数字信号处理课件(第三版) 高西全 西安电子科技大学出版社 第二章

第二章Z变换与离散时间系统Z变换是离散系统与信号分析的重要工具，其地位犹如拉普拉斯变换在连续信号与系统中的地位。第一节Z变换的定义Z变换的定义可以从理想信号(离散信号)的拉普拉斯变换引出，也可以独立地对离散信号(序列)给出其定义。1、序列的Z变换的由来)(ˆtxa设连续信号为xa(t)，理想抽样后得到，它们的拉氏变换)]([)(txLsXaa设：)](ˆ[)(ˆtxLsXaadtetxsta)(ˆ为采样间隔其中，TnTtnTxtxnaa)()()(ˆnstaadtenTtnTxsX)()()(ˆnstadtenTtnTx)()()()(sTnstaeXenTx有：，写作：，若令：)()(nxnTxezasTnnasTezznxsXeXzXsT)()(ˆ)()(2、讨论s平面到z平面的映射关系：z=esT设：s=+j，z=rej，而z=esT，有：rej=e(+j)T=eTejT即：r=eT，=T即：z域的模r与s域的实部对应；z域的相角与s域的虚部对应。①r与的关系：r=eT=0(s平面虚轴)r=1(z平面单位圆)0(s左半平面)r1(z平面单位圆内部)0(s右半平面)r1(z平面单位圆外部)jS平面Z平面Re[z]jIm[z]=0(s平面虚轴)r=1(z平面单位圆)0(s左半平面)r1(z平面单位圆内部)0(s右半平面)r1(z平面单位圆外部)②与的关系：=T=0(s平面实轴)=0(z平面正实轴)=0=0T(s平面平行于实轴的直线)(z平面始于原点，辐角为0T的辐射线)：从-/T～/T：从-～(s平面为2/T的一个水平带)(z平面辐角转了一周，覆盖整个z平面)Z平面jIm[z]Re[z]jS平面-/T/T3/T-3/T多值映射第二节Z变换的收敛域只有当上式收敛时，z变换才有意义。nnznxzX)()(收敛的充要条件：对任何x(n)，X(z)都绝对可和。Mznxnn|)(|要满足收敛条件，|z|的值必须在一定范围内才行，这个范围就是收敛域。不同形式的序列的收敛域形式不同，现讨论如下：1、有限长序列x(n)在n1≤n≤n2之内，才有非零的有限值，此区间外x(n)=021)()(nnnnznxzX只要级数的每一项有界，级数就收敛，即要求：21|)(|nnnznxn由于x(n)为有限值，即x(n)有界，故要求：21||nnnzn显然，收敛域为：|z|∈(0，)或0|z|①当n10，n20时，收敛域为：|z|∈(0，)或0|z|②当n1≥0时，收敛域为：|z|∈(0，]或0|z|≤③当n2≤0时，收敛域为：|z|∈[0，)或0≤|z|2、右边序列这类序列是指在n≥n1时，x(n)有值，在nn1时，x(n)=0。01)()()()(11nnnnnnnnznxznxznxzX①上式第一项为有限长序列的z变换，因为n10，故收敛域为|z|∈[0，)②第二项为负幂级数，故收敛域为|z|∈(Rx-，]合并①、②，得右边序列的z变换为：|z|∈(Rx-，)设x(n)=an,则:x(n)z-n=(a/z)n故|z||a|因果序列是重要的右边序列，它是当n0时x(n)=0的序列。001)()()()(1nnnnnnnznxznxznxzX因为是因果序列，所以n1=0，这样，只剩下第二项，故收敛域为：|z|∈(Rx-，]，或写为：|z|Rx-3、左边序列这类序列是指在n≤n2时，x(n)有值，在nn2时，x(n)=0。2210)()()()(nnnnnnnnznxznxznxzX①上式第二项为有限长序列的z变换，因为n20，故收敛域为|z|∈(0，]②第一项为正幂级数，故收敛域为|z|∈[0，Rx+)合并①、②，得右边序列的z变换为：|z|∈(0，Rx+)设x(n)=a-n,则:x(n)zn=(z/a)n故|z||a|若n2≤0，则第二项不存在，则收敛域为：|z|∈[0，Rx+)4、双边序列这类序列是指当n为任意值时，x(n)均有值的序列。01)()()()(nnnnnnznxznxznxzX①第一项为左边序列(n2≤0)，其收敛域为：|z|∈[0，Rx+)②第二项为因果序列，其收敛域为|z|∈(Rx-，]合并①、②，只有当：Rx-Rx+时,才存在公共的环状收敛域：|z|∈(Rx-，Rx+)有限长序列jIm[z]Re[z]|z|∈(0,)|z|∈(0,Rx+)右边序列jIm[z]Re[z]Rx-双边序列jIm[z]Re[z]Rx+Rx-|z|∈(Rx-,Rx+)左边序列jIm[z]Re[z]Rx+|z|∈(Rx-,)例：z变换及收敛域的求法(1)序列x(n)=(n)的z变换及收敛域。1)()(nnznzXX(z)为常数1，说明收敛域是整个z的闭平面：|z|∈[0，]仅当n=0时，(n)=1而此时：z-n=z0=1(2)序列x(n)=anu(n)的z变换及收敛域。010)()(nnnnnazzazX1111011])(1[1])(1[)(azazazazaz当|az-1|1，即：|z||a|时，(az-1)=0，此时X(z)为：111)(azzX说明：①序列x(n)=anu(n)是一个右边序列，而且是因果序列，它的收敛域应该是|z|Rx-的形式，从本题的结果中也得到了验证：|z||a|。②我们再来分析X(z)：azzazzX111)(可以从X(z)的解析式中看出，z=a处为极点。由于在收敛域内一定没有极点，所以对于一般的右边序列而言，其z变换的收敛域一定在模最大的有限极点所在的圆之外(若为因果序列，收敛域还包括点)。(3)序列x(n)=-bnu(-n-1)的z变换及收敛域。1111)()(nnnnnnnnzbzbzbzXzbzbzb1111])(1)[(当|b-1z|1，即：|z||b|时，(b-1z)=0，此时X(z)为：bzzzbzzbzbzX111)()(说明：序列x(n)=-bnu(-n-1)是一个左边序列，它的收敛域的形式|z||b|验证了这一点。分析例(2)和例(3)：右边序列左边序列x(n)=anu(n)x(n)=-bnu(-n-1)azzzX)(azzzX)(若有：a=b，则两个X(z)是一样的。而我们知道，这两个X(z)所对应的x(n)是完全不同的。这就说明：仅由X(z)的表达式不能推断x(n)，必须再已知X(z)收敛的条件(即收敛域)，才可以得出x(n)。|z||a||z||b|(4)序列的z变换及收敛域。10)(nbnanxnn10)()(nnnnnnnnzbzaznxzXbzzazz上式成立的条件是：|a||z||b|(收敛域)。通常：右边序列的收敛域在模最大的极点所在的圆之外。左边序列的收敛域在模最小的极点所在的圆之内。jIm[z]Re[z]ba(5)请说出X(z)可能的收敛域及其所对应的序列的特性：||||||))()((1)(cbaczbzazzX其中，abcRe[z]jIm[z]右边序列：|z||c|abcRe[z]jIm[z]左边序列：|z||a|abcRe[z]jIm[z]双边序列：|b||z||c|abcRe[z]jIm[z]双边序列：|a||z||b|第三节Z反变换概念：由X(z)求出原列x(n)，称为z反变换。表示为：)]([)(1zXZnxz反变换实际上是求X(z)的幂级数展开式。z反变换常用的三种方法：围线积分法、部分分式法、长除法。一、围线积分法(留数法)由于围线积分法较为复杂，我们这里只阐述应用该方法求z反变换的方法，原理请大家参阅教材。围线积分法求z反变换：其中，②式的使用条件为：X(z)·zn-1的分母多项式z的阶次比分子多项式的阶次高二阶或二阶以上。首先，根据留数定理，有：kzzncnkzzXsdzzzXjnx])([Re)(21)(11—①mzzncnmzzXsdzzzXjnx])([Re)(21)(11—②①若zr是X(z)·zn-1的单极点，则有：X(z)·zn-1在任一极点zr处的留数的计算：rrzznrzznzzXzzzzXs])()[(])([Re11②若zr是X(z)·zn-1的多重极点(p阶)，则有：rrzznprppzznzzXzzdzdpzzXs])()[()!1(1])([Re1111例：求z的反变换，设：21||221)(11zzzzX解：cndzzzXjnx1)(21)(cndzzzzj)2/1(22211①当n≥1时，围线内有一个极点：z=1/22/11])2/1(2)2([Re)(znzzzsnxnnznzz212322/3212)2(12/11②当n=0时，围线内有两个极点：z=0和z=1/202/1])2/1(2)2([Re])2/1(2)2([Re)(zzzzzszzzsnx21)2/1(2)2(2)2(02/1zzzzzz③当n0时，X(z)·zn-1的分母多项式z的阶次比分子多项式的阶次高二阶或二阶以上，故可用式②来计算x(n)。由于此时在围线外无极点，所以：x(n)=0。综合①、②、③，得到x(n)：)1()21(23)(21)(nunnxn二、部分分式展开法1、概念：一般，X(z)都是z的有理分式，可表示成：)()()(zAzBzX我们可以将X(z)展开成部分分式的形式，然后求每个部分分式的z变换。)()()()()()(21zXzXzXzAzBzXk即：)]([)]([)]([)(12111zXZzXZzXZnxk2、求解步骤：①先将X(z)因式分解：NiiiMiiizazbzAzBzX101)()()(rkkikrNkkkNMnnnzzCzzAzB11110]1[1其中：zi为X(z)的一个r阶极点，各个zk是X(z)的单极点。Bn是X(z)的整式部分的系数，当MN时，Bn=0。②根据留数定理求系数Ak和Ck：kzzkkzXzzA)()1(1kkzzzzkzzXszzXzz)(Re)()(izzkrirkrkkzzXzzdzdkrC)()()!(1例：设：)(,2||,)5.01)(21(1)(11nxzzzzX求解：)5.0)(2()(2zzzzX)5.0)(2()(zzzzzX)5.0()2(21zAzA34)5.0()()2(221zzzzzzXzA31)2()()5.0(5.05.02zzzzzzXzA)5.0(131)2(134)(zzzzX)5.0(31)2(34)(zzzzzX)()5.0(31234)(nunxnn)5.01(131)21(134)(11zzzX收敛域|z|2三、幂级数展开法(长除法)nnznxzX