高等数学上复习课件

11lim0xxlimxxelim0xxe3极限的四则运算法则0220limxxxx0lim0xxlimsinxx则设,)(lim,)(limBxgAxf;)]()(lim[)1(BAxgxf;)]()(lim[)2(BAxgxf.0,)()(lim)3(BBAxgxf其中泛指任一种极限)(limxf第一章函数与极限2机动目录上页下页返回结束定理函数的极限lim()xfxA的充分必要条件是lim()lim().xxfxfxA例如，lime,lime0xxxx于是limexx不存在.因第1页，二大题的1小题课本19页3),,0,0(00为非负整数nmbannnmmmxbxbxbaxaxa110110lim小结mn00bamn0mn极限运算法则课本25页44两个重要极限0sin1lim1limsin1xxxxxx0sinlim1xxx101lim1lim1xxxxexexe]1[lim)(x0)(x)(1x第2页，三大题的1小题，2小题5定义,lim)2(如果),0(lim)3(CC如果,0lim)1(如果,1,时当特别C是比就说);(o记作是与就说是与则称.~记作是同一过程中的两个无穷小,高阶的无穷小;低阶的无穷小;同阶无穷小;等价无穷小,,设.0且是比就说5无穷小无穷小的阶等价无穷小代换6机动目录上页下页返回结束无穷小量的性质00(1)lim()lim()0;xxxxcfxcfx000(2)lim(()())lim()lim()0;xxxxxxfxgxfxgx有界函数与无穷小量的乘积仍为无穷小量.000(3)lim()()lim()lim()0;xxxxxxfxgxfxgx定理若(4)00lim()0,lim()0,xxxxfxgxc为常数,则无穷小量与无穷大量第1页，一大题的2小题第2页，二大题的1小题7常用等价无穷小,~sinxx,~tanxx,~arctanxx,~)1ln(xx,~1xex.21~cos12xx,21~11xx,~arcsinxx时当0x,1~11xnxn课本35页8000limxxxfxfx函数在连续6函数的连续性与间断点处连续在函数0)(xxf)()0()0(000xfxfxf0()fxx若在处出现如下三种情形之一:处在点0)()1(xxf无定义;)(lim)2(0xfxx不存在;)(lim)3(0xfxx).(0xf的为则称)(0xfx间断点.第1页，一大题的1小题第1页，二大题的1小题9定义1.设函数在点0limxx00)()(xxxfxfxyx0lim)()(0xfxfy0xxx存在,并称此极限为记作:;0xxy;)(0xf;dd0xxxy0d)(dxxxxf即0xxy)(0xfxyx0lim则称函数若的某邻域内有定义,在点处可导,在点的导数.机动目录上页下页返回结束第12页，五大题的（1）小题10三、导数的几何意义曲线在点的切线斜率为)(tan0xfxyo)(xfyCT0xM切线方程:法线方程:)0)((0xf第5页，一大题的3小题11函数的求导法则机动目录上页下页返回结束四、初等函数的求导问题1.常数和基本初等函数的导数)(C0)(x1x)(sinxxcos)(cosxxsin)(tanxx2sec)(cotxx2csc)(secxxxtansec)(cscxxxcotcsc)(xaaaxln(e)xex)(logxaaxln1)(lnxx1)(arcsinx211x)(arccosx211x)(arctanx211x)cot(arcx211x12一、四则运算求导法则定理1.的和、差、积、商(除分母为0的点外)都在点x可导,且)0)((xv机动目录上页下页返回结束13定理3链导法则)(ufy而xydd)(xg)(uf三、复合函数的求导法则函数的求导法则可导,且其导数为或uyxydddd.ddxu因变量对自变量求导,等于因变量对中间变量求导,乘以中间变量对自变量求导.,)(可导在点如果函数xxgu,)(可导在点xguxxgfy在点则复合函数)]([14第2页，三大题的3，4小题第6页，三大题的3，4,5小题15含抽象函数时的导数运算解[(ln)]fx(ln)(ln)fxx1(ln)fxx问题1.若存在,如何求(ln)fx的导数?由复合函数求导法则应有[(ln)]()()fxfuux()ln,uxx所以设函数的求导法则机动目录上页下页返回结束没有给出具体对应关系的函数抽象函数第10页，三大题的4小题16一、隐函数的导数若由方程可确定y是x的函数,函数为隐函数.则称此隐函数求导方法:两边对x求导(含导数的方程)y机动目录上页下页返回结束课本66页173.解隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率把方程两边分别对x求导,得第2页，三大题的4小题yxyxysinsin1即：yyxyycossinyxyycos1sin解得：第6页，三大题的4小题18()yyx1yyxe4．设函数由方程确定，求0xy1．设函数由方程确定，求()yyx1sin02xyyddyx2．求由方程所确定的隐函数的导数yxeyddyx3．求由方程所确定的隐函数的导数ddyx0222yxy193.对数求导法方法先在方程两边取对数,然后利用隐函数的求导法求出导数.--------对数求导法例.),0(sinyxxyx求设解等式两边取对数得xxylnsinln求导得上式两边对xxxxxyy1sinlncos1)1sinln(cosxxxxyy)sinln(cossinxxxxxx20二、由参数方程所确定的函数的导数)()(tytx若参数方程隐函数及由参数方程所确定的函数的导数相关变化率称此为由参数方程所确定的函数.,间的函数关系与确定xy由复合函数及反函数的求导法则得xyddtydd)()(tttyddxtddtxdd1txtyxydddddd即21机动目录上页下页返回结束解dd[cos]ddd(sin)dyybttxxattsintancosbtbtata隐函数与参数方程求导法第6页，三大题的5小题tttatabdxydsintan22tabttab3222seccossec22第2页，三大题的5小题解ddddddyytxxtttxdxdydxyd222t23定义,)(在某区间内有定义设函数xfy2.微分的定义,00在这区间内及xxx)()(00xfxxfy如果),(无关的常数是与其中成立xA0)(xxfy在点则称函数xA0dxxy相应于自变量在点0)(xxfy.d0xAyxx即可微(differentiable),A为微分系数函数的微分),(d0xf或记作微分(differential),并称为函数的增量x)(xoxAxxfyd)(d024xxfyd)(d求法1.基本微分公式xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxCdcotcsc)(cscddtansec)(secddcsc)(cotddsec)(tanddsin)(cosddcos)(sindd)(d0)(d221三、微分公式与运算法则函数的微分计算函数的导数,乘以自变量的微分.25xxxxxxxxxxxxxxxxaxxxeexaaaaxxxxd11)cotarc(dd11)(arctandd11)(arccosdd11)(arcsindd1)(lnddln1)(logdd)(ddln)(d22222.运算法则2ddddd)(ddd)(dvvuuvvuvuuvuvvuvu函数的微分),),(),((Rxvvxuu26第2页，三大题的6小题27微分中值定理机动目录上页下页返回结束罗尔定理(1)(2)(3)()(),fafb使得()0.f()fx若函数满足[,]ab在闭区间上连续;(,)ab在开区间内可导;(,)ab,则在开区间内至少存在一点第三章微分中值定理与导数的应用第12页，五大题28微分中值定理机动目录上页下页返回结束()(1)(2)(3)fxxxx()0fx4.不求函数断方程有几个实根及其所在的区间.的导数，判解在内可导，(,)(1)(2)(3)0,fff()fx[1,2][2,3]()fx是多项式函数，故在区间,上满足罗尔定理的条件.(1,2)1,1()0,f因此在区间内至少存在一点使得1()0fx即是的一个实根.内至少存在一点,(2,3)2在区间2()0,f使得2()0fx即是的一个实根.()0fx又为二次方程,最多有两个实根,()0fx恰有两个实根，29拉格朗日中值定理及其应用拉格朗日中值定理:)(满足若函数xf;],[上连续在闭区间ba;),(内可导在开区间ba(1)(2),),(内至少存在一点则在开区间ba使得))(()()(abfafbf).()()(fabafbf即微分中值定理的应用(1)证明恒等式(2)证明不等式30例3.证明不等式证:设,)1ln()(ttf中值定理条件,即因为故.)0()1ln(1xxxxx因此应有机动目录上页下页返回结束第4页，五大题31证明：令2lnfxx，显然在上满足拉格朗日中值fx,ab定理的条件，故fbfafξbaaξb即222lnlnlnξbabaaξbξ下面要证2lnxgxx在区间单减2,ee221ln0xgxx当时2exe故2222ln2ln4ξeξee即2224lnlnbabae第8页，五大题32满足条件及设函数)()(xFxf定理1型未定式型一、,00);()()(lim)3(或AxFxfax,)(),()2(的空心邻域内可导在点axFxf),(0)(lim)1(或xfax);(0)(lim或xFax;0)(xF且)()(limxFxfax则).()()(lim或AxFxfax洛必达法则2.利用洛必达法则求未定式的极限330)(xf0)(xf定理1,],[)(上连续在设函数baxfy.),(内可导在ba，内如果在0)(),()2(xfba)(xfy那么函数上在],[ba)(xfy那么函数上在],[ba单调增加;单调减少.函数的单调性与曲线的凹凸性xyOabAB)(xfyxyO)(xfyabAB,0)(),()1(xfba内如果在3.判断函数的单调性，利用单调性证明不等式第13页，二大题3小题34递增)(xf0)(xf递减)(xf0)(xf定理2,],[)(上连续在如果baxf内具有在),(ba,),(内在ba二阶导数,0)(xf若),0()(xf则.],[的上的图形是在ba凹(凸)函数的单调性与曲线的凹凸性xyOabAB)(xfyxyOabAB)(xfy4.判断函数图形的凹凸性，求拐点35机动目录上页下页返回结束注意1)若在某点