高等数学课件--重积分-(完整版)

回顾曲边梯形求面积的问题badxxfA)(一、问题的提出曲边梯形由连续曲线)(xfy)0)((xf、x轴与两条直线ax、bx所围成。abxyo)(xfy面积表示为定积分的步骤如下（1）把区间],[ba分成n个长度为ix的小区间，相应的曲边梯形被分为n个小窄曲边梯形，第i小窄曲边梯形的面积为iA，则niiAA1.（2）计算iA的近似值iiixfA)(iix（3）求和，得A的近似值.)(1iinixfAabxyo)(xfy（4）求极限，得A的精确值iinixfA)(lim10badxxf)(提示若用A表示任一小区间],[xxx上的窄曲边梯形的面积，则AA，并取dxxfA)(，于是dxxfA)(dxxfA)(lim.)(badxxfxdxxdA面积元素当所求量U符合下列条件：（1）U是与一个变量x的变化区间ba,有关的量；（2）U对于区间ba,具有可加性，就是说，如果把区间ba,分成许多部分区间，则U相应地分成许多部分量，而U等于所有部分量之和；（3）部分量iU的近似值可表示为iixf)(；就可以考虑用定积分来表达这个量U元素法的一般步骤：1）根据问题的具体情况，选取一个变量例如x为积分变量，并确定它的变化区间],[ba；2）设想把区间],[ba分成n个小区间，取其中任一小区间并记为],[dxxx，求出相应于这小区间的部分量U的近似值.如果U能近似地表示为],[ba上的一个连续函数在x处的值)(xf与dx的乘积，就把dxxf)(称为量U的元素且记作dU，即dxxfdU)(；3）以所求量U的元素dxxf)(为被积表达式，在区间],[ba上作定积分，得badxxfU)(，即为所求量U的积分表达式.这个方法通常叫做元素法．应用方向：平面图形的面积；体积；平面曲线的弧长；功；水压力；引力和平均值等．元素法的提出、思想、步骤.（注意微元法的本质）二、小结思考题微元法的实质是什么？思考题解答微元法的实质仍是“和式”的极限.xyo)(xfyabxyo)(1xfy)(2xfyab曲边梯形的面积badxxfA)(曲边梯形的面积badxxfxfA)]()([12一、直角坐标系情形xxxxx例1计算由两条抛物线xy2和2xy所围成的图形的面积.解两曲线的交点)1,1()0,0(面积元素dxxxdA)(2选为积分变量x]1,0[xdxxxA)(21010333223xx.312xy2yx例2计算由曲线xxy63和2xy所围成的图形的面积.解两曲线的交点).9,3(),4,2(),0,0(236xyxxy选为积分变量x]3,2[x],0,2[)1(xdxxxxdA)6(231],3,0[)2(xdxxxxdA)6(3222xyxxy63于是所求面积21AAAdxxxxA)6(2023dxxxx)6(3230.12253说明：注意各积分区间上被积函数的形式．问题：积分变量只能选吗？x例3计算由曲线xy22和直线4xy所围成的图形的面积.解两曲线的交点).4,8(),2,2(422xyxy选为积分变量y]4,2[ydyyydA242.1842dAAxy224xy如果曲边梯形的曲边为参数方程)()(tytx曲边梯形的面积.)()(21ttdtttA（其中1t和2t对应曲线起点与终点的参数值）在[1t,2t]（或[2t,1t]）上)(tx具有连续导数，)(ty连续.例4求椭圆12222byax的面积.解椭圆的参数方程tbytaxsincos由对称性知总面积等于4倍第一象限部分面积．aydxA0402)cos(sin4tatdbdttab202sin4.ab设由曲线)(r及射线、围成一曲边扇形，求其面积．这里，)(在],[上连续，且0)(．xodd面积元素ddA2)]([21曲边扇形的面积.)]([212dA二、极坐标系情形)(r例5求双纽线2cos22a所围平面图形的面积.解由对称性知总面积=4倍第一象限部分面积14AAdaA2cos214402.2axy2cos22a1A例6求心形线)cos1(ar所围平面图形的面积)0(a.解dadA22)cos1(21利用对称性知.232add2)cos1(02212aAd)coscos21(202a2sin41sin2232a0求在直角坐标系下、参数方程形式下、极坐标系下平面图形的面积.（注意恰当的选择积分变量有助于简化积分运算）三、小结思考题设曲线)(xfy过原点及点)3,2(，且)(xf为单调函数，并具有连续导数，今在曲线上任取一点作两坐标轴的平行线，其中一条平行线与x轴和曲线)(xfy围成的面积是另一条平行线与y轴和曲线)(xfy围成的面积的两倍，求曲线方程.思考题解答1S2Sxyo)(xfy),(yx122SSxdxxfS02)(xdxxfxySxyS021)(])([2)(00xxdxxfxydxxf,2)(30xydxxfx两边同时对求导xyxyxf22)(3yyx2积分得,2cxy因为曲线)(xfy过点)3,2(29c,292xy因为)(xf为单调函数所以所求曲线为.223xy一、填空题：1、由曲线eyeyx,及y轴所围成平面区域的面积是______________.2、由曲线23xy及直线xy2所围成平面区域的面积是_____.3、由曲线1,1,1,12xxyxxy所围成平面区域的面积是_______.4、计算xy22与4xy所围的区域面积时，选用____作变量较为简捷.5、由曲线xxeyey,与直线1x所围成平面区域的面积是_________.练习题6曲线2xy与它两条相互垂直的切线所围成平面图形的面积S，其中一条切线与曲线相切于点),(2aaA，0a，则当a__时，面积S最小.二、求由下列各曲线所围成的图形的面积：1、xy1与直线xy及2x；2、y2x与直线xy及xy2；3、)cos2(2ar；4、摆线)cos1(,)sin(tayttax)20(t及x轴；5、cos3r及cos1r的公共部分；6、笛卡尔叶形线axyyx333.三、求抛物线342xxy及其在点)3,0(和)0,3(处的切线所围成的图形的面积.四、求位于曲线xey下方，该曲线过原点的切线的左方以轴及x上方之间的图形的面积.五、求由抛物线axy42与过焦点的弦所围成的图形面积的最小值.一、1、1；2、332；3、2；4、y；5、21ee；6、21.二、1、2ln23；2、67；3、2a；4、23a；5、45；6、223a.三、49.四、2e.五、238a.练习题答案旋转体就是由一个平面图形饶这平面内一条直线旋转一周而成的立体．这直线叫做旋转轴．圆柱圆锥圆台一、旋转体的体积一般地，如果旋转体是由连续曲线)(xfy、直线ax、bx及x轴所围成的曲边梯形绕x轴旋转一周而成的立体，体积为多少？取积分变量为x，],[bax在],[ba上任取小区间],[dxxx，取以dx为底的窄边梯形绕x轴旋转而成的薄片的体积为体积元素，dxxfdV2)]([xdxxxyo旋转体的体积为dxxfVba2)]([)(xfyy例1连接坐标原点O及点),(rhP的直线、直线hx及x轴围成一个直角三角形．将它绕x轴旋转构成一个底半径为r、高为h的圆锥体，计算圆锥体的体积．r解hPxhry取积分变量为x，],0[hx在],0[h上任取小区间],[dxxx，xo直线方程为OP以dx为底的窄边梯形绕x轴旋转而成的薄片的体积为dxxhrdV2圆锥体的体积dxxhrVh20hxhr03223.32hryrhPxoaaoyx例2求星形线323232ayx)0(a绕x轴旋转构成旋转体的体积.解,323232xay332322xay],[aax旋转体的体积dxxaVaa33232.105323a类似地，如果旋转体是由连续曲线)(yx、直线cy、dy及y轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转一周而成的立体，体积为xyo)(yxcddyy2)]([dcV例3求摆线)sin(ttax，)cos1(tay的一拱与0y所围成的图形分别绕x轴、y轴旋转构成旋转体的体积.解绕x轴旋转的旋转体体积dxxyVax)(2202022)cos1()cos1(dttata20323)coscos3cos31(dtttta.532aa2a)(xy绕y轴旋转的旋转体体积可看作平面图OABC与OBC分别绕y轴旋转构成旋转体的体积之差.dtyxVay)(2202dtyxa)(2201oyxa2ABCa2)(2yxx)(1yxx222sin)sin(tdtatta022sin)sin(tdtatta2023sin)sin(tdttta.633a补充如果旋转体是由连续曲线)(xfy、直线ax、bx及x轴所围成的曲边梯形绕y轴旋转一周而成的立体，体积为dxxfxVbay|)(|2利用这个公式，可知上例中dxxfxVay|)(|22020)]sin([)cos1()sin(2ttadtatta2023)cos1)(sin(2dtttta.633a例4求由曲线24xy及0y所围成的图形绕直线3x旋转构成旋转体的体积.解取积分变量为y,]4,0[y体积元素为dyQMPMdV][22dyyy])43()43([22,412dyydyyV40412.643dyPQMxoab二、平行截面面积为已知的立体的体积xdxx如果一个立体不是旋转体，但却知道该立体上垂直于一定轴的各个截面面积，那么，这个立体的体积也可用定积分来计算.)(xA表示过点x且垂直于x轴的截面面积，)(xA为x的已知连续函数,)(dxxAdV.)(badxxAV立体体积例5一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心，并与底面交成角，计算这平面截圆柱体所得立体的体积.RRxyo解取坐标系如图底圆方程为222Ryx垂直于x轴的截面为直角三角形x截面面积,tan)(21)(22xRxA立体体积dxxRVRRtan)(2122.tan323R例6求以半径为R的圆为底、平行且等于底圆半径的线段为顶、高为h的正劈锥体的体积.解取坐标系如图底圆方程为,222RyxxyoRx垂直于x轴的截面为等腰三角形截面面积22)(xRhyhxA立体体积dxxRhVRR22.212hR旋转体的体积平行截面面积为已知的立体的体积绕轴旋转一周x绕轴旋转一周y绕非轴直线旋转一周三、小结思考题求曲线4xy，1y，0x所围成的图形绕y轴旋转构成旋转体的体积.思考题解答xyo14yxy交点),1,4(立体体积dyxVy12dyy1216116y.161y一、填空题：1、连续曲线,)(xfy直线ax，bx轴及x所围图形轴绕x旋转一周而成的立体的体积