第十章套利定价模型

第十章因素模型（书中第十一章内容）尽管马克威茨模型从理论上提供了一种由投资风险偏好选择证券组合的方法，但由于计算上困难使它在实际中的应用受到限制。1963年，夏普提出了单因素模型，为解决马柯威茨模型应用于大规模市场时的计算量问题提供了行之有效的途径，后来单因素模型被推广到多因素模型。因素模型的假设基础仍然是证券之间的相关性。但它认为证券之间的关联性是由于市场上的各种证券都受到一种或多种共同因素的影响造成的。因素模型正是企图捕捉这些共同影响因素，用一种线性结构方程来描述这些因素对每种证券收益率的影响。在搞清楚证券收益率与各影响因素的关系后，由因素的预测值和方差，估计证券组合的预期收益率和风险，从而确定最优投资组合。一、单因素模型1、含义：单因素模型指证券之间的关联性是由一个因素对市场产生普遍性影响所引起的。如果市场中的所有证券收益受到且仅受到一种因素的影响，我们可以分析每种证券收益率对该因素变动的敏感性。这种敏感性称为单因素模型。2、单因素模型其中：r为证券在t期的实际收益率；b为证券对因素F的敏感性。3、分析单因素可以是某一种对所有证券影响较大的因素，如GDP、市场利率等等。残差项中不含因素的影响，残差项与因素不相关，残差项之间亦不相关。ittiiitFbar4、证券的期望收益率、方差和协方差1、2、方差3、协方差单因素模型极大地简化了证券的期望收益率、方差及证券间的协方差的计算。在完成这些计算后，可按照马柯威茨模型确定有效边界，然后，投资者根据个人的无差异曲线，确定最优风险组合。)()(FEbarEiii)(2222iFiib2Fjiijbb5、市场模型特征线模型是一种特殊的单因素模型，其中的公共因素F就是市场组合收益率。实践中，常以市场指数作为单一公共因素F，这时的单因素模型称为市场模型。即：5、投资分散化在因素模型下，证券或证券组合的总风险可分解为因素风险和非因素风险。投资分散化的结果是因素风险趋于平均化，非因素风险将不断减少而趋近0。根据单因素模型，证券组合的方差为：当一个组合更加分散时，每个权数将变的更小，这使得系数b平均化、正常化，使得非因素风险不断减少而趋近0。iIiIiIirar)(2222PFPPbniiipbxb1niiiPx1222)()(二、多因素模型证券价格和收益率的变化通常会受到多个因素的影响。因此，当一个因素不足以解释证券的收益率以及证券间的关联性时，就要考虑增加多因素模型。1、多因素模型2、证券的期望收益率、方差、协方差同单因素模型一样，一旦完成上述计算，便可以导出马柯威茨模型中的有效边界，继而利用投资者的无差异曲线确定最优风险组合。同样，证券或证券组合的总风险可分解为因素风险和非因素风险。投资分散化的结果是因素风险趋于平均化，非因素风险将不断减少而趋近0。itKtiKitiiitFbFbar1)()()(11KiKiiiFEbFEbarE),()()(),(21212222tsKsKtsjtisitisFsjsisijKjKtsitsitisFjijiFFCovbbbbbbFFCovbbb三、因子模型与均衡因子模型可以看成市场模型的推广。在均衡下的市场模型为CAPM：对单因子模型有：它不是均衡的，但在一定条件下，它可以是均衡的。如：令：，令则单因子模型就变为CAPM。iFMFirrErrE)()()()(FEbarEiii)()(MrEFEiib)()1()()(MifiiFMFirErrrErrEiafir)1(第十一章资本资产套利（APT）模型马克维茨的模型和资本资产定价模型，给出了有效组合的确定方法和证券组合平衡价格与系统风险的关系，解释了证券之所以具有不同的期望收益是因为它们具有不同的系数。但是，这些理论和模型有很多严格而苛刻的条件，而这些假设在实际的资本市场中是很难满足的，由此得出的结论受到实际投资者的质疑。罗斯（1976），在因素模型的基础上，提出了套利定价理论，使资本资产定价理论有了突破性发展。与资本资产定价模型类似，套利定价理论讨论的也是证券期望收益和风险之间的关系，但所用的假设条件比资本资产定价模型要少的多。它的一个主要假设是，如果市场上存在不增加风险就能增加收益的机会，则每个投资者都会利用这个机会增加收益。这就是所谓的套利（Arbitrage）。套利定价理论认为，非均衡状态下套利机会的存在，使投资者进行无风险套利，最终导致均衡状态下套利机会的消失，使市场达到均衡状态。APT的基本假设为：（1）市场处于竞争均衡状态；（2）投资者喜欢更多的财富而不是更少的财富；（3）资产的回报可用因素模型表示。一、无风险套利1、APT研究的问题：如果所以的投资者对各种证券的期望收益和因素敏感性均有相同的估计，那么，在均衡状态下，各种证券取得不同收益的原因是什么？要回答以下几个问题：①一个市场是否以达到了均衡状态；②如果市场没有以达到了均衡状态，投资者会如何行动；③投资者的行动会如何影响市场，最终使市场达到均衡；④在均衡状态下，证券的收益率是由什么决定的。2、套利•套利是指投资者利用同一种资产在不同市场上的不合理价格关系，或不同资产在同一市场上的不合理价格关系获取一定数量无风险收益的行为。•对于整个证券市场，这种套利机会还包括“相似”证券组合构成的“近似套利机会”，这种近似性可通过因素模型来描述。•因素模型表明，具有相同因素敏感性的证券或证券组合，应具有相同的期望收益率，否则将存在“近似套利机会”，投资者将利用此机会获取一定数量无风险收益，他们的行为最终将使套利机会消失。而投资者实现上述套利机会的手段是建立套利组合。3、套利组合（1）所谓套利组合就是“零投资组合”。“零投资组合”是指投资者不需要为这一投资组合投入任何额外的资金，它可以通过证券的买卖交易对证券结构的调整来实现。（2）一个套利组合应该满足的条件：•不需要额外的资金，即组合中各证券的投资权数满足：•不承担因素风险，对任何因素的敏感性为0：•组合具有正的期望收益率：•注意：组合中各证券的投资权数之和为0，是指从旧的组合构造新的组合时投资资金的变动之和为0，并非指原来意义上的组合。021nxxx成立对Kibxbxbxninii,,2,10221102211nnxExExE4、建立套利组合后投资者的位置由于投资者建立的套利组合中各证券的投资权数实际上是投资者原来组合中相应证券权数的改变量。投资者建立的套利组合后，其位置是重新建立了一个组合，新组合中各证券权数是就组合中权数与套利组合权数之和。5、实例有三种股票组成的套利证券组合，假设它们的回报由单因素模型确定。各证券的期望收益及对单因素的敏感系数如下：股票120%4股票215%2.5股票310%3仅考虑单因素模型，建立的套利组合为：设，则，这个组合是否为套利组合，还要看该组合的期望回报是否为正：因此，该组合为套利组合。0321xxx035.24321xxx05.01x1.02x15.03x0%1%10)15.0(%151.0%2005.0)()()(332211xrExrExrE实例分析设投资者原来拥有三种证券的总价值为300万元，且每种证券为100万元，即原有证券组合的权数为1/3，则套利组合为：出售证券3：万元；购买证券1：万元；购买证券2：万元；构造套利组合后的总赢利为：3万元；套利组合后，投资者的地位为：证券1：，证券2：，证券3：45300)15.0(1530005.0303001.0383.005.031433.01.031183.015.031二、套利定价方程（1）如果所有投资者对因素模型都有相同的估计，当市场存在套利机会时，每个投资者都会利用这一机会，这时套利组合中权数为正的证券，每个投资者都要买进，买压使其价格上升，进而导致其收益率下降；相反，套利组合中权数为负的证券，每个投资者都要卖出，卖压使其价格下降，进而导致其收益率上升；这一过程逐渐使套利机会消失。当不再存在套利机会时，市场达到均衡，这时套利组合的期望收益率将为0。这样，下列线性方程组的解不存在：根据线性代数的知识，最后一个方程是多余的，它可以用其他方程线性表达。01112121212221212111nnnKKKnnxxxEEEbbbbbbbbb二、套利定价方程（2）记系数分别为，则资本资产套利定价方程为可见，在均衡状态下各证券的期望收益率完全由它所承担的因素风险所确定。承担相同因素风险的证券或组合应该具有相同的期望收益率。若市场中存在无风险资产，其收益率为，则有；对于的确定，可以考虑一种证券组合，它只对因素有单位敏感性，即，而对其他因素不敏感，即。根据上式知，该证券组合的期望收益率为，这样有：这表明实际上是对因素有单位敏感性的证券组合期望溢出收益率，称为风险因素的风险价格。记该证券组合的期望收益率为，则有：K,,,,210iKKiiibbbE22110frfr0j1jb)(,0jibifjrfjjrEjjfjjr二、套利定价方程（3）资本资产套利定价方程为：上式也叫做APT资产定价线。如果只有一个因子，上式为一条直线。根据套利定价理论，任何具有一个因子的载荷和预期回报的资产，如果不在套利定价线上，那么投资者就存在构造套利证券组合的机会。iKfKififfibrrbrbrrE)()()(2211套利定价线图中，资产U表示资产价格被低估，此时预期回报比资产A高，投资者可购买而出售构成一个套利组合；同样资产O表示资产价格被高估，此时预期回报比资产B高，投资者可购买而出售构成一个套利组合。0E(ri)bi....λ0.UABO三、APT与CAPM的一致性在一定的条件下，APT与CAPM是一致的。1、只有一个因子的情况当只有一个因子时，根据套利定价模型，有：根据资本资产定价模型，有：如果，，则APT与CAPM是一致的。这种情况发生在因素模型正好是市场模型的时候。一般情况下，这样，代入CAPM中，得：iffibrrrE)()(1ifMfibrrErrE))(()()(1MrEiib),cov(),cov(),cov(),cov(),cov(222MMiMMMMiMMiirFrFrrrFrrb2),cov(MMiirFbiMMFMfibrFrrErrE]),cov())([()(21、只有一个因子的情况（2）记如果CAPM成立，那么必然满足上式，的符号与相同，越大，市场回报就越大。21),cov())((MMFMrFrrE11),cov(MrF12、多因素的情况如果CAPM成立，同时APT的多因素模型成立，类似地有：一般假设，则：这样，记，即为CAPM成立下的APT多因素模型。),cov(),cov(),cov(),cov(),cov(2211MiMKiKMiMiMirrFbrFbrFbrr211),cov(MMiirFb0),cov(Mir222),cov(MMirFb2),cov(MMKiKrFb121]),cov())([()(iMMFMfibrFrrErrEiKMMKFMbrFrrE]),cov())([(2]),cov())([(2MMKFMjrFrrE四、因素的确定在APT中，没有回答的问题是因素的个数以及何种因素应包括在模型中。Ross在一篇文章中提出了以下几个因素：（1）工业产值增长率（2）通货膨胀率（3）长期与短期利率的差额（4）低级与高级债券的差别；另外，伯雷等的另一篇文章中提出5个因素，其中前三个