同济大学高数期末总复习(下)

总复习1.多元函数的导数设二元函数则因变量对某一个变量的偏导是将其余变量视为常量的导数.,,zfxy例1设求2,yzx,.xyzz解由定义得2221,ln2.yyxyzyxzxxy一、多元微分例2设求arctan,xyzxy,.xyzz解由复合函数的导数公式,得22221,1xxyxyyzxyxyxyxy22221.1yxyxyxzxyxyxyxy在偏导计算过程中,要注意的是如何按定义计算函数在一点的导数.例3求函数222222221cos,0,,00xxyxyxyfxyxy的偏导.解当时,,0,0xy2221,2cosxfxyxyxy221,2cosyfxyxyxy222222221sin,xxxyxyxy222222221sin,yxxyxyxy当时,,0,0xy0,00,00,0limxxfxffx2201limcos0,xxxx同理:0,00.yf2.高阶偏导由于偏导本质上是一元函数的导数,故偏导函数仍然是多元函数,由此可以定义高阶导数.对二元函数高阶导数为,,zfxy,,,.xxxxyxyxyyyyxyxyzfzfzfzf例4设求二阶偏导.arctan,xyzxy解由例2,知2222,,xyyxzzxyxy所以,2222222222222222,,xxxyxyxyyxyzzxyxyxy2222222222222222,.yxyyxyxxyxyzzxyxyxy在上例中看到,在二阶偏导连续的条件下,有.xyyxzz3.全微分⑴定义对函数对自变量的增量相应的因变量的全增量为,,zfxy,,xy,,,zfxxyyfxy若全增量具有表达式,zAxyo其中则称函数为可微的,相应的微分记为22xy.dzAxBy⑵可微的条件偏导连续可微函数连续偏导存在.⑶微分计算公式若函数有连续偏导,则.xydzfdxfdy例5设求arctan,xyzxy.dz解由例2知2222,,xyyxzzxyxy故2222.yxdzdxdyxyxy例6讨论例3中的函数在原点的可微分性.解由例3知,从而有0,00,00.xyff0,0z2222100cos,xyxxyxy由此得2222220,01cos0,xxyzxyxy即有函数在原点可微分,且有0,00.dz4.复合函数的导数设二元复合函数其中函数均有所需要的各阶偏导数,则,,,,,,zfuvuuxyvvxy,,fuv,.uxvxuuvyzzfufvfufvxy例7设求22,xyzxy,.xyzz解令则2,2,.vuxyvxyzu由导数公式11ln1vvxuxvxzfufvvuuu212222ln2.xyxyxyxyxyxy12ln2vvyuyvyzfufvvuuu21222222ln2.xyxyxyxyxyxy例8设其中为类函数,求二阶偏导.,,xzfxyf2C解令则,xuy21,.xxuxxuyuyuxzffuffzfufyy所以111xxxxxuuxuuzffffyyy221,xxuxuufffyy22211xyxuuuuxxzfffyyyy2231,xuuuuxxfffyyy2322.yyuuuxxzffyy5.隐函数的导数⑴一个方程确定的隐函数隐函数存在定理若函数满足⒈函数有对各个变量的连续偏导数;⒉则在点的某一邻域,由方程可确定一个类函数且有,,Fxyz000000,,0,,,0,zFxyzFxyz000,,xyz,,0,Fxyz1C,,zfxy,.yxzzFzFzxFyF例9设二元函数由方程确定,求,zfxy0zexyz,.xyzz解令则,,,zFxyzexyz,,,zxyzFyzFxzFexy故有公式,.yxzzzzFzFyzzxzxFexyyFexy⑵方程组确定的隐函数隐函数存在定理设四元函数满足,,,,,,,FxyuvGxyuv⒈函数对各个变量具有连续的偏导,⒉00000000,,,,,,0,FxyuvGxyuv0000,,,,0,,xyuvFGuv⒊则方程组在点的某个邻,,,0,,,0FxyuvGxyuv0000,,xyuv域内能唯一地确定一组函数组满足条1C,,,,uuxyvvxy件并有相应的导数公式.000000,,,,uuxyvvxy例10设方程确定隐函数22221,3xyuvxyuv求,,,,uuxyvvxy,,,.xyxyuuvv解方程两边对求导,则有x0,10,xxxxxuuvvuv上式的第二式乘再两式相减得,u0,0,xxxxxuuvvvvuvv从而有由对称性得.xvxuuv.yvyuuv二、多元微分的应用1.几何应用⑴曲线的切线与法平面方程设曲线由参数方程给出:,:,,,xxtyyttzzt点则曲线在该点处的切线和法平面方程为0000,,,Mxyz000000,xxyyzzxtytzt切线法平面0000000.xtxxytyyztzz若曲线有一般方程给出,则切线可视为两切平面的交线.⑵曲面的切平面与法线设曲面方程为点则切平面方程与法线方程为:,,0.Fxyz0000,,,Mxyz切平面0000FMxxFMyy000.FMzz法线0000000.xxyyzzFMFMFM例11在曲线上,求与平面平行的切线.23,,xtytzt24xyz解设切点所对应的参数值为故相应的切向量为由已知条件得切向量与平面的法向垂直,即有0,tt2001,2,3.tt2001430.ntt0011,.3tt即故切点为和切向量为1,2,3111,,.39271,1,1211,,.33和相应的切线方程为111,123xyz3191271.369xyz和⑵二元函数的极值设二元函数为类函数,求极值.,zfxy2C1.求函数的一阶和二阶偏导;2.令求函数的所有驻点;0.xyff3.对函数的所有驻点,计算的符号,若2ACB220,00,0,AACBAACB极小值极大值非极值例14设由确定,求函数的极值.,zzxy2226102180xxyyyzz解方程两边求导,得26220,xxxyyzzz6202220.yyxyzyzzz令则有方程组0,xyzz30,3100.xyxyz解此方程组,得再代入原方程,有驻点在上面两个方程中,继续求导,得3,.xyzy9,3,3,9,3,3.2222220,622220,2042220.xxxxxxxxyyxxyyyyxyyyzzzzyzzzzzzyzzzz对上述驻点,解此方程组,并注意到一阶偏导为零,有1159,3,3:,,,623ABC1159,3,3:,,,623ABC此时所以是2110,0,366ACBA9,3,zfxy的极小值点,极小值为9,33.z此时所以是2110,0,366ACBA9,3,zfxy的极大值点,极大值为9,33.z⑶条件极值问题求函数在条件下的极值.,,ufxyz,,0xyz方法1.构造函数,,,,,,,Fxyzfxyzxyz2.解方程组0.xyzFFFF3.对方程的解进行讨论.例15求椭圆的长半轴和短半轴之长.225421xxyy解椭圆的半轴长分别为原点到曲线的最长距离和最短距离.故作函数2222,5421,Fxyxyxxyy相应的方程组为2221040,2440,54310.xyFxxyFyxyFxxyy由条件容易知道:于是有0,0,0.xy151,1,222xyyx令即有,yux13.2uu解之得再代入曲线方程,得1212,,2uu121212,51511,.530xxyy故两半轴之长分别为1261,.6dd二、重积分1.二重积分的计算21,,bxaxDfxyddxfxydy先后yx21,dycydyfxydx先后yx⑴在直角坐标下的计算⑵在极坐标下的计算,Dfxyd21cos,sin.dfd⑶一般坐标变换,,,,.DDfxydfxuvyuvJd例16计算积分解积分区域如图.因被积函数的原函数不是初等函数,故不能直接积分.首先交换积分次序:xyO1242124212sinsin22xxxxxdxdydxdyyy221sin2yyxdydxy212coscos22yydy24212sinsin22xxxxxdxdydxdyyy22124cos2.2yydy例17计算积分其中由双曲线2,DxydD221xy及直线围成的平面区域.0,1yy解2231122222011213yyDxyddyxydxyydy25221221421.1515y例18计算积分其中22,Dxyd,0,Dxyyx222.xyx解2cos2223440008cos3Dxydddd2408101sinsin2.39d2.三重积分的计算⑴在直角坐标下三重积分的计算①先1后2的积分:12,,,,,,xyxyDfxyzdvdfxyzdz1122,,,,.bxxyaxxydxdyfxyzdz②先2后1的积分,,,,.zbaDfxyzdvdzfxyzd⑵利用柱面坐标计算三重积分1122,,,,.zzfxyzdvddfdz⑶利用球面坐标计算三重积分121122,2,,,sin.rrfxyzdvddrfdr例18计算积分其中由22,xyzdv2