第二章 光纤光学的基本方程

第二章光纤光学的基本方程麦克斯韦方程与亥姆霍兹方程程函方程与射线方程波导场方程模式及其基本性质波动光学理论用几何光学方法虽然可简单直观地得到光线在光纤中传输的物理图象，但由于忽略了光的波动性质，不能了解光场在纤芯、包层中的结构分布及其它许多特性。采用波动光学的方法，把光作为电磁波来处理，研究电磁波在光纤中的传输规律，可得到光纤中的传播模式、场结构、传输常数及截止条件。2.1麦克斯韦方程与亥姆霍兹方程1．电磁场的基本方程式2．电磁波的波动现象3．简谐时变场的波动方程——亥姆霍兹方程1．电磁场的基本方程式0J,0D麦克斯韦方程式的微分形式JtDHtBE0BD光纤中不存在电流和自由电荷，则有：•时变磁场可以产生时变电场•时变电场可以产生时变磁场•磁场是无源的•电场是有源的2．电磁波的波动现象DDBBH2n1n2n1n2121ttttHEE电场和磁场之间就这样互相激发，互相支持。光在光导纤维中的传播，正是电磁波的一种传播现象。在光纤中传播的电磁场满足边界条件：磁场与电场的切向和法向分量均连续，即：3．简谐时变场的波动方程——亥姆霍兹方程分离电磁矢量得到只与E或H有关的矢量波动方程利用光纤介电常数变化极为缓慢的条件简化方程为标量波动方程设光纤中传播的电磁场随时间作简谐变化，分离时空坐标，得到的波动方程就称为亥姆霍兹（Helmholtz推导这个方程的条件是：无源空间，介质是理想、均匀、各向同性而且电磁场是简谐的。3．简谐时变场的波动方程——亥姆霍兹方程0),,(),,(0),,(),,(2222zyxHkzyxHzyxEkzyxE光在光波导中传播应满足的亥姆霍兹方程式：其中k＝k0n为折射率为n的介质中的传播常数（也叫波数）。k0为真空中的波数。亥姆霍兹方程+边界条件可求出波导中光波场的场分布。书P3（1.2-8）式用波动理论研究光纤中的电磁波行为，通常有两种解法：矢量解法标量解法。矢量解法是一种严格的传统解法，求满足边界条件的波动方程的解。标量解法是将光纤中传输的电磁波近似看成是与光纤轴线平行的，在此基础上推导出光纤中的场方程、特征方程并在此基础上分析标量模的特性。2.2程函方程与射线方程光线理论：当光线在传播过程中可以不考虑波长的有限大小（即衍射现象），则能量可以看作沿一定曲线传播，电磁波的传播可以近似为平面波。方法：确定光线路径，计算相关联的强度和偏振：程函方程射线方程目的：得到任意光波导中的光线轨迹1、程函方程光程：波面走过的几何路径与折射率的乘积。平面波在任意方向传输的波函数：相位因子波函数略去时间因子同理：rkEEtirtrexp)(,0rkrk0n0000，nk)(exp)(,00rSktirtrEE)(exp)(,00rSktirHtrH由：等式左边：HE0i][00000000][00000000][][}{rSktiktirSikrSiktirSikrSikrSktierSikeerSeikeeeerErErErErErEErHrE0000rSkrHrHrHrE000000000krQ由麦克斯韦方程推导程函方程:由麦克斯韦方程其他三个方程同样处理，得到：三个矢量正交，相位梯度与波面法线方向一致。00HEr020EHnr00Hr00Er（2.2a）（2.2b）（2.2c）（2.2d）EH相位梯度利用光线理论的几何光学近似条件：将（2.2a）代入（2.2b）得到利用矢量恒等式得到0,0kCBABCACBA0}{020EEnrSrS0}{020EEnrSrS即或或相位梯度方向与光波传播方向一致，其模等于介质折射率；程函方程给出波面变化规律：在均匀介质中，光波传输方向不变；在非均匀介质中，光波传输方向随折射率变；若已知折射率分布，则可求出程函方程，从而根据等相面确定光线轨迹。2nrSrSzyxnzrSyrSxrS,,2222，22nSrnrS)(rS程函方程2、射线方程r：光线传播路径S上某点的矢径dr/ds:传播路径切线方向上单位矢量,根据相位梯度的定义，矢量dr/ds方向与相位梯度方向一致，大小等于：由程函方程rSrSdsdrrnrS)(（2.3)n(r)rSdsdr因此S(r)dsdn(r)r相位梯度等于路径切线方向上的单位光程路径Srr+drzydrxdr/ds上式对路径S求导rSdsddsdS(r)S(r)dsdr射线方程是矢量方程，表示光线向折射率大的方向弯曲。一旦给出折射率分布n(r)，就可求出光线轨迹r的表达式。S(r)dsddsdn(r)dsdr等式右边：n(r)n(r)n(r)n(r)rSrSn(r)rS223.2式n(r)dsdn(r)dsdr（2.4)故对S求导式为：切线方向上的单位光程沿路径变化率折射率梯度射线方程例1：光线在均匀媒质中的传播（如阶跃型光纤的纤心中）射线方程：因n=常数改写成：其解为矢量直线方程：a和b是常矢量，在均匀介质中光线路经沿矢量a前进，并通过r=b点。物理意义：表示光线路径的曲率变化量。表示光线路径为直线。022dsdrnbarsn(r)dsdn(r)dsdrdsddsdr0dsddsdrabrs例2：光线在折射率具有球对称分布媒质中的传播球对称：折射率仅仅是半径r的函数射线方程：推导光线走向的表达式如下：展开射线方程：rnnredrdnrnrerdrdndsdndsdrrerrdrdndsdndsddsdnr22rddsdndsddrdnndsdrrrer122据微分几何，等式左侧是光线路径的曲率矢量，其大小就是路径曲线的曲率。令曲率矢量为：代入光线方程展开式：用n乘K有:上式表明折射率梯度矢量位于光线的切面内dsddsdrRRdsderK122R1K是曲线主法线方向是曲率半径，RRedsdndsddrdnnrrreK1dsdndsdrndsdndsddrdnnrrrreKdr/dseRn’nn’n重写曲率矢量和光线方程展开式：上两矢量式点乘，第二项因两矢量正交为零，故有因曲率半径总是正的，所以等式右边必须为正：即光线前进时，向折射率高的一侧弯曲。dr/dseRn’nn’nrnrnRReK1RRdsderK122dsdndsdrndsdndsddrdnnrrrreK；2夹角小于与时，0rRrnrnee；2夹角大于与时，0rRrnrneer分量分量Z分量drrdndsdθrrndsdrrndsd202dsdrdsdθrrndsdθrndsd0dsdzrndsd（2.5a）（2.5b）（2.5c）光线方程在圆柱坐标中可分解成三个标量方程：rz0n(r)dsdn(r)dsdr光线方程：设折射率分布横截面为中心对称分布，纵向不变，则：dn/d=0,dn/dz=0例3：光线在圆柱体中的传播由上三式得光线轨迹（路径与z的关系）：rr/NrLyMxrrnn(r)drNz021202020000202001只要光纤折射率分布和入射点确定，就可计算光线轨迹。00，yx为入射点，000,,NML为入射点方向余弦，n0为入射点折射率。设（2.6）xyz小结程函方程：表示光波相位变化与介质折射率分布的关系光线在均匀介质传播路径上无方向变化；在非均匀介质传播路径上有方向变化。相位梯度方向与波矢量k方向一致，其模等于该点附近介质折射率。光线方程：光线向折射率大的方向弯曲。rnrQ22)()n(dsd)n(dsdrrr标量解法矢量解法2.3波导场方程1．标量近似在弱导波光纤中，光线几乎与光纤轴平行。因此其中的E和H几乎与光纤轴线垂直。横电磁波（TEM波）：把E和H处在与传播方向垂直的横截面上的这种场分布称为是横电磁波，即TEM波。因此可把一个大小和方向都沿传输方向变化的空间矢量E变为沿传输方向其方向不变（仅大小变化）的标量E。一、标量解法2、分离变量令代入亥姆赫兹方程得到————即光纤中的波导场方程其中：横向拉普拉斯算符横向传播常数纵向传播常数0),,(),,(22zyxkzyx0),(),(22yxyxtztnkknzcos0220222222波矢与z轴的夹角zieyxzyx),(),,(3．标量波导场方程解的推导思路（1）首先求出横向场Ey的亥姆霍兹方程（2）将其在圆柱坐标系中展开（3）用分离变量法求解横向场Ey（4）根据麦氏方程中E和H的关系可得出横向磁场Hx的解答式（5）根据电场和磁场的横向分量可用麦氏方程求出轴向场分量EZ、HZ的解答式二、矢量解法1、理论计算的三大步骤：①、利用圆柱坐标系（r,φ,z）中的亥姆霍兹方程求出Ez、Hz②、由Ez和Hz利用麦克斯韦方程组求出Er、Eφ、Hr、Hφ③、利用Eφ、Hφ在纤芯和包层交界处连续的特点，即在r=a处Eφ1＝Eφ2、Hφ1＝Hφ2求出导波特征方程。).......()().......()().......()().......()()()()()(areeWrDKareeUrBJHareeWrCKareeUrAJEztjjmmztjjmmzztjjmmztjjmmz2、矢量解法的结果其中，定义了Jm(Ur)是m阶第一类标准贝塞尔函数，Km(Wr)是m阶第二类修正贝塞尔函数。常数A、B、C、D由边界连续条件确定。2220222120,nkWnkU2.4模式及其基本性质导波模纵向传播常数模式分布横向传播常数相速度与群速度一、导波模导波光是一种特定的电磁场分布，其传输必须满足一定条件，称这种特定的电磁场分布为“模”。导波模式分类：TE横电模TM横磁模EZ=0HZ=0xEEEEHHHH芯层芯层包层包层zy导波模式分类：混合模：EHHEEzHzHzEzEB光线二、纵向传播常数对应于每一阶贝塞尔函数（m取某一确定整数），都存在多个解（以n＝1，2，…表示）,记为βmn。每一个βmn值对应于一个能在光纤中传输的光场的模式。根据不同的m与n的组合，光纤中将存在许多模式,记为HEmn或EHmn。m表示导波模式的场分量沿纤芯沿圆周方向出现最大值的个数，n表示沿径向出现最大值的个数。光线的传播角从零到临界角，传播角越小模式级别越低，沿中心轴传播的模式为零级，临界传播角模式级别最高；横模－横向场分布（表现为不同光斑花样）（2）旋转对称TEMmn