2011-2012年高考总复习一轮名师精讲课件：第14讲等差数列

•第十四讲等差数列回归课本1.如果数列{an}从第二项起每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列叫做等差数列，这个常数叫等差数列的公差．即an－an－1＝d(n∈N*，且n≥2)或an＋1－an＝d(n∈N*)或an＝a1，n＝1，an－1＋d，n≥2.，其中d为公差．2．若{an}是等差数列，则其通项公式an＝a1＋(n－1)d或变式为an＝am＋(n－m)d(n≠m)，其中m，n∈N*，则d＝an－a1n－1(n≠1)或d＝an－amn－m(n≠m)．①{an}成等差数列⇔an＝pn＋q，其中p＝d，q＝a1－d，点(n，an)是直线y＝dx＋(a1－d)上的一群孤立的点．②单调性：d＞0时，{an}为单调递增数列；d＜0时，{an}为单调递减数列；d＝0时，{an}为常数列．③等差中项：若a，b，c是等差数列，则称b是a，c的等差中项，且b＝a＋c2，故a，b，c成等差数列⇔2b＝a＋c.3．求和公式Sn＝na1＋an2＝na1＋nn－1d2.其推导方法是倒序相加法．若n为奇数，则Sn＝n·a1＋an2＝na中＝nan＋12；求和公式又可变形为Sn＝pn2＋qn，其中p＝d2，q＝a1－d2.即{an}成等差数列⇔Sn＝pn2＋qn；Snn＝a1＋(n－1)·d2说明{Snn}是以a1为首项，d2为公差的等差数列，或点n，Snn在直线y＝a1＋(x－1)·d2上；点(n，Sn)是在抛物线y＝px2＋qx的图象上的一群孤立的点．4．若三数成等差数列，则可设为a，a＋d，a＋2d或a－d，a，a＋d；若四数成等差，则设为a－3d，a－d，a＋d，a＋3d，其公差为2d.5．{an}成等差数列，求Sn的最值；若a1＞0，d＜0，且满足an≥0，an＋1≤0，时Sn最大；若a1＜0，d＞0，且满足an≤0，an＋1≥0，时，Sn最小；或利用二次函数求最值；或利用导数求最值．•6．a1＋an＝a2＋an－1＝…＝am＋an＋1－m，即若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq.•若{an}，{bn}成等差数列，则{man＋kbn}仍是等差数列，其中m，k为常数；等差数列{an}中，抽出间隔相同的项按原来的顺序组成的新数列仍是等差数列．•等差数列{an}中，Sn是其前n项和，则Sm，S2m－Sm，S3m－S2m成等差数列，公差是m2d.若{an}共有2n－1(n∈N*)项，则S奇－S偶＝an＝S2n－12n－1，S奇S偶＝nn－1；若{an}共有2n(n∈N*)项，则S偶－S奇＝nd，S奇S偶＝anan＋1.•等差数列{an}中，若an＝m，am＝n(m，n∈N*且m≠n)，则am＋n＝0；若Sn＝m，Sm＝n(m，n∈N*，且m≠n)则Sm＋n＝－(m＋n)．若Sn＝Sm(m，n∈N*，且m≠n)，则Sm＋n＝0.•考点陪练•1.已知等差数列{an}满足a2＋a4＝4，a3＋a5＝10，则它的前10项的和S10＝()•A．138B．135•C．95D．23•答案：C解析：∵a2＋a4＝4，a3＋a5＝10，∴(a5－a4)＋(a3－a2)＝2d＝6，∴d＝3.又a2＋a4＝2a1＋4d＝4，∴a1＝－4.∴S10＝10a1＋1010－12d＝－40＋45×3＝95.•2．已知数列{an}对任意的p，q∈N*满足ap＋q＝ap＋aq且a2＝－6，那么a10等于()•A．－165B．－33•C．－30D．－21•解析：由ap＋q＝ap＋aq，a2＝－6，得a4＝a2＋a2＝－12，同理a8＝a4＋a4＝－24，所以a10＝a8＋a2＝－24－6＝－30.•答案：C•3．已知{an}为等差数列，a2＋a8＝12，则a5等于()•A．4B．5•C．6D．7•解析：∵{an}为等差数列，∴a2＋a8＝2a5＝12，则a5＝6.•答案：C•4．(2011·广东肇庆一模)等差数列{an}的公差为d，其前n项和为Sn，当a1、d变化时，若a2＋a8＋a11为定值，那么下列各数中也为定值的是•()•A．S7B．S8•C．S13D．S15解析：由a2＋a8＋a11＝3a1＋18d＝3(a1＋6d)＝3a7，所以S13＝a1＋a132×13＝13a7(定值)．答案：C•5．已知等差数列共有10项，其中奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为()•A．5B．4•C．3D．2•答案：C解析：解法一：S偶＝a2＋a4＋a6＋a8＋a10＝30，①S奇＝a1＋a3＋a5＋a7＋a9＝15.②①－②得15＝5d，∴d＝3.解法二：∵n＝10，∴S偶－S奇＝n2d＝5d＝15，∴d＝3.•类型一等差数列的判断与证明•解题准备：等差数列的判定方法主要运用以下几个充要条件：•1．an－an－1＝d(n≥2，d为常数)⇔{an}是公差为d的等差数列．•2．2an＝an－1＋an＋1(n≥2)⇔{an}是等差数列．•3．an＝kn＋b(k，b为常数)⇔{an}是等差数列．•4．Sn＝An2＋Bn(A，B为常数)⇔{an}是等差数列．【典例1】设实数a0，且函数f(x)＝a(x2＋1)－2x＋1a有最小值－1.(1)求a的值；(2)设数列{an}的前n项和Sn＝f(n)，令bn＝a2＋a4＋…＋a2nn，n＝1,2,3，…，证明数列{bn}是等差数列．[解析](1)∵f(x)＝ax－1a2＋a－2a.由题设知f1a＝a－2a＝－1，且a0，解得a＝1，a＝－2(舍去)．(2)证明：由(1)得f(x)＝x2－2x，∴Sn＝n2－2n，a1＝S1＝－1.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n2－2n－(n－1)2＋2(n－1)＝2n－3，即an＝2n－3.又当n≥2时，an－an－1＝2n－3－2(n－1)＋3＝2.∴{an}是首项为－1，公差为2的等差数列．a2＋a4＋…＋a2n＝n·a2＋a2n2＝n·1＋4n－32＝n(2n－1)．即bn＝2n－1.因此，当n≥2时，bn－bn－1＝(2n－1)－(2n－3)＝2.又b1＝a21＝1，即{bn}是以1为首项，2为公差的等差数列．•类型二等差数列基本量的运算•解题准备：在等差数列中，五个基本的量，只要已知三个量，就可以求出其他两个量，其中a1和d是两个最基本量，利用通项公式与前n项和公式，先求出a1和d.【典例2】设{an}是等差数列，bn＝，且b1＋b2＋b3＝218，b1b2b3＝18.求等差数列的通项an.•[解析]设首项为a1，公差为d，由已知得•类型三等差数列性质的应用•解题准备：1.若数列{an}是公差为d的等差数列，则有下列性质：•(1)若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，则am＋an＝ap＋aq；•(2)若m＋n＝2p，则am＋an＝2ap，an＋k＋an－k＝2an(m，n，p，k∈N*，nk)；•(3)若{an}是有穷等差数列，则与首末两项等距离的两项之和都相等，且等于首末两项之和，即a1＋an＝a2＋an－1＝a3＋an－2＝…；(4)an＝am＋(n－m)d(m，n∈N*)，d＝an－amn－m(m，n∈N*，m≠n)；(5)下标成等差数列且公差为d的项ak，ak＋m，ak＋2m，…(k，m∈N*)组成公差为md的等差数列；•(6){an}，{bn}是等差数列，则{a2n}，{a2n－1}，{kan＋b}，{ran＋sbn}也成等差数列．•2．性质(1)可以推广到三项、四项等情形．推广和使用本性质时应特别注意等式两边作和的项数是一样多的．如a1＋a8＋a18与a7＋a20，尽管下标和相等，但两式不一定相等．•【典例3】(1)在等差数列{an}中a3＋a11＝40，则a6＋a7＋a8等于•()•A．36B．48•C．60D．72•(2)在等差数列{an}中，a10＝－90，a16＝－150，则a1，d分别是•()•A．0,10B．－10,10•C．10,0D．0，－10•(3)在等差数列{an}中，a3＋a7＋a11＋a15＋a19＝0，则a11等于________．•(4)等差数列{an}的通项公式为an＝3n－6，取a5，a10，a15，…组成数列{bn}，求{bn}的通项公式．[解析](1)由等差数列的性质，有a3＋a11＝2a7＝40，所以a7＝20，而a6＋a7＋a8＝3a7＝60，故答案选C.(2)d＝am－anm－n＝a10－a1610－16＝－10，所以a1＝a10－9d＝－90－(－90)＝0.故答案选D.(3)由等差数列的性质，有a3＋a7＋a11＋a15＋a19＝5a11＝0，所以a11＝0.(4)由等差数列的性质，结合题意，有bn＝a5n＝3×(5n)－6＝15n－6，即bn＝15n－6.•[答案](1)C(2)D(3)0(4)bn＝15n－6类型四等差数列前n项和性质的应用解题准备：1.等差数列{an}的前n项和记为Sn，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n，…仍成等差数列．2．项数为奇数2n－1的等差数列有：S奇S偶＝nn－1，S奇－S偶＝an＝a中，S2n－1＝(2n－1)an.项数为偶数2n的等差数列有：S奇S偶＝anan＋1，S偶－S奇＝nd，S2n＝n(an＋an＋1)．3．Sn是等差数列{an}的前n项和，Tn是等差数列{bn}的前n项和．则an＝S2n－12n－1，anbn＝S2n－1T2n－1，ambn＝2n－12m－1×S2m－1T2n－1.4．等差数列{an}的前n项和Sn的最值问题：当a10，d0时，由am≥0，am＋10⇒m满足Sm为最大值；当a10，d0时，由am≤0，am＋10⇒m满足Sm为最小值；当am＋1＝0时，Sm＝Sm＋1.5．当d≠0时，Sn是关于n的一个二次函数，它的图象是抛物线y＝d2x2＋a1－d2x上横坐标为正整数的一群孤立的点.Snn＝d2n＋a1－d2是关于n的一次函数(d≠0)或常数函数(d＝0)，即数列{Snn}是以d2为公差的等差数列．•【典例4】(1)等差数列{an}中，a2＋a7＋a12＝24，求S13；•(2)已知等差数列{an}的前n项和为377，项数n为奇数，且前n项中，奇数项和与偶数项和之比为76，求中间项；•(3)等差数列共有12项，其中S偶S奇＝3227，总和为354，求公差d.[解析](1)因为a2＋a12＝a1＋a13＝2a7，a2＋a7＋a12＝24，所以a7＝8.所以S13＝13a1＋a132＝13×8＝104.(2)因为n为奇数，所以S奇S偶＝n＋1n－1＝76，解得n＝13.所以S13＝13a7＝377，所以a7＝29.故所求的中间项为29.(3)解法一：因为等差数列的项数为偶数项，所以S偶－S奇＝12nd＝6d，又因为S偶S奇＝3227，令S偶＝32t，S奇＝27t.所以32t＋27t＝354，解得t＝6.故S偶＝192，S奇＝162.所以S偶－S奇＝192－162＝30＝6d，所以d＝5.解法二：因为S偶S奇＝3227，所以S偶S奇＋S偶＝3227＋32.所以S偶＝3259×354＝192，S奇＝354－192＝162.又S偶－S奇＝192－162＝30＝6d，所以d＝5.•快速解题•技法等差数列{an}中，a10，前n项和为Sn，若S90，S100，则当n为何值时，Sn最大？•快解：设Sn＝An2＋Bn，这个关于n的二次函数的图象过原点．由题意知，它与x轴的另一交点在区间(9,10)内，故其对称轴在区间(4.5,5)内，离对称轴最近的整数为5，故当n＝5时，其值最大．