458、斯勒茨基方程

8、斯勒茨基方程SlutskyEquation价格变动效应某种商品价格的下降可能会产生两方面的影响：–一方面使该商品相对于其替代商品而言变得更便宜了，这会导致消费者增加对该商品的消费量，而减少对该商品替代品的消费量；–另一方面，使得消费者的实际收入（或购买力）上升，这也会导致该消费者增加（或减少）对商品的消费量。–前一种影响即为价格变化的替代效应，而后一种影响即为价格变化的收入效应。替代效应(Substitutioneffect):由于两种商品之间的交换比率的变化所引起的需求变化。当某种商品价格下降，消费者会用该商品去替代相对昂贵的其它商品。收入效应(Incomeeffect)：由于具有了购买力变化引起的需求变化。为了将价格变动对需求的影响分解为替代效应和收入效应，可把价格变动分为两步：第一步，相对价格发生变动，同时调整货币收入使购买力保持不变；第二步，保持相对价格不变，对购买力进行调整。“转动－移动”x2x1x2x1x最终选择初始选择转动移动x2x1初始选择2mp消费者的预算是m8.1替代效应：“转动”x1商品1价格下降，使预算线围绕A点逆时针转动消费者的预算是mx22mpAx1x2在新的价格下，购买初始商品束需要m’2mp2mpA求新预算线的表达式m’是恰好能使原消费束能支付得起的那个货币收入量，即：m’=p’1x1+p2x2m=p1x1+p2x2m’-m=x1(p’1–p1)收入和价格总是在按相同的方向变动：如果价格上升，必须提高收入才能支付得起相同的消费束。11mxp新的预算线表达式为：p’1x1+p2x2＝m＋m问题：在新的预算线上，Ｘ仍是最优选择吗？m’=m+mx2x1x2’x1’x2x1x2y2x1y1xyx2x1x2y2x1y1xyz2z1转动后的预算线上的最优选择必定是X或X右侧的某个点x2x1x2y2x1y1xy更低的p1使商品1相对便宜，导致消费者用商品2替代商品1(x1,x2)(y1,y2)是替代效应更确切地说，替代效应就是在商品1的价格变动到p’，同时货币收入变动到m’的情况下，对商品1的需求所发生的变化，即：替代效应又被称为补偿的需求变动，指由于价格上升，消费者被给予足够的收入作为补偿以购买他原有的消费束。1sx1111(,)(,)sxxpmxpm替代效应的符号如果一种商品的价格下降，那么可归因于替代效应的该商品的需求的变动一定是非负的，即：如果p1p’1,则必定有结果是。'1111(,)(,)xpmxpm10sx替代效应总是与价格作相反方向的变动。我们说替代效应是负的，就是因为由替代效应引起的需求变动方向总是同价格变动的方向相反；如果价格上升，由替代效应引起的需求就下降。替代效应的符号分析x2(x1’’’,x2’’’)初始选择(x1’’,x2’’)价格降低，替代效应一定是非负的。x1正常商品价格提高，替代效应一定是非正的。替代效应总是与价格的变动方向相反，称替代效应是负的。(x1’,x2’)x2x1x2y2x1y1xy8.2收入效应：移动zz2z1(y1,y2)(z1,z2):收入效应收入效应是商品1的价格保持在p’1上不变，同时使收入从m’变到m时对商品1需求的变动，即：如果是正常商品，则收入增加会导致需求的增加；如果是低档商品，则收入增加会减少需求。''11111(,)(,)nxxpmxpmx2x1x2y2x1y1xyz2z1转动后的预算线上的最优选择必定是X或X右侧的某个点收入效应的符号分析收入效应的符号取决于商品的属性：低档商品的收入效应为正x2x1x2’x2’’x1’x1’’(x1’’’,x2’’’)初始选择x2x1初始选择吉芬商品价格变动（下降）的效应正常商品的收入效应为负（与价格的变动方向相比）8.3需求的总变动需求的总变动，是在收入保持不变的情况下由价格变动引起的需求变动：1x1111(,)(,)xpmxpm111snxxx1111[(,)(,)]xpmxpm1111(,)(,)sxxpmxpm＋斯勒茨基方程x2x1x2y2x1y1xyzz2z1(x1,x2)(z1,z2):替代效应＋收入效应替代效应总是负的（同价格变动的方向相反），但收入效应却能在两个相反的方向上变动：如果是正常商品，111snxxx如果是低档商品，111snxxx（?）（－）（＋）（－）（－）（－）判断价格总效应的符号如果收入效应足够大，价格上升可能引起需求上升，这就是吉芬商品。吉芬商品必定是低档商品，但低档商品却不一定是吉芬商品：吉芬商品的收入效应不为负，而且还必须超过替代效应。低档商品x2x1x2’x2’’x1’x1’’(x1’’’,x2’’’)收入效应为负，但小于替代效应x2x1收入效应为负，且大于替代效应吉芬商品xzy商品类别价格的关系需求曲线形状替代效应收入效应总效应正常物品反向变化反向变化反向变化右下方倾斜低档物品反向变化同向变化反向变化右下方倾斜吉芬物品反向变化同向变化同向变化右上方倾斜不同商品的价格变化与替代和收入效应斯勒茨基（Slutsky）方程（斯勒茨基恒等式）),,(),,'(2112111mppxmppxx)],,'()',,'([)],,()',,'([211211211211mppxmppxmppxmppx该方程表明需求的总变动等于替代效应和收入效应的和。nsxxx1118.4变动率111snxxx把定义为负收入效应：1mx111smxxx等式两边都除以，得到：111111smxxxppp1p其中，代入上式，得：11mpx111111smxxxxppm这就是用变化率表示的斯勒茨基恒等式。1、'1111111(,)(,)xxpmxpmpp表示价格变动，收入保持不变时需求的变动率，即总效应；'1111111(,)(,)mxxpmxpmxxmmm3、表示价格变动，收入作出调整时的需求变动率，即收入效应。2、'1111111(,)(,)sxxpmxpmpp表示价格变动，收入调整到恰使原消费束能够支付得起的需求变动率，即替代效应；需求法则需求法则：如果一种商品的需求随着收入的增加而增加，那么这种商品的需求一定随着价格的上升而下降。消费者理论并不限制价格变动时需求变动的情况，也不限制收入变动时需求变动的情况，但它的确限制了这两种变动是如何相互作用的。8.5替代效应和收入效应的例证x2x1I1收入效应＝总效应最终预算线初始预算线完全互补完全替代x2x1初始预算线最终预算线初始选择最终选择替代效应＝总效应x1x2初始预算线最终预算线替代效应＝总效应拟线性偏好案例：价格变动的效应分析例1：设消费者每天对牛奶的需求函数为：（1）调整货币收入以保持实际购买力不变–初始均衡点：价格水平为(3,p2)，均衡商品束为(14,x2)，支付的货币为:m=120=3x14+p2x2–价格变动后：价格水平为(2,p2),均衡商品束为(16,x2’)–要使消费者购买力保持不变，则货币收入应该调整为：m’=2x14+p2x2–则在价格变动后要保持消费者购买力不变，货币收入的调整量应为：14)1(14)'('11211pxppxmmmm’=m-14=120-14=106111010),(pmmpx2,3,120'11ppm案例：价格变动的效应分析（2）计算替代效应),,()',,'(2112111mppxmppxxs=10+m’/p1’-(10+m/p1)=10+106/20-(10+120/30)=1.3)',,'(),,'(2112111mppxmppxxn（3）计算收入效应=10+m/p1’-(10+m’/p1’)=10+120/20-(10+106/20)=0.727.03.1111nsxxx总效应8.6另一种替代效应斯勒茨基替代效应（Slutskysubstitutioneffect）：在价格发生变动，而消费者的购买力保持不变以使初始的消费束仍能支付得起的情况下需求所发生的变动。希克斯替代效应（Hickssubstitutioneffect）：在价格发生变动，消费者保持效用不变的情况下需求所发生的变动。x1x2希克斯替代效应最终选择初始选择与斯勒茨基替代效应相同，希克斯替代效应也一定为负。证：令（x1,x2）为按价格（p1,p2）选择的需求束，（y1,y2）为按价格（q1,q2）选择的需求束。假设对消费者而言，两需求束无差异，即根据显示偏好定义，以下不等式不成立p1x1+p2x2p1y1+p2y2q1y1+q2y2q1x1+q2x2由此，以下两不等式必成立p1x1+p2x2≤p1y1+p2y2q1y1+q2y2≤q1x1+q2x2将以上两不等式相加，重新整理得：(q1-p1)(y1-x1)+(q2-p2)(y2-x2)≤0这里，q2＝p2，于是有：(q1-p1)(y1-x1)≤0上式说明，基于替代效应的需求变动和价格变动的方向相反。用我们所学的框架可以推导出三种需求曲线：1、马歇尔需求曲线（收入保持不变）2、斯勒茨基需求曲线（购买力保持不变）3、希克斯需求曲线（效用保持不变）8.7补偿需求曲线某消费者的效用函数为U=XY，PX=1元，PY=2元，M=40元，现存PY突然下降到1元。计算价格变动对X和Y的总效应、替代效应和收入效应。X替代：－5，收入：5Y替代：5，收入：5习题