矩阵理论第一章 线性空间与线性变换

第一章线性空间与线性变换本章中线性空间比较抽象。学习时一定要注意思想的来源，并联系所讨论的问题在平面和空间直角坐标系中的原型，要将抽象的代数概念几何直观化。“抽象不能单独起作用。在几何富有成果的科学思维中，直觉和抽象是交互为用的。”（汤川秀树，1949年诺贝尔物理奖获得者）。“用几何语言代替代数语言几乎总能做到相当的简化，并使掩埋在一大堆错综复杂计算中未被察觉的性质显现出来。”（让-迪厄多内，法国数学家）。几何方法与代数方法的融和是数学自身的需要和数学统一性的体现，也是处理工程问题的有力手段。§1、线性空间线性空间是线性代数最基本的概念之一，是矩阵论中极其重要的概念之一。它是向量空间在元素和线性运算上的推广和抽象。线性空间中的元素可以是向量、矩阵、多项式、函数等，线性运算可以是我们熟悉的一般运算，也可以是各种特殊的运算。一、从向量谈起而且这两种运算满足下面8条运算律：对于平面中的任意向量，我们已定义过加法及数乘两种运算，而且这两种运算是封闭的，即运算后的结果仍在中。2R2R(A2)()()加法结合律：，(A1)加法交换律：，2,RklR对、、，、成立(D2)()klkl分配律:2(D1)()kkk分配律1:(M2)1数乘的单位元：(M1)()()klkl数乘的结合律：具有加法单位元（零向量），使得(A3)2R具有加法逆元（负向量），使得(A4)()2R根据线性代数的知识，二维空间显然可推广到维向量空间。并且数乘所依赖的实数域也可推广到复数域。相应的向量空间分别称为实向量空间和复向量空间。CRnR2Rn我们知道，向量是特殊的矩阵。所有阶的实矩阵的集合对矩阵的加法和数乘封闭，并且也满足上述8条运算律。因此也是“实向量空间”。mnmnR不过这里的“向量”是实矩阵！！二、线性空间(LinearSpace)的概念定义1如果非空集合对于加法及数乘两种运算封闭，并且对于加法和数乘满足下面8条运算律，那么就称集合为数域上的线性空间或向量空间：VVF(A2)()()加法结合律：，(A1)加法交换律：，,VklFFC对、、，、或成立(D2)()klkl分配律:2(D1)()kkk分配律1:(M2)1数乘的单位元：(M1)()()klkl数乘的结合律：具有加法单位元（零向量），使得(A3)V具有加法逆元（负向量），使得(A4)()V注意：这里我们不再关心元素的特定属性，而且我们也不用关心这些线性运算（加法和数乘）的具体形式。例4次数不超过的所有实系数多项式按通常多项式加法和数与多项式的乘法，构成线性空间n[]nPx例3闭区间上的所有实值连续函数按通常函数的加法和数与函数的乘法，构成线性空间[,]ab[,]Cab例2所有阶的实（复）矩阵按矩阵的加法和数乘，构成线性空间。mn()mmnnCR例5所有收敛的实数数列按数列极限的加法和数乘，构成线性空间。l例6齐次线性方程组的所有解的集合构成数域上的线性空间，称为的解空间，或矩阵的核空间或零空间，即Ax()NAAxRA{(})|,nmnxRAxNAAR()KerA|(}){,,mnmnyRyAxxRARRA例7所有矩阵向量积的集合构成数域上的线性空间，称为矩阵的列空间或值域，也称为矩阵的像，即AAx()RARAIm()A例8集合不是一个线性空间。因为加法不封闭。1212{[,,1],,}TVxxxxxxR例9线性非齐次方程组的解集Axb11{|,}nmnnrnrVRCCAR不构成线性空间，这里是对应齐次方程组的一个基础解系，为的一个特解。AxbAx1,,nr1212{|(,),}VR、kR对于及，定义1212(,),=(),112211(+,++)加法212112(,+(1))kkkkk数乘判断是否构成上的线性空间.VR例10设数域为，集合为RV三、线性空间的基本性质(3),k0定理11如果是数域上的线性空间，则VF线性空间中的零向量是唯一的。(1)V线性空间中的每个向量的负向量是唯一的。(2)V(4)当时，有或kk0(5)当时，有定义12设是线性空间的非空子集。如果在中规定的加法和数乘运算下构成线性空间，则称是的（线性）子空间。UVUUVV前述矩阵的核空间显然是的子集，这说明线性空间的子集也可能是线性空间。AnR()KerA四、线性子空间(Subspace)例13集合是向量空间。它是在平面上的投影子空间。11122[,,{,,}0]TTxxxRxxx3R12oxx例14中过原点的直线是的一个子空间。3R3R定理15（子空间判别法）数域上的线性空间的非空子集是的子空间的充要条件是对中的两种运算都封闭，即VFVUUV(i)对任意的，有(ii)对任意的，有,αβUÎαβU+?,kFαU挝kαUÎ判定非空集合是否为线性空间，要验算运算的封闭性，以及8条运算律，相当地麻烦。至于判定线性空间的子集是否为线性空间，就比较方便了。,WxF例16已知是数域上的线性空间，，则集合V、VF是的一个子空间。称为由向量所生成的子空间，记为或()span,、V()L,一般地，由线性空间中的向量组所生成的线性空间记作或112212,,,sssWxR1s,,12(,,,)sspan12(,,,).sLV例17对任意，是的子空间；是的子空间。()NAmRnR()RAmnAR§2、基、坐标及坐标变换线性代数中关于向量的线性组合、线性表示、线性相关、线性无关、基、坐标等的定义和结论都可以推广到一般线性空间。尤其是坐标，能够将一般线性空间的问题转化成向量空间的问题，是一个十分有力的工具。一、线性空间的基(basis)、坐标(coordinate)和维数(dimension)VV定义1给定线性空间，如果存在中的一组向量，满足：（1）线性无关；（2）中任意向量都能由线性表示。即存在数，使则向量组就称为的一个基，系数就称为向量在此基下的坐标，基中的向量个数称为线性空间的维数，记为VV1r,,1r,,1r,,VdimVr1rF,,1r,,1r,,r11rr++几点说明（1）若把线性空间看作无穷个向量组成的向量组，那么的基就是向量组的最大无关组,的维数就是向量组的秩.VVV12{,,,}rVspan（2）若向量组是线性空间的一个基，则可表示为r,,,21VV（3）个数与线性空间的维数相等的线性无关组都是的基.VV（4）不存在有限个基向量的线性空间称为无限维线性空间.（5）的0维子空间是，1维子空间是经过原点的任意直线，2维子空间是经过原点的任意平面，3维子空间是它自身。{}3R（6）中，不经过原点的任意直线的集合显然可看成某个经过原点的直线集合（显然是1维子空间）适当平移而来，即存在和，使称为中的一个线性流形（linearManifold）MnRVV0nx¡MnRvV0,mxvmM（7）研究维向量空间，通过它的基及向量的坐标表示，就转化为研究向量空间。nRnV例2向量空间是实数域上的二维空间，其基可取为，即C1,1{}{,}|CspanabaiRibR{1,}i同时向量空间也是复数域上的一维空间，其基可取为，即C{}1|1}{CspankkCC{1}定理3数域上的线性空间中的任意向量在给定基下的坐标是唯一的。VF定理4（基的扩张定理）数域上的维线性空间中的任意一个线性无关向量组都可以扩充成的一组基。VFn12,,,(1)rαααrn＃LV或者对任意，都有线性相关。这样可由线性表示，即。与的取法矛盾。定理4的证明12{,,,}rWspanαααLº令12,,,rαααLβ否则，此即。得证。rn=+1rW则必有，使得+1+1且rrVW12,,,,rαααβL121,,,,rrααααL+线性无关。βVW?βWÎβ重复上述过程，直至得到的基12,,,nαααLV例5在线性空间中，显然是的一组基，此时多项式在这组基下的坐标就是3[]Px21231,,xx3[]Px2324xx(3,2,4).T证明也是的基,并求及在此基下的坐标。21231,(2),(2)xx123,,3[]Px分析：容易验证线性无关，因此也是的基。123,,3[]Px由高等数学中的泰勒公式，可知211231001001(2)(2)xx221232102101(2)(2)xx231234414411(2)(2)xx2123231841(2)(223184)xx所以所求坐标分别为和(,,),(,,),(1002,10441,)TTT2318(,,4).T二、基变换(changeofbasis)和坐标变换11[][]nnP,,,,111[][]nnP,,,,定义6设和是维向量空间的两个基，且存在可逆矩阵，使得V1n,,1n,,Pn则称上式为基变换公式，矩阵为基到基的过渡矩阵。对于向量空间，有1n,,P1n,,V过渡矩阵是以新基的各向量在旧基下的坐标为列向量构成的矩阵。它一定是可逆的。11[][]nnP,,,,111()nnnkk,,++()()nnP,,,,因此线性相关。出现矛盾。所以可逆。1n,,P设基在基下的坐标矩阵为，P1n,,1n,,若矩阵不可逆，则以为系数矩阵的齐次线性方程组有非零解，因此P1()Tnkk,,P那么，随着基的改变，同一个向量的坐标如何改变呢？由基的定义，在维向量空间中，任意个线性无关的向量都可以作为的一组基。对于不同的基，同一个向量的坐标是不同的．nVVnxyP定理7设维向量空间中元素在基与基下的坐标分别为，。为基到基的过渡矩阵，则成立坐标变换公式：Vn1,,n1,,n1[,,]Tnxxx1[,,]Tnyyy1,,nP1,,n1yxP即证明：111(,(,,),)nnnxxx1,,ny1(,,)nxP因为坐标唯一，所以xPy1yPx由于11nnxx由于可逆，所以也有P因为坐标唯一，所以xPy例5（续）(3,2,4)Tx由题，在基下的坐标为123,,1124301420014yPx而且，基到基的过渡矩阵为123,,123,,124014001P所以23184结果一致！例8已知矩阵空间的两组基：22R12341010(),,01010101,1010IAAAA12341111(),,11101110,0000IIBBBB求基(I)到基(II)的过渡矩阵。解：111221221001(),,00000000,1001IIIEEEE显然111221112212210(,,,10)011101AEEEEEE引入的标准基（因为四个元素可独立取值）22R类似地，211221112212210(,,,)