2.共线向量与共面向量资料

2.共线向量与共面向量9.5空间向量及其运算平面向量概念加法减法数乘运算运算律定义表示法相等向量减法:三角形法则加法:三角形法则或平行四边形法则空间向量具有大小和方向的量数乘:ka,k为正数,负数,零bkakbak＋)()()(cbacbaabba加法交换律加法结合律数乘分配律abba加法交换律bkakbak＋)(数乘分配律)()(cbacba加法结合律类比、数形结合数乘:ka,k为正数,负数,零aABCDA’B’C’D’a例：空间一个平移就是一个向量．abab一、共线向量:零向量与任意向量共线(平行）.1.共线向量:如果表示空间向量的有向线段所在直线互相平行或重合,则这些向量叫做共线向量(或平行向量),记作ba//2.共线向量定理:对空间任意两个向量的充要条件是存在实数使baobba//),(,ba推论:如果为经过已知点A且平行已知非零向量的直线,那么对任一点O,点P在直线上的充要条件是存在实数t,满足等式OP=OA+t其中向量叫做直线的方向向量.llaaOABPa若P为A,B中点,则12OPOAOB向量参数表示式l上式是线段中点向量参数式OP=OA+tAB例1用向量的方法证明：顺次连结空间四边形各边中点所得的四边形为平行四边形。HGFEABCD例2已知A、B、P三点共线，O为空间任意一点，且，求的值.OPOAOB1.下列说法正确的是：A.平面内的任意两个向量都共线B.空间的任意三个向量都不共面C.空间的任意两个向量都共面D.空间的任意三个向量都共面3.对于空间任意一点O，下列命题正确的是：A.若，则P、A、B共线B.若，则P是AB的中点C.若，则P、A、B不共线D.若，则P、A、B共线OPOAtAB3OPOAABOPOAtABOPOAAB4.若对任意一点O，，则x+y=1是P、A、B三点共线的：A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件OPxOAyAB二.共面向量:1.共面向量:平行于同一平面的向量,叫做共面向量.OAaa注意：空间任意两个向量是共面的，但空间任意三个向量就不一定共面的了。2.共面向量定理:如果两个向量不共线,则向量与向量共面的充要条件是存在实数对使,abyx,Pxaybp,abOMabABAPp推论:空间一点P位于平面MAB内的充要条件是存在有序实数对x,y使或对空间任一点O,有MPxMAyMBOPOMxMAyMBMABAP例3如图，已知平行四边形ABCD，从平面AC外一点O引向量,,,,求证：⑴四点E、F、G、H共面；⑵平面EG//平面AC。OEkOAOFkOBOGkOCOHkOD（1）因为四边形ABCD是平行四边形，所以AC=AB+ADEG=OG-OE=kOC-kOA=kAC=k(AB+AD)=k(OB-OA+OD-OA)=OF-OE+OH-OE=EF+EH所以E、F、G、H四点共面（2）EF=OF-OE=k(OB-OA)=KAB由（1）证明知EG=kAC,EG∥ACEF∥AB,EG∥AC所以平面EG∥平面AC例4已知A、B、M三点不共线，对于平面ABM外的任一点O，确定在下列各条件下，点P是否与A、B、M一定共面？(1)3OBOMOPOA＋－(2)4OPOAOBOM注意：空间四点P、M、A、B共面存在唯一实数对,,xyMPxMAyMB（）使得(1)OPxOMyOAzOBxyz其中，OP=1/3OA+1/3OB+1/3OM不共面共面例5对空间任意一点O和不共线的三点A、B、C，试问满足向量关系式（其中）的四点P、A、B、C是否共面？OPxOAyOBzOC1xyz解:原式可变为OCzOByOAzyOP)1()()(OAOCzOAOByOAOPACZABYAP∴点P与A、B、C共面MPxMAyMB提示：则M、A、B、P四点共面1.下列命题中正确的有：(1)pxaybpab　与、共面;(2)pabpxayb与、共面　；(3)MPxMAyMBPMAB、、、共面；(4)PMABMPxMAyMB、、、共面；A.1个B.2个C.3个D.4个练习2.对于空间中的三个向量它们一定是：A.共面向量B.共线向量C.不共面向量D.既不共线又不共面向量2MAMBMAMB、、－MAB2MA-MB2MA-MB3.已知点M在平面ABC内，并且对空间任意一点O，,则x的值为：OMxOAOBOC11＋＋331.1.0.3.3ABCD4.已知A、B、C三点不共线，对平面外一点O，在下列条件下，点P是否与A、B、C共面？212(1);555OPOAOBOC(2)22OPOAOBOC；三、课堂小结：1.共线向量的概念。2.共线向量定理。3.共面向量的概念。4.共面向量定理。1.下列说法正确的是：A.在平面内共线的向量在空间不一定共线B.在空间共线的向量在平面内不一定共线C.在平面内共线的向量在空间一定不共线D.在空间共线的向量在平面内一定共线