20110909电磁场与电磁波简明教程：第一章 矢量分析

电磁场与电磁波简明教程第一章矢量分析1关于本课程电磁场与电磁波是电类专业特别是电子信息工程和通信工程专业学生必修的专业基础课，是电子电气工程师必备知识。本课程从电磁工程应用角度出发，在电磁学基础上，从电磁基本定律开始，着重讲述麦克斯韦方程和正弦电磁场、电波极化和电磁辐射等电磁理论的分析方法和工程应用技术。对电波传播也作适当介绍。讲理论力求简明，讲技术注重实用。通过学习，要求学生掌握基本宏观电磁理论，具备分析和解决基本电磁工程问题的能力。本课程的数学基础是矢量分析，物理基础是麦克斯韦方程。本课程理工科院校工科专业为电磁场理论，场、波兼顾；理科专业为电动力学，侧重场。工科院校为电磁场与电磁波，电气类专业侧重场，通信、电子信息类专业侧重波。电磁场与电磁波简明教程第一章矢量分析2课程概况课程名称：电磁场与电磁波课程类型：专业基础课课程性质：必修预修课程：高等数学·矢量分析（场论）、大学物理·电磁学课内学时：54（周学时3）讲课方式：课内讲授、师生互动，辅以PPT考核方式：考试，按学校规定，建议开卷、不讨论成绩评定：按学校规定，希望卷面成绩+特别附加分：课内互动、课外作业，每次2分自选相关论文、设计制作、软件，每组10-20分参考教材：《电磁场与电场波》(谢处方，高教版）电磁场与电磁波简明教程第一章矢量分析3教学内容第1章矢量分析课程数学基础。参看教材第1章。第2章电磁基本定律课程物理基础，参看教材第2章。第3章正弦电磁场课程物理基础，参看教材第4章。第4章电磁波极化与平面波传播电磁工程应用——电波传播基础，参看教材第5、6章。第5章导行电磁波概论电磁工程应用——微波技术基础，参看教材第7章。第6章电磁辐射电磁工程应用——天线技术基础，参看教材第8章。电磁场与电磁波简明教程第一章矢量分析4学习要求不缺课。缺了，自觉补上认真听讲，学会记笔记踊跃参加课内互动多和同学交流、讨论有问题，要敢问不抄作业，不赶作业培养用数学方法分析电磁问题的能力训练综合分析问题的科学方法电磁场与电磁波简明教程第一章矢量分析51.1矢量代数1.2常用坐标系1.3标量场分析1.4矢量场分析1.5格林定理1.6亥姆霍兹定理本章内容矢量分析是研究电磁场空间分布和变化规律的基本数学工具。本章着重复习和研讨标量场梯度、矢量场散度和旋度的概念及其运算规律。电磁场与电磁波简明教程第一章矢量分析6大小或模：AA单位矢量：AAeA代数表示：AeAeAAA1.1矢量代数A矢量的几何表示大小方向都不变的矢量称为常矢量。单位矢量不一定是常矢量！1.标量和矢量标量：只有大小的量矢量：既有大小又有方向的量2.矢量的表示方法书写表示：手写体用带箭头的字母，印刷体用黑体字母几何表示：用有向线段表示电磁场与电磁波简明教程第一章矢量分析7zzyyxxAeAeAeAAAAAAAxyzcoscoscos)coscoscos(zyxeeeAA矢量的坐标分量表示coscoscoszyxAeeeezAxAAyAzxyO电磁场与电磁波简明教程第一章矢量分析8（1）矢量加减)()()(zzzyyyxxxBAeBAeBAeBA几何上，是以这两矢量为邻边的平行四边形的对角线。代数上，等于对应分量加减。直角坐标系中，矢量加减符合交换律和结合律：2.矢量的代数运算矢量的加法BAAB矢量的减法BAABB()()ABCABCABBA电磁场与电磁波简明教程第一章矢量分析9（2）标量乘矢量（3）矢量点乘zzyyxxkAekAekAeAkzzyyxxBABABAABBAcosABBA——矢量点乘符合交换律1zzyyxxeeeeee0xzzyyxeeeeeeAB矢量与的夹角ABABAB0BA//ABAB电磁场与电磁波简明教程第一章矢量分析10（4）矢量叉乘sinABeBAn)()()(xyyxzzxxzyyzzyxBABAeBABAeBABAeBAzyxzyxzyxBBBAAAeeeBAABBAsinABBABA矢量与的叉积AB坐标分量表示：行列式形式：BAABBA若，则BA//0BA若，则——叉乘不符合交换律！电磁场与电磁波简明教程第一章矢量分析11（5）矢量的混合运算CBCACBA)(CBCACBA)()()()(BACACBCBACBABCACBA)()()(——分配律——分配律——标量三重积——矢量三重积电磁场与电磁波简明教程第一章矢量分析121.2坐标系空间任一点的位置可用三条相互正交曲线的交点确定。三条正交曲线称为坐标轴，描述坐标轴的量称为坐标变量。电磁工程中常用的正交曲线坐标系是：直角坐标系圆柱坐标系球坐标系电磁场与电磁波简明教程第一章矢量分析131.直角坐标系zeyexerzyx位置矢量面积元矢量线元矢量zeyexelzyxddddzyelleSxzyxxdddddyxelleSzyxzzddddd体积元zyxVddddzxelleSyzxyyddddd坐标变量zyx,,坐标单位矢量zyxeee,,点P(x0,y0,z0)0yy（平面）oxyz0xx（平面）0zz（平面）P直角坐标系xezeyexyz直角坐标系的长度元、面积元、体积元odzdydxzyeSxxdddyxeSzzdddzxeSyyddd电磁场与电磁波简明教程第一章矢量分析142.圆柱坐标系dddddddddddddddzzzzzelleSzelleSzelleSz,,坐标变量zeee,,坐标单位矢量zeerz位置矢量zeeelzdddd线元矢量zVdddd体积元面积元矢量圆柱坐标系中的线元、面元和体积元圆柱坐标系0（半平面）0（圆柱面）0zz（平面）),,(000zP电磁场与电磁波简明教程第一章矢量分析15ddsinddd2relleSrrrddsindddrrelleSzrdddddrrelleSr3.球坐标系,,r坐标变量eeer,,坐标单位矢量rerr位置矢量dsindddrererelr线元矢量dddsind2rrV体积元面积元矢量球坐标系中的线元、面元和体积元球坐标系0（半平面）0（圆锥面）0rr（球面）),,(000rP电磁场与电磁波简明教程第一章矢量分析164.坐标单位矢量之间的关系xeyezeeezecossin0cossin0001直角坐标与圆柱坐标系eezereeesin0cossincos0001圆柱坐标与球坐标系直角坐标与球坐标系oxy单位圆直角坐标系与柱坐标系之间坐标单位矢量的关系xeyeeeoz单位圆柱坐标系与求坐标系之间坐标单位矢量的关系zeereezereeesincoscossin0xeyesinsincossincossincoscos电磁场与电磁波简明教程第一章矢量分析171.3标量场分析标量场，定义在空间区域的标量函数。该区域每一点都有确定的标量物理量与之对应。如场与时间无关，称为静态场，表示为u（x,y,z）。反之为时变场，表示为u（x,y,z,t）。1.方向导数标量场在场中某一点沿某一方向的空间变化率00coscoscos|limMluuuuullxyz，的方向余弦lcoscoscos、、特点方向导数与点位置有关，还与沿的方向有关M0lMΔl方向导数的概念表达式电磁场与电磁波简明教程第一章矢量分析18表达式zueueueuz1圆柱坐标系ureurerueursin11球坐标系zueyuexueuzyx直角坐标系2.标量场的梯度（或）graduu标量场在场中某一点的最大变化率及其最大变化方向。，，其中取得最大值的方向max|luuelluel电磁场与电磁波简明教程第一章矢量分析19•标量场的梯度是矢量场，数值是该点场的最大空间变化率，方向是最大空间变化率的方向。•梯度的旋度恒为零。•标量场在某个方向的方向导数，是梯度在该方向上的投影。•标量场的梯度垂直于通过该点的等值面）梯度的性质：梯度运算的基本公式：uufufuvvuuvvuvuuCCuC)()()()()(0电磁场与电磁波简明教程第一章矢量分析20解(1)由梯度计算公式，可求得P点的梯度为PzyxPzyxzeyexe)])([(22zyxzyxeeeeyexe22)22()1,1,1(例已知标量函数(x,y,z)=x2＋y2－z，试求：(1)该函数在点P(1,1,1)处的梯度，以及表示该梯度方向的单位矢量。(2)求该函数沿单位矢量方向的方向导数，并以点P(1,1,1)处的方向导数值与该点的梯度值作以比较，得出相应结论。ooo60cos45cos60coszyxleeee电磁场与电磁波简明教程第一章矢量分析21表征其方向的单位矢量222(1,1,1)22221333(2)(2)(1)xyzlxyzPPexeyeeeeexy(2)根据方向导数和梯度关系，沿el方向的方向导数为对于给定的P点，上述方向导数在该点取值为(1,1,1)1221222Pxyl)212221()22(zyxzyxleeeeyexeel212yx而该点的梯度值为222(1,1,1)(2)(2)(1)3Pxy电磁场与电磁波简明教程第一章矢量分析223.哈密顿算符xyzeeexyz哈密顿算符是矢量微分算子，具有矢量和偏微商双重功能,偏微商运算只对位于它后面的函数进行。直角坐标系中定义为电磁场与电磁波简明教程第一章矢量分析231.4矢量场分析1.矢量线),,(d),,(d),,(dzyxFzzyxFyzyxFxzyx矢量线方程：直观描述矢量场在空间的分布状态。其上每一点的切线方向代表该点矢量场的方向。矢量线OMFdrrrdr电磁场与电磁波简明教程第一章矢量分析242.矢量场的通量矢量场沿某一面的面积分：ndddSSFSFeSnddSeS其中：——面积元矢量；ne——面积元的法向单位矢量；dSnddFeS——穿过面积元的通量。如果面S是闭合曲面，规定曲面的法向矢量由闭合面内指向外，矢量场对闭合面的通量是),,(zyxFSdne面积元矢量SSSeFSFddn电磁场与电磁波简明教程第一章矢量分析250通过闭合面有净的矢量线穿出0有净的矢量线进入0进入与穿出闭合面的矢量线相等矢量场通过闭合面通量的三种可能结果闭合面的通量从宏观上建立了矢量场通过闭合面的通量与面内产生矢量场的源的关系。电磁场与电磁波简明教程第一章矢量分析263.矢量场的散度定量表示场空间任意点（小体积元）的通量源与矢量场（小体积元曲面的通量）的关系。定义为