自动控制原理之根轨迹图

三、绘制根轨迹图示例七条绘制规则：1起点与终点：起始于开环极点，终止于开环零点；2分支数、连续性、对称性：分支数等于系统特征方程的阶数，根轨迹连续且对称于实轴。3实轴上的根轨迹：实轴上某线段右侧的开环零、极点的个数之和为奇数，则该线段是实轴上的根轨迹；1.4渐近线2.5在实轴上的分离点11nmijijapznm1mn,0,1,2,kmn1k2an1iim1jjP1Z1dd1.6起始角和终止角2.7与虚轴的交点3.将代入闭环特征方程，令方程两边实部和虚部分别相等，求出。11(21)jijiimnzppppjjjik11(21)jijjimnzzzpzjjjiksj以上七条规则是绘制根轨迹图所必须遵循的基本规则。此外，尚须注意以下几点规范画法。⑴根轨迹的起点（开环极点)用符号“”标示；根轨迹的终点(开环零点)用符号“o”标示。⑵根轨迹由起点到终点是随系统开环根轨迹增益值的增加而运动的，要用箭头标示根轨迹运动的方向。ipjz*K⑶要标出一些特殊点的值，如起点（)，终点（)；根轨迹在实轴上的分离点d()；与虚轴的交点（）。还有一些要求标出的闭环极点及其对应的开环根轨迹增益，也应在根轨迹图上标出，以便于进行系统的分析与综合。*K*0K*K**dKK**cKKcω1s1K例4-7已知系统的开环传递函数为试绘制该系统完整的根轨迹图。*()()(1)(2)KGsHssss32*320sssK解:(1)根轨迹的起点是该系统的三个开环极点，即P1=0,P2=-1,P3=-2,由于没有开环零点（m=0）,三条根轨迹的终点均在无穷远处。(2)该系统的特征方程为这是一个三阶系统，该系统有三条根轨迹在s平面上。三条根轨迹连续且对称于实轴。(3)由规则三知，实轴上的根轨迹为实轴上P1到P2的线段和由P3至实轴上负无穷远线段。当k=0时当k=1时当k=2时10321mnzpjiamn1k2a603a180a6035a⑷由规则四知，可求出根轨迹三条渐近线的交点位置和它们与实轴正方向的交角。(5)由规则5知，根轨迹与实轴的交点（分离点）是方程解的合理值，解得不在实轴的根轨迹上，舍去；实际的分离点应为。(6)无复数开环极点和零点，不存在起始角和终止角。02)1)(ss(sdsdsd02632dd42.01d58.12d58.12d42.01d解虚部方程得*233(2)0Kj0123,2其中是开环极点对应的坐标值，它是根轨迹的起点之一。合理的交点应为，绘制出该系统的根轨迹图如图4-11所示。011p23,2c(7)由规则七，可求出根轨迹与虚轴的交点,用代入特征方程并令方程两边实部和虚部分别相等：cjs32*320jjK图4-11例4-7系统根轨迹图j01*KP03P02P-1-201d[s]°60°60)6(2cKj)6(2cKj*K**K*K*K*K*解(1)由开环传递函数可知，该系统有一个开环实零点和一对开环共轭复数极点,根轨迹的起点为和，其终点为和无穷远点。(2)是一个二阶系统，在S平面上有两条连续且对称于实轴的根轨迹。(3)由规则三知，实轴上由-2至-∞的线段为实轴上的根轨迹。⑷由规则五，可求出根轨迹与实轴的交点（分离点）。分离点方程是2z1*1(0)pK*1()zK1,21pj*2(0)pK*()K例4-8已知系统的开环传递函数为试绘制该系统的根轨迹图。*2(2)()()22KsGsHsss即解方程可得不在实轴上的根轨迹上，舍去，实际的分离点为。02222dssssdsd0242dd414.31d586.02d586.02d1d⑸由规则六，可求出开环复数极点（根轨迹的起点）的起始角。1p1359045180)pp()zp(180211113512pp证明已知系统的开环零点和极点分别为，，令s=u+jv为根轨迹的任一点，由相角条件可得将s、、和代入得即2z11j1p11j1p2180)ps()ps()zs(2111z1p2p180))1v(j1u()1v(j1u()jv2u(1801u1vtg1u1vtg2uvtg111应用三角公式yx1yxtgytgxtg111⑹为准确地画出S平面上根轨迹的图形，运用相角条件可证明本系统在S平面上的根轨迹是一个半径为，圆心位于点的圆弧。2)0j,2(将上式等号左边合并可得到将上式等号两边取正切，则有180)1v()1u()1u(v22uv1)1v()1u()1u(v22uvtg222210)1v()1u()1u(v22uv220v2u4u22222)2(v)2u(方程表示在S平面上的根轨迹是一个圆心位于点、半径为的圆弧。由此，可画出根轨迹的准确图形如图4-12所示。)0j,2(2图4-12例4-8系统的根轨迹图j[s]0-1-2-3)0(1KP1p)0(2KP2p414.31d1d-4*K1-1)(1KZ***由本例不难发现，由两个开环极点（实极点或复数极点）和一个开环实零点组成的二阶系统，只要实零点没有位于两个实极点之间，当开环根轨迹增益由零变到无穷大时，复平面上的闭环根轨迹，是以实零点为圆心，以实零点到分离点的距离为半径的一个圆（当开环极点为两个实极点时）或圆的一部分（当开环极点为一对共轭复数极点时）。这个结论在数学上的严格证明可参照本例进行。rK将上例与图例比较例4-9已知系统的开环传递函数为试绘制该系统的根轨迹图。*2()()(2)(22)KGsHsssss解⑴由规则一知，根轨迹的起点分别是系统的4个开环极点,即，。由于系统无有限开环零点（m=0），根轨迹的终点均在S平面的无穷远处（无穷零点）。114,3jp01p22p⑵由已知系统的开环传递函数可得到它的特征方程为由规则二知，该系统的根轨迹共有4条分支（n=4），4条根轨迹连续且对称于实轴。⑶由规则三知，实轴上的根轨迹是实轴上由0到-2的线段。432*4640ssssK渐近线与实轴正方向的交角为当k=0时，当k=1时，当k=2时，当k=3时，πmn1k2a5134π5a5134π3a454π7a454πa(4)由规则四可求出4条根轨迹渐近线与实轴的交点为104j1j12mnzpjia⑸由规则五可求出根轨迹与实轴的交点（分离点）。分离点方程是即解方程得到0|)]22)(2([(2dsssssdsd013323ddd1d⑹由规则六可求出复数极点和的起始角3p4p3p909045135180)pp()pp()pp(1804323139034pp⑺该系统为4阶系统，用解析法求根轨迹与虚轴的交点和对应的开环根轨迹增益的临界值比较困难。下面采用劳斯判据求出和的值。根据系统的特征方程列出劳斯表如下：16440500*2045Kc*cKc*cK*K*K*K3s1s2s4s0s令劳斯表中行的首项系数为零，求得，由行系数写出辅助方程为令，并将代入辅助方程可求出。系统的根轨迹如图4-13所示。1s*5cK2s2*50sKjs**5cKK1c–2–0.500.511.52j–1.5–1–3–2–101204p3p2p1p图4-13例4-9系统的根轨迹图*5cK*****2()()()()()()0(1)()()0(2)()()()()0(3)()()()()()()(4)()BsGsHsKAsAsKBsAsKBsAsBsAsBsAsKBsAsBsAsBsKBs观察(3)和(4)，满足(3)的s值必满足(4)，所以分离点也可以由（4）得到。设开环传函则特征方程求导两式相除由特征方程得求导