，注意二项式定理的逆用,要用整体思想看待a、b.考向瞭望把脉高考命题预测从近几年的高考试题来看，考查的重点是二项式定理的通项公式、二项式系数及项的系数；以考查基本概念、基础知识为主，如系数和、求某项的系数、求常数项、求有理项、求所含参数的值或范围等；难度不大，属于中档题和容易题，题型为选择题或填空题．预测2013年高考，求二项展开式的特定项和特定项的系数仍然是考查的重点，同时应注意二项式系数性质的应用．典例透析例(2010·高考辽宁卷)(1＋x＋x2)x－1x6的展开式中的常数项为________．【解析】x－1x6的展开式中的通项为Tk＋1＝Ck6x6－k－1xk＝(－1)kCk6x6－2k．令6－2k＝0，得k＝3，T4＝(－1)3C36＝－C36；令6－2k＝－1，得k＝72(舍)；令6－2k＝－2，得k＝4，T5＝(－1)4C46x－2＝C46x－2．∴(1＋x＋x2)x－1x6的展开