D4_6中值定理

第三节中值定理应用研究函数性质及曲线性态利用导数解决实际问题罗尔中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理泰勒公式推广微分学基本定理及其应用一、罗尔(Rolle)定理机动目录上页下页返回结束二、拉格朗日中值定理三、柯西(Cauchy)中值定理中值定理第四章质来得到f在该区间上的整体性质.f中值定理,就可以根据在区间上的性中值定理是联系与f的桥梁.有了f费马(fermat)引理一、罗尔(Rolle)定理且存在)(或证:设则00xyo0x费马目录上页下页返回结束证毕罗尔（Rolle）定理满足:(1)在区间[a,b]上连续(2)在区间(a,b)内可导(3)f(a)=f(b)使.0)(fxyoab)(xfy证:故在[a,b]上取得最大值M和最小值m.若M=m,则因此在(a,b)内至少存在一点机动目录上页下页返回结束若Mm,则M和m中至少有一个与端点值不等,不妨设则至少存在一点使.0)(f注意:1)定理条件条件不全具备,结论不一定成立.例如,x1yo则由费马引理得x1yo1x1yo机动目录上页下页返回结束使2)定理条件只是充分的.本定理可推广为在(a,b)内可导,且)(limxfax)(limxfbx在(a,b)内至少存在一点证明提示:设证F(x)在[a,b]上满足罗尔定理.机动目录上页下页返回结束2()()fxxDx注函数-1O121234xy[1,2]在区间上三个条件都不满足,却仍有f(0)=0.这说明罗尔定理的三个条件是充分条件,而不是必要条件.12,()[,]pxxx是多项式所以在上满足罗尔定理,0)(p这与条件矛盾.例1设p(x)是一个多项式,且方程p'(x)=0没有实(,)ab的条件,从而存在，使得证,,,)(2121xxxxxp有两个实根设()px由于重数为1.根,则方程p(x)=0至多有一个实根，且这个根的10101()()()()(),kkpxkxxpxxxpx因为,0)(0xp所以矛盾.则次重根有又若,)(0xkxp.2),()()(10kxpxxxpk例1.证明方程,15)(5xxxf,0)(0xf有且仅有一个小于1的正实根.证:1)存在性.则)(xf在[0,1]连续,且由介值定理知存在,)1,0(0x使即方程有小于1的正根2)唯一性.假设另有在以)(xf10,xx为端点的区间满足罗尔定理条件,之间在10,xx至少存在一点但矛盾,故假设不真!设机动目录上页下页返回结束二、拉格朗日中值定理)((1)在区间[a,b]上连续满足:(2)在区间(a,b)内可导至少存在一点使.)()()(abafbffxyoab)(xfy思路:利用逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数作辅助函数显然,在[a,b]上连续,在(a,b)内可导,且证:问题转化为证)(x)(xfxabafbf)()()(a由罗尔定理知至少存在一点即定理结论成立.,)(babbfaafb)()(拉氏目录上页下页返回结束0)()()(abafbff证毕拉格朗日中值定理的有限增量形式:推论:若函数在区间I上满足则在I上必为常数.证:在I上任取两点日中值公式,得0由的任意性知,在I上为常数.)10()(0xxxfy令则机动目录上页下页返回结束例3.证明等式证:设由推论可知(常数)令x=0,得又故所证等式在定义域上成立.自证:),(x,2cotarcarctanxx经验:欲证Ix时,)(0Cxf只需证在I上,0)(xf,0Ix且.)(00Cxf使机动目录上页下页返回结束例4.证明不等式证:设,)1ln()(ttf中值定理条件,即因为故.)0()1ln(1xxxxx因此应有机动目录上页下页返回结束三、柯西(Cauchy)中值定理0)()()()()()(fFaFbFafbf)(分析:及(1)在闭区间[a,b]上连续(2)在开区间(a,b)内可导(3)在开区间(a,b)内至少存在一点使.)()()()()()(FfaFbFafbf满足:)()(aFbF))((abFba0要证)()()()()()()(xfxFaFbFafbfx柯西目录上页下页返回结束证:作辅助函数)()()()()()()(xfxFaFbFafbfx)()()()()()()()(baFbFbFafaFbfa,),(,],[)(内可导在上连续在则babax且使即由罗尔定理知,至少存在一点.)()()()()()(FfaFbFafbf思考:柯西定理的下述证法对吗?),(,))(()()(baabfafbf),(,))(()()(baabFaFbF两个不一定相同错!机动目录上页下页返回结束上面两式相比即得结论.柯西定理的几何意义:)(F)(aF)()(tfytFx)(af)(bF)(bf)()(ddtFtfxy注意:xyo弦的斜率切线斜率机动目录上页下页返回结束)0()1(FF例5.设,)(2xxF至少存在一点使证:结论可变形为设则)(,)(xFxf在[0,1]上满足柯西中值定理条件,因此在(0,1)内至少存在一点,使)(F01即证明机动目录上页下页返回结束),1(,)()()1()()1()(eFfFeFfef例6.试证至少存在一点使证:法1用柯西中值定理.xxFxxfln)(,lnsin)(则f(x),F(x)在[1,e]上满足柯西中值定理条件,令因此11lncos即分析:机动目录上页下页返回结束例6.试证至少存在一点使法2令xxflnsin)(则f(x)在[1,e]上满足罗尔中值定理条件,使xlncos)(xf1sinx1因此存在x1xln1sin机动目录上页下页返回结束内容小结1.微分中值定理的条件、结论及关系罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理)()(afbfxxF)()()(afbfxxF)(2.微分中值定理的应用(1)证明恒等式(2)证明不等式(3)证明有关中值问题的结论关键:利用逆向思维设辅助函数费马引理机动目录上页下页返回结束若f(x)在(a,b)上可微,[a,b]上连续,则对于任意],(bax,存在,使),(xa),)(()()(axfafxf)()()(faxafxf能否推出.)()(limafxfax当时,必有.从等式axa思考：.)()(lim存在afaxafxfax不能。不能推出存在，（由归结原理）)(limfa思考与练习1.填空题1)函数在区间[1,2]上满足拉格朗日定理条件,则中值._____2)设有个根,它们分别在区间34153)4,3(,)2,1(,)3,2(机动目录上页下页返回结束上.方程2.设],,0[)(Cxf且在),0(内可导,证明至少存在一点,),0(使.cot)()(ff提示:由结论可知,只需证即0sin)(xxxf验证)(xF在],0[上满足罗尔定理条件.设xxfxFsin)()(机动目录上页下页返回结束3.若)(xf可导,试证在其两个零点间一定有)()(xfxf的零点.提示:设,,0)()(2121xxxfxf欲证:,),(21xx使0)()(ff只要证0)()(ffee亦即0])([xxxfe作辅助函数,)()(xfexFx验证)(xF在],[21xx上满足罗尔定理条件.机动目录上页下页返回结束4.思考:在),0(,)0)(()0()(xxffxf即xx12sin1sin2(,)cos1x),0(xxx111sinsin2cos当,00x时.0cos1问是否可由此得出?0coslim10xx不能!因为)(x是依赖于x的一个特殊的函数.因此由上式得表示x从右侧以任意方式趋于0.0x应用拉格朗日中值定理得上对函数机动目录上页下页返回结束备用题求证存在,)1,0(使1.设]1,0[可导，且,0)1(f在连续，)1,0()(xf证：)()(xfxxn,)1,0(因此至少存在显然)(x在上满足罗尔定理条件,]1,0[)(即设辅助函数使得)()(1ffnnn0机动目录上页下页返回结束0)0(,0)(fxf设证明对任意0,021xx有)()()(2121xfxfxxf证：210xx)()()(1221xfxfxxf12)(xf0))((121fx)()()(2121xfxfxxf,(2122xxx2.不妨设)0()()()(1221fxfxfxxf)(21)011x机动目录上页下页返回结束第二节目录上页下页返回结束