高等数学第六章定积分应用第1、2、3节

第六章定积分的应用在引出定积分的引例中，我们介绍了计算曲边梯形的面积，变速直线运动的路程等问题。它们所涉及的思想方法是相同的。现在我们把这一思路用更简洁的形式表示出来，以期能用它来解决更多的此类问题。如求旋转体的体积、平面曲线的弧长、变力所作的功及水压力等。§1.定积分的元素法回顾求曲边梯形面积的步骤：y=f(x)≥0，且在[a,b]上连续。(1)分割：得小曲边梯形的面积(i=1,2,…,n)(2)近似：(3)求和：(4)取极限：iiixfA)(niiixfA1)(iA仅差高阶无穷小）与iiixfA)((nibaiixdxfxfA10)()(lim其中，极限固然重要，但定积分形式的形成关键在于(2)部分量形成了被积表达式(1)所求量具有区间可加性是形成定积分的前提。,)(iiixfA为简便起见，现省去下标。(1),(2),的雏形。0xyy=f(x)ab],[],[badxxxA表示任一小区间用上的小曲边梯形面积，xx+dx，则xdxfA)()()(dxoAdxxf且)0(dx上无限累加，在把],[baAdbadAAA又称为面则小区间长为dx，,x取为左端点把的元素，为所求量称Axdxf)(记作dA,，即xdxfdA)(dA或面积微元。.)(xdxfbadx积元素，只要求出一小块的面积，其无限的累加即为所求整个曲边梯形的面积。把面积A改为一般的所求量I，则有,)(dxxfIdbaIdIxdxx，作],0[],[ldxxx这一小段的质量dxxdm)(则整段细棒的质量为这一小段质量的无限累加。ldmm0这就是定积分的元素法。如长为l的细棒上的线密度ρ(x)连续，则细棒的质量：xl0lxdx0)(baxdxf.)(§2.定积分在几何学上的应用现在利用元素法讨论：(1)平面图形的面积(2)旋转体的体积(3)平行截面面积为已知的立体体积(4)平面曲线的弧长(5)旋转曲面的面积等几何问题。1、直角坐标情形(1)图形由连续曲线所围bxaxyxfy,,0),((a)0)(xf取任一小区间],[],[badxxxdxxfdA)(baAdA以直边近似代替曲边，一、平面图形的面积0xyy=f(x)abxx+dxAdAbaxdxf)(上有正有负在],[)()(baxfb上，在],[ca,],[],[cadxxx取xdxfAd)(1上，在],[bc，取],[],[bcdxxxxdxfAd)(2caAdA1.)(xdxfba2Adbccx..x0xyy=f(x)abcaxdxf)(xdxfbc)((2)图形由两条连续曲线围成与bxaxxgyxfy,)(),()()()(xgxfa)(xf)(xgab],[],[badxxx取xdxgxfAd)]()([baxdxgxfA)]()([0yx.x相交与)()()(xgxfbcdcaxdxfxgA)]()([则bdxdxfxg)]()([baxdxgxfA)()(即dcxdxgxf)]()([)(xf)(xgxyab0与图形由连续曲线)(),()3(yxyx围成dycy,cd)(y)(y，取],[],[dcdyyy，小矩形的底长yd，高为)()(yyydyyAd)]()([此时取y为积分变量dcydyyA)]()([yxy.dcydyyA)()(一般：123求平面图形面积的步骤:作图，求出交点选择积分变量，写出面积元素作定积分，并计算所围图形的面积。与求由2,yeyeyxx212ln2lnxexe(1)选x为积分变量求交点2yeyx2yeyx)2,2(ln)2,2ln(02ln)2(dxeAx22ln4(2)选y为积分变量)2,0(),1,0(交点：，yxeyxln21])ln(ln[dyyyA例1：解：0yxdxex2ln0)2(yxeyxln.22ln4例2.解方程组：422xyxy得交点：(8,4),(2,–2)选y为积分变量,)24(242ydyyA18围成的面积。与求曲线422xyxy–2yx44–4如选x为积分变量,请同学们写出计算过程.xyo3–342xy由得两切线的斜率为,k故两切线为,:xyl其交点的横坐标为x)]34(62[2323xdxxxkxyl:)]34(34[2230xdxxxA=l1l2。积的切线所围成图形的面处，和点与其在点求抛物线例)03()3(0,34.32xxy2、参数方程情形)()(tytx若曲边由参数方程：xdyAba则)()(tdt，其中b)(，a)(tdtt)()(连续。其中给出)(),(,,ttt)(tx例1：所围求由曲线)20(sincos33ayax图形的面积。(星形线，又称内摆线)由图形的对称性，,41AAaxdyA013sinada)sin(cos32da42202sincos3da)sin(sin364202)221436522143(32a.832aA,3232a)(323232ayx直角坐标方程200yx1A3、极坐标情形,),(rr求由连续曲线围成的图形面积。A)(rr(即求曲边扇形的面积)由元素法：任取,],[],[dd所围曲边扇形与)(r),(r面积近似地由半径为的圆扇形代替。中心角为d,)(212drAd即有面积元素：AdA.)(212drr0A)(2rr)(),(21rrrr求由两条连续曲线围成的图形面积。与,12AAAdr)(2122dr)(2121.])()([212122drrA)(1rrr0例题例1：所围图形的面积。求由cos2ar分析：由直角坐标与极坐标的变换关系：,sincosryrxcos2arxayx222,)(222ayax为圆心在(a,0),半径为a的圆2aa同理cos2ar2aasin2aryx0yx0解：cos2ar22:drA)(212222)cos2(21da2022cos4da.221422aa例1：所围图形的面积。求由cos2ar2aacos2aryx0xyoaa一圆沿另一圆外缘无滑动地滚动，动圆圆周上任一点所画出的曲线。心形线(圆外旋轮线)观察动点的运动xyoaa2a观察动点的运动心形线(圆外旋轮线)xyo2ar=a(1+cos)020r2aPr心形线(圆外旋轮线)2ar=a(1+sin)020r2aPr心形线(圆外旋轮线)xyoaxyo例2.2d)cos1(21230A=r=1+cos3r=3cos积。的图形的公共部分的面分别所围成及求曲线θrθrcos1cos3由3cos=1+cos得θA232d)cos3(21θθ23π内部的面积。所围且在圆周求由双纽线例2)()(.3222222222ayxyxayxθarcos2122aπ由对称性双纽线化成极坐标2)2316(a令r=0,kθkθ,2ar令2cos21246θdθaA=4+0xyaa6πθ4πθ旋转体：由一平面图形绕这平面内的一条直线旋转一周而成的立体。此直线称为对称轴。如：圆柱、圆锥、圆台、圆球、…现在利用元素法推导旋转体的体积公式。二、立体体积1、旋转体的体积xf(x)ab曲边梯形：y=f(x),x=a,x=b,y=0绕x轴旋转求旋转体体积xf(x)abx111111111)(xA)(2xfbadxxf)(2曲边梯形：y=f(x),x=a,x=b,y=0绕x轴旋转求旋转体体积V=dxxfdxxAdV)()(2x+dxx=g(y)yx0cd曲边梯形：x=g(y)，x=0,y=c,y=d绕y轴求旋转体体积x=g(y)yx0cd曲边梯形：x=g(y)，x=0,y=c,y=d绕y轴求旋转体体积x=g(y)yx0cddyyAdV)()(yAydcdyygV)(2)(2yg求旋转体体积曲边梯形：x=g(y)，x=0,y=c,y=d绕y轴dyyg)(2abf(x)yx0求旋转体体积—柱壳法曲边梯形y=f(x),x=a,x=b,y=0绕y轴xdx在[a,b]上，,0,0)(baxf且xabyx0)(2xxf内表面积dx求旋转体体积—柱壳法曲边梯形y=f(x),x=a,x=b,y=0绕y轴dV=2xf(x)dxf(x)byxa求旋转体体积—柱壳法曲边梯形y=f(x),x=a,x=b,y=0绕y轴dV=2xf(x)dxf(x)byx0a求旋转体体积—柱壳法曲边梯形y=f(x),x=a,x=b,y=0绕y轴dV=2xf(x)dxf(x)00xbxadx求旋转体体积—柱壳法曲边梯形y=f(x),x=a,x=b,y=0绕y轴dV=2xf(x)dxf(x)Yx0bdx0ybadxxxfV)(2a曲边梯形y=f(x),x=a,x=b,y=0绕y轴求旋转体体积—柱壳法dV=2xf(x)dx例1：所围图形曲线求由0,2,yxxy绕x轴与y轴旋转所得立体的体积。解：xy022(1)绕x轴：xdydV2xdxxdxV20.2dx(2)绕y轴：为中空立体，法1：的圆柱体体积，高为底半径为22V222V.5216dy—曲边三角形绕y轴旋转所得立体体积ydy2220)(22dx法2：柱壳法xdxfxVba)(2.5216xxfy)(xdxx202xy0轴所围图及表示xtxxfytV)0(,)()(例2.设)(xfy在x≥0时为连续的非负函数,且,0)0(f形绕直线x＝t旋转一周所成旋转体体积,证明:.)(2)(tftV证:x)(xfxoytdxx利用柱壳法dxxfxtdV)()(2则dxxfxttVt)()(2)(0dxxftt)(20dxxfxt)(20dxxftVt)(2)(0)(2tft)(2tft)(2)(tftV故dxxft)(20例3：设平面图形D由xyxyx与222确定,求D绕直线x=2旋转一周所得立体的体积。xy02解：轴，yx//2为积分变量。取yxyx222211yx,]1,0[],[dyyy取ydyydV])2()11([2221D.y93年考研题ydyydV])2()11([222ydyy])1(1[222ydyyV])1(1[22210)]1()1(1[2210102ydyydy][24103)1(31y.3222例4：。轴旋转所得立体的体积绕求曲线xxxy21解：21limxxx0，为水平渐近线0yxy0设b0,bV(b)xdxxbVb220)1()(2220)1(12xdxb)(limbVVb.2)111(22bxA(x)dV=A(x)dxx已知平行截面面积为A(x)的立体baxdxAV