《工程数学》课程十四――复变函数七

主讲教师:冉扬强工程数学复变函数辅导课程十四第五章留数第二篇复变函数第五章留数§2留数一、留数的定义及留数定理1、定义柯西定理告诉我们，如被积函数在围线c所围闭区域上解析，则积分，但如果在该区域上有奇点a(孤立奇点)，则积分一般说来不再为0.如：这里为函数的一阶极点.设a为的孤立奇点，在以a为心，半径为R的无心邻域，即在内把展成洛朗级数：洛朗级数的项的系数就这样具有特别重要的地位，称它为在a的留数(或余数或残数)，记着或或，这样：nnnazczf)()(cnnncdzazcdzzf)()(2,1()0,1,ncinzadzn　　　且为整数cicdzzf2)(1)(Rezfsaz)(Reasfazfs),(Re2、留数定理设在围线c所包围的区域D上除点外解析，并且在c上每点也解析，则二、留数的求法1、设a为的n阶极点，则1()22Re()czafzdzicisfz)(Re2)(1zfsidzzfnkazck2、当a为的一阶极点，则3、设,,在点a解析,且，而a为的一阶0点(即)，则1111Re()lim()()(1)!nnnzazadsfzczafzndz)()()(zzzf例1.求在的留数解：例2.计算解:，是的iizzizzfsiziziz211lim)11)((lim)(Re2iizzizzfsiziziz211lim)11)((lim)(Re22212Re()Re()01zzizidzisfzsfzziizfsizdziziz212)(Re211||2三阶极点,故例3.计算解:在单位圆周内,以z=0为孤立奇点.则:323233)!211(!3111)!21()!3()1(sinzzzzzzzzezzz三、无穷远点的留数定义：设函数在点的某无心邻域内解析，则称点为的孤立奇点.1)1(sinRe30zzezzs定义：设为的一个孤立奇点，则称：为在点的留数，记为是指沿c的反方向（顺时针方向），这正是点的正方向.无穷远点的留数等于在的洛朗展式中的系数的反号。定理：如果在闭平面上只有有限个孤立奇点(包括无穷远点在内)则在各点的留数的总和为0.1z)(Rezfsz)(Rezfsz例５.计算积分：解：求被积函数的奇点，令或得当时，解析，故无穷远处也是其奇点，所以0)(Re)(Re1zfszfsznkazk§3留数在定积分计算上的应用把实变积分联系于复变回路积分的要点如下：定积分的积分区间可以看作是复数平面上的实轴上的一段，于是，或者利用自变数的变换把变成某个新的复数平面上的回路，这样就可以应用留数定理了；或者另外补上一段曲线，使和合成回路l,l包围着区域B，这样一、计算(类型１)被积函数是三角函数有理式.作变量代换：)(sin121zzi1|:|,20:zz122()()()()()blllalfzdzfzdzfzdzfxdxfzdz20)sin,(cosdR例1、计算积分解：的模为：在单位圆内，而单极点的模为:在单位圆外。二、计算1、引理：设沿圆弧(R充分大，)上连续，且在上一致成立，则特别地，当则：2、(类型2)若(1)在实轴上没奇点;(2)在上半平面除有限个奇点外是解析的;(3)当在实轴上或上半平面时一致地，则：zQzPzfzzfz0Im02Rekkzaafxdxisfz例11设，计算解：在上半平面的奇点为：.3,2,1,042keaaikk3、(类型３)计算条件：(i).为偶函数，为奇函数(ii).,在实轴上没有奇点，在上半平面除有限个奇点外是解析的。014444033112ReRe22122222422224zazadxdxisfzsfzxaxaiiiaa(iii).当在上半平面或实轴上时，和一致地，则例13计算积分解：0z00cosRekmkimzzaIaFxmxdxisFze00sinRekmkimzzaIaGxmxdxsGzeimzimzezezF1120,1cos02mdxxmx)1,0(Niezeizzesmimzizimziz21lim1Re22mimzizeezFsidxxmx2Re1cos02