第九章 应力状态分析与强度理论

第九章应力状态与强度理论本章内容何谓应力状态平面应力状态空间应力状态材料的破坏形式强度理论及其应用9-1何谓应力状态由杆件的基本变形分析可知，一般情况下，不同截面存在不同的应力，同一截面上，不同的点应力也不一样，即使同一点，不同的方向上应力也不一样。无论是强度分析还是刚度分析，都需要求出应力的极值，为了找到构件内最大应力的位置和方向，需要对各点的应力情况做出分析，一个点在各个方向上的应力分布就是点的应力状态。拉压扭转弯曲研究应力状态的方法在构件内部取微分单元体，代表一个点，分析6个微面上的应力，并且假设相互平行的微面上，应力相等。每个微面上的应力可以分解为1个正应力和2个剪应力应力状态的分类=0的平面叫作主平面.主平面上的正应力叫作主应力（1）单向应力状态：三个主应力中只有一个不为零（2）平面应力状态：若三个主应力中有两个不为零（3）空间应力状态：三个主应力都不等于零#主平面和主应力#应力状态的分类平面应力状态和空间应力状态统称为复杂应力状态可以证明，弹性体内任意一点的主平面和主应力一定存在，并且一定是唯一存在。主应力采用符号：321,,并且规定：3219-2平面应力状态一个微分六面体可以简化为平面单元体一个空间楔形体可以简化为平面三角形，斜面简化为斜边，并作受力分析，建立静力平衡方程1、斜截面上的应力0nF0tFσαdA+τxdAcosαsinα-σxdAcosαcosα+τydAsinαcosα-σydAsinαsinα=0ταdA-τxdAcosαcosα-σxdAcosαsinα+τydAsinαsinα+σydAsinαcosα=02222sincosxyxyx222cossinxyx2sincos2sincos22xyx2sincos2cossinsincosxyx例9-1一单元体如图所示，试求在=30的斜截面上的应力。3020,20a3010,MPaMPa,MP,MPayxyxMPa.sincossincosxyxyx32260206023010230102222MPa.cossincossinxyx331602060230102222、最大正应力和最大剪应力0dd令2222sincosxyxyx222cossinxyx0222cossinxyx可见在0的截面上，正应力具有极值（最大或者最小）主应力主平面由剪应力互等定理可知，两个主平面相互垂直，因此，主应力也一定互相垂直。0222cossinxyxyxxtg2200o00902202042112xyxyxtgcos2200042222xyxxcostgsin2202042112xyxyxtgcos2200042222xyxxcostgsin2222sincosxyxyx22minmax22xyxyx这就是计算主应力的公式22minmax22xyxyx由上式计算得到的2个应力极值是主应力，但是究竟是3个主应力中的哪两个，需要比较后才能下结论。最大剪应力231max注意（1）求主应力（压应力）（拉应力）2.4MPa-MPa4.4220230102301022MPa20,MPa30,MPa102222minmaxxyxyxxyxMPa4.204.42321(a)例9-2试求例9-1中所示单元体的主应力和最大剪应力。（2）求最大剪应力MPa4.204.42321MPa.max422231确定主平面的位置23010202220yxxtg'431210(a)1133002在第三象限626318020最大主应力位置000045135yxxtg22022minmax22xyxyxxminxmax313、纯剪切应力状态x13此现象称为纯剪切1359-3空间应力状态1、空间应力状态的概念三个主应力均不为零2、最大正应力和最大剪应力2311maxmax3、广义虎克定律EE横向应变纵向应变单向应力状态下有EE212111引起的应变由引起的应变由E313引起的应变由沿主应力1的方向的总应变为：213313223211111EEE1111简单应力状态比能三向应力状态比能σ1σ2σ32u9-4三维应力状态的变形比能)](2)[(21222133221232221332211Euσ1σ2σ3σmσmσmσ1-σmσ2-σmσ3-σm=+体积改变形状改变体积改变比能2)(6212)21(3232223212EEummmmmmmmmV2321133221232221)(621)](2)[(21EEuuuVf形状改变比能])()()[(61213232221Euf9-5材料的破坏形式1、材料破坏的基本形式脆性断裂和塑性屈服低碳钢铸铁轴向拉伸45轴向压缩45扭转452、材料破坏的主要因素低碳钢拉伸时45°截面上具有最大剪应力扭转时横截面周线上具有最大剪应力max#滑移线说明是剪切破坏#斜截面剪应力：45222sin#扭转时圆周上具有最大剪应力：结论：低碳钢属于剪切破坏铸铁拉伸时横截面上具有最大正应力扭转时45°截面上具有最大正应力1#轴向拉伸横截面上任意一点处于单向应力状态，横截面上正应立即为最大主应力#扭转时圆柱面上任意一点处于纯剪切状态，主应力与横截面成45°x1345结论：铸铁属于拉伸破坏9-6强度理论1、强度理论的概念对于单向应力状态，比如轴向拉压，其强度条件为：nAN0对于复杂应力状态，危险点的应力并不取决于横截面上的应力，也不仅仅取决于最大应力，而需要考虑各个方向的应力的共同作用材料破坏的主要因素与应力状态之间存在何种关系？长期生产实践中，人们提出某些假说，称为强度理论，常用的有4种2、常用的强度理论的概念（1）最大拉应力理论（第一强度理论）观点：破坏条件：强度条件：最大拉应力是引起材料断裂破坏的主要因素，即认为无论是单向或复杂应力状态，第一主应力是主要破坏因素b1脆性材料的破坏形式是断裂nb1没有考虑第2、3主应力的影响（2）最大伸长线应变理论（第二强度理论）观点：破坏条件：强度条件：最大伸长线应变是引起材料断裂破坏的主要因素，即认为无论是单向或复杂应力状态，是主要破坏因素Eb01脆性材料的破坏形式是断裂nb321考虑第2、3主应力的影响1极限应变32111E321b（3）最大切应力理论（第三强度理论）观点：破坏条件：强度条件：最大剪应力是引起材料屈服破坏的主要因素，即认为无论是单向或复杂应力状态，是主要破坏因素max231max2222045smaxsin根据应力状态分析低碳钢拉伸斜截面最大剪应力s31计入安全系数31（4）形状改变比能理论（第四强度理论）观点：破坏条件：强度条件：形状改变比能是引起材料屈服破坏的主要因素，即认为无论是单向或复杂应力状态，是主要破坏因素fufu221323222126161sfEEu轴向拉伸0321,s21323222121s21323222121综合四个强度理论eq相当应力213232221431332121121eqeqeqeq一般情况下塑性材料宜采用第三、第四强度理论脆性材料宜采用第一、第二强度理论但是，无论是塑性材料还是脆性材料，在三向拉应力接近相等状态下，都以断裂形式破坏，宜采用最大拉应力理论；在三向压应力接近相等状态下，都引起塑性变形，宜采用第三、第四强度理论。复杂应力状态下构件的强度条件的另一种形式nneq0式中：n----构件的工作安全系数；[n]----构件的许用安全系数；0---材料的极限应力；eq----相当应力；（1）通过受力分析确定构件的外力、内力、危险截面。（2）通过应力分析确定危险截面上的危险点。（3）从构件的危险点处截取单元体，计算主应力。（4）选用适当的强度理论计算相当应力eq。（5）确定材料的许用拉应力[]，将其与eq比较。3、应用强度理论的解题步骤4、强度理论的应用举例薄壁容器的强度计算由横向截面上的静力平衡条件由纵向截面上的静力平衡条件04022DpDX0201lDplY42pD21pD21pD42pD03因薄壁圆筒常用塑性材料制成，所以宜采用第三或第四强度理论][3.2][243pDpDeqeq例9-3已知一容器内压p=4MPa,平均直径D=1500mm，壁厚=30mm、]=120MPa，试校核筒壁的强度。因这是一个薄壁圆筒，且是塑性材料，故可采用最大剪应力理论。][MPa870303251432][MPa1000302514243....pD..pDeqeq筒壁的强度满足条件先计算oxy平面内的主应力，然后计算工作安全系数MPaxxxminmax14-1144021002100222222MPaMPaMPa14,114,140321例9-4从某构件的危险点处取出一单元体如图7-8a所示，已知钢材的屈服点s=280MPa.试按最大剪应力理论和形状改变比能理论计算构件的工作安全系数。（1）求主应力（2）计算工作安全系数82.1154280MPa154)14(14033313eqseqn95.1143280MPa14321442132322214eqseqn通过计算可知，按最大剪应力理论比按形状改变比能理论所得的工作安全系数要小些。因此，所得的截面尺寸也要大一些。作业9.7(c)9.8(b)(d)9.99.119.149.17