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第八章相似理论与量纲分析§8.1相似理论§8.2量纲分析§8.1相似理论流体力学的研究方法主要有三种:理论分析、实验研究、数值模拟其中,流体力学实验是发展流体力学理论,验证流体力学假说,理解流体力学现象,解决流体力学工程问题的一个重要手段。本章将探讨流体力学实验的基础理论:相似理论量纲分析§8.1相似理论一、流动相似(力学相似)为了保证模型流动(用下标m表示)与原型流动(用下标p表示)具有相同的流动规律,并能通过模型实验结果预测原型流动情况,模型与原型必须满足流动相似,即两个流动在对应时刻对应点上同名物理量具有各自的比例关系,具体地说,流动相似就是要求模型与原型之间满足几何相似、运动相似和动力相似。§8.1相似理论1、几何相似lp1lp3lp2θp3θp2θp1lm1lm3θm3θm2θm1lm2几何相似:指模型和原型流动流场的几何形状相似,即模型和原型对应边长成同一比例、对应角相等。§8.1相似理论式中称为长度比尺,则面积比尺体积比尺lpm3p3m2p2m1p1mllllllll2l2p2mpmAllAA3l3p3mpmVllVVp3m3p2m2p1m1,,l§8.1相似理论2、运动相似运动相似:指模型和原型流动的速度场相似,即两个流动在对应时刻对应点上的速度方向相同,大小成同一比例。式中称为速度比尺。up2m2p1m1uuuuum1Dmum2up1Dpup2u§8.1相似理论由于各对应点速度成同一比例,相应断面的平均速度必然有同样的比尺式中称为时间比尺。同理,其它运动学物理量的比尺2tltvpmaaapmpmppmmttvvtvtv1t2l1t3lQtlmppmppmmpmuvtltltltlvvpmtttv的单位是m/sa的单位是m/s2Q的单位是m3/s的单位是m2/s§8.1相似理论3、动力相似动力相似:指模型和原型流动对应点处质点所受同名力的方向相同,大小成同一比例。PmTmFm=mamGmGpFp=mapTpPplp2lp1lm2lm1§8.1相似理论所谓同名力,指具有相同物理性质的力,如粘滞力T、压力P、重力G等。设作用在模型与原型流动对应流体质点上的外力分别为Tm、Pm、Gm和Tp、Pp、Gp,则FpmpmpmpmFFGGPPTTpm称为密度比尺。§8.1相似理论同样,可写出其它力学量的比尺,如2v3llFM3v2lNvl2vAFp2v2laFFFmppmmpmamam§8.1相似理论模型和原型流动只要满足上述的几何相似、运动相似和动力相似条件,则两流动相似。而动力相似又可以用相似准则(相似准数)的形式来表示,换句话说,两流动在几何相似、运动相似的条件下,满足各相似准则,则模型和原型流动相似。§8.1相似理论•几何相似是运动相似和动力相似的前提;•动力相似是决定流动相似的主要因素;•运动相似是几何相似和动力相似的表现。二、相似准则流动相似的本质是原型和模型被同一个物理方程所描述,这个物理方程即相似准则方程。§8.1相似理论1、弗劳德准则——重力相似要保证原型和模型任意对应点的流体重力相似,则据动力相似要求有当流动受重力G作用时,由动力相似条件有重力代入上式整理,约简后得2p2ppp2m2mmmvlρGvlρG3glgVGpp2pmm2mlgvlgv2p2ppp2m2mmmvlρFvlρF§8.1相似理论令为无量纲数,称为弗劳德数。glvFr2上式可用弗劳德数表示为上式称为弗劳德相似准则,该式表明两流动重力相似时,模型与原型流动的弗劳德数相等。弗劳德数的物理意义在于它反映了流动中惯性力和重力之比。2、欧拉相似准则——压力相似当流动受压力P作用时,由动力相似条件2p2ppp2m2mmmvlρFvlρFpmFrFr2p2ppp2m2mmmvlρPvlρPpp2pmm2mlgvlgv§8.1相似理论2plpAP压力代入上式整理,约简后得令为无量纲数,称为欧拉数。在有压流动中,起作用的是压差Δp,故前式可用欧拉数表示为2ppp2mmmvpvp2vpEu2vpEupmEuEu§8.1相似理论上式称为欧拉相似准则,该式表明两流动压力相似时,模型与原型流动的欧拉数相等。欧拉数的物理意义在于它反映了流动中所受压力和惯性力之比。3、雷诺相似准则——粘性力相似当流动受粘滞力T作用时,由动力相似条件有2p2pp2m2mm2v2lFpmpmvlρvlρFFTT粘滞力lvdyduAT§8.1相似理论代入上式整理,约简后得式中为无量纲数,即前已介绍过的雷诺数Re。上式用雷诺数表示为上式称为雷诺相似准则,该式表明两流动的粘滞力相似时,模型与原型流动的雷诺数相等。因惯性力I=-F,故雷诺数反映了流动中惯性力和粘滞力之比。pppmmmlvlvvlpmReRe§8.1相似理论几点说明:弗劳德准则、雷诺准则和欧拉准则是工程流体力学的常用准则.一般弗劳德准则、雷诺准则为独立准则,而欧拉准则为导出准则.§8.1相似理论三、近似模型法模型实验是根据相似原理,制成与原型几何相似的模型进行实验研究,并以实验结果预测原型将要发生的流动现象。1.模型律的选择要使模型和原型流动完全相似,要求各相似准则同时满足。但要同时满足各相似准则很困难,甚至是不可能的。比如,要同时满足雷诺相似准则和弗劳德相似准则,要求23l§8.1相似理论(1)若模型与原型采用同种流体,温度也相同。则,代入上式得模型和原型的尺寸一样,实验失去了意义。(2)若模型和原型采用不同流体,长度比尺则若原型是水,模型就需选用运动粘度是水的1/31.62的流体作为实验流体,这样的流体是很难找到的。1pm,1l101l31.62pm23l§8.1相似理论模型律的选择:选择一个合适的相似准则来进行模型设计,模型律选择的原则就是保证对流动起主要作用的力相似,而忽略次要力的相似。例如:堰顶溢流、闸孔出流、明渠流动、自然界中的江、河、溪流等,重力起主要作用,应按弗劳德数相似准则设计模型;有压管流、潜体绕流以及流体机械、液压技术中的流动,粘滞力起主要作用,应按雷诺数相似准则设计模型;对于可压缩流动,应按马赫相似准则设计模型。§8.1相似理论2.模型设计进行模型设计,通常是先根据原型要求的实验范围、现有实验场地的大小、模型制作和量测条件,定出长度比尺。再根据对流动受力情况的分析,满足对流动起主要作用的力相似,选择模型律,并按所选择的相似准则,确定流速比尺及模型的流量。§8.1相似理论例8-1已知直径为15cm的输油管,流量0.18m3/s,油的运动粘度νp=0.13cm2/s。现用水作模型实验,水的运动粘度νm=0.013cm2/s。当模型的管径与原型相同时,要达到两流动相似,求水的流量Qm。若测得5m长输水管两端的压强水头差,试求100m长的输油管两端的压强差?解:(1)因圆管中流动主要受粘滞力作用,所以应满足雷诺相似准则因,上式可简化为5cmgpmmmpppmmmlvlvpmpmvv§8.1相似理论流量比尺,所以模型中水的流量为(2)流动的压降满足欧拉准则因,则5m长输油管两端的压强差为100m长的输油管两端的压强差v2lvQ3mmpp0.013QQ0.180.018m/s0.132ppp2mmmvpvppm2m2pmmmpppggvvgpgppmgg22ppm22ppmmmpvp10.190.055mggv1.0195100100m5(油柱)(油柱)§8.2量纲分析及应用一、量纲和谐原理1、量纲分析的基本概念(1)量纲流体力学中涉及到许多物理量都由两个因素构成:一是自身的物理属性,二是量度单位。我们把物理量的属性称为量纲或因次,通常用[x]表示物理量x的量纲。(2)基本量纲和导出量纲§8.2量纲分析及应用基本量纲是指具有独立性的,不能由其它基本量纲的组合来表示的量纲。对不可压缩流体,基本量纲共有三个:长度量纲L、时间量纲T和质量量纲M。导出量纲是指由基本量纲组合来表示的量纲。除长度、时间、质量和温度,其它物理量的量纲均为导出量纲。任意一个物理量x的量纲都可以用L、T、M这三个基本量纲的指数乘积来表示,即γβαMTLx§8.2量纲分析及应用2.基本量纲:具有独立性、唯一性在工程流体力学中,若不考虑温度变化,则常取质量M、长度L和时间T三个作为基本量纲。其它物理量的量纲可用基本量纲表示,如流速dimv=LT-1密度dimρ=ML-3力dimF=MLT-2压强dimp=ML-1T-1§8.2量纲分析及应用3.基本物理量:具有独立性,但不具唯一性在工程流体力学中,若不考虑温度变化,通常取3个相互独立的物理量作为基本物理量。如ρ(密度)、V(流速)、d(管径)或F(力)、a(加速度)、l(长度)等。基本物理量独立性判别任何两个物理量的组合不能推出第3个物理量的量纲,即为3个物理量相互独立。§8.2量纲分析及应用(3)无量纲量各量纲的指数为零,即α=β=γ=0时,物理量,则称x为无量纲量。4.量纲和谐原理量纲和谐原理:凡正确反映客观规律的物理方程,其各项的量纲都必须是一致的。1MTLx000§8.2量纲分析及应用凡是正确描述自然现象的物理方程,其方程各项的量纲必然相同。量纲齐次性原理是量纲分析的理论基础。工程中仍有个别经验公式存在量纲不齐次。满足量纲齐次性的物理方程,可用任一项去除其余各项,使其变为无量纲方程。凡是正确描述自然现象的物理方程,其方程各项的量纲必然相同。量纲齐次性原理是量纲分析的理论基础。工程中仍有个别经验公式存在量纲不齐次。满足量纲齐次性的物理方程,可用任一项去除其余各项,使其变为无量纲方程。如流体静力学基本方程用除其余各项,可得无量纲方程:ghpp0gh10ghpghp§8.2量纲分析及应用二、量纲分析法在量纲和谐原理基础上发展起来的量纲分析法有两种:一种为瑞利法;一种为π定理。1.瑞利法若某一物理过程与n个物理量有关,即由于所有物理量的量纲均可表示为基本量纲的指数乘积形式,因此上式中任一物理量xi可以表示为其它物理量的指数乘积形式,即0xxxxxxfn1ii1-i21,,,,,,n1i1-i21ana1ia1-ia2a1ixxxxkxx§8.2量纲分析及应用式中k为常数,a1、a2……为待定指数。上式的量纲式为n1i1-i21ana1ia1-ia2a1ixxxxxx根据量纲和谐原理,确定待定指数a1、a2……,即可求得该物理过程的方程式。例8-3已知管流的特征流速Vc与流体的密度ρ、动力粘度μ和管径d有关,试用瑞利量纲分析法建立Vc的公式结构.§8.2量纲分析及应用解:假定式中k为无量纲常数。其中,各物理量的量纲为:LdTMLMLLTVcdim,dimdim,dim1131dkVc代入指数方程,则得相应的量纲方程LTMLMLLT)()(1131根据量纲齐次性原理,有§8.2量纲分析及应用1:31:0:TLM解上述三元一次方程组得:1,1,1故得:dkVc其中常数k需由实验确定.§8.2量纲分析及应用2.π定理π定理的基本内容:若某一物理过程包含有n个物理量,存在函数关系其中有m个基本量(量纲独立,不能相互导出的物理量),则该物理过程可由(n-m)个无量纲项所表达的关系式来描述。即0xxxfn21,,,0Fm-n21,,,§8.2量纲分析及应用式中为(n-m)个无量纲数,因为这些无量纲数是用π来表示的,所以称此定理为π定理。π定理的
本文标题:第八章流体力学
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