§2怎样寻找适题的物理规律,来建立未知量和已知量间的关系

1§2怎样寻找适题的物理规律，来建立已知量和未知量之间的关系？习题是多种多样的，特别是力学题。正是变化多端。但是，解题的方法概括起来，主要的、基本的是两种：一种是力法，一种是能法。有的可能对此分法持怀疑态度，因为对有的规律的归属问题感到有困难。例如，有的问：动量原理应属于哪种方法？我们的回答是：力法。为什么？因为牛顿运动定律有微分形式和积分形式之分；力等于动量的变化率为其微分形式，由微分形式对时间即得动量原理，也就是说，动量原理是牛顿运动定律的积分形式。一道习题到手，用力法还能法解，或两者兼用？这又有两种思路：一是分析法，一是综合法。在实践中，也不一定是单一的，而常常把分析和综合结合起来，思考比较方便，解题过程是一个逻辑思维过程，要善于分析和综合。对于简单的习题，它需要应用什么物理规律才容易找到适宜的解题方法，对于难度较大的习题，所涉及的物理过程往往比较复杂，题目中给出的条件往往比较多，可能要用到好多的物理规律。未知量和已知量之间的关系往往复杂而又隐蔽，不易一眼就能看出来。同学们能否顺利地解出这种难度较大的习题，主要决定于对基础理论知识是否理解深刻，是否掌握得牢固。同时，也取决于能否根据习题的内容和给出的给出的条件正确进行分析、综合，寻找适题的物理规律而把待求的未知量和已知量的关系建立起来。一、分析法所谓分析法，就是从整体到局部的思维方法，也就是把问题化速整为零，逐步引向待求的未知量的思考方法。具体地说，就是：在认真审题、分析题意的基础上，首先找出能直接回答题目里的问话的物理规律及其公式。这个能直接表达待求量的公式，我们称为原始公式，原始公式往往都是基本的物理公式。一般来说，正确地原始公式，就有了正确的前进方向。观察原始公式中包含哪几个未知量，就再列出相应的表达式。这样按一定的逻辑思维顺序逐步分析、推演下去，直到待求物理量完全可用已知量表达为止。对原始公式逐步分析、推演的过程，就是逐步引向待求量的解决过程。故分析即为“执果索因”下面举例说明分析法的应用。［例1］冲击摆的质量为M，摆长为l，一质量为m的子弹以水平速度0v射入摆内，求擂的最大偏转角度θ。（图1－2－1）。［分析］要求摆的最大偏转角θ，应求出摆的上升高度h,由图可见cos/lhl2该式就是包含待求量的原始公式。怎样求h呢？押运和子弹在高度h时所具有的势能为Mmgh，根据机械能守恒定律，它等于子弹射入后，摆和子弹的动能212mMv，即212Mmghmmv要找出h,必须先求得v，而子弹射入后摆和子弹的共同速度0v，又可用动量守恒定律求出：0mvMmv至此，未知量和已知量间的全部关系都已找到。此题的总公式为：202cos12mvmMgl由此即可求得摆的最大偏转角。［例2］质量为m和M的两个小球A和B拴在一根细线的两端，线长为l，3Mm，置质量为M的小球B于光滑的水平面上。小球A刚刚跨过桌边。当A下落时拉着B沿桌面滑动。A下落的高度h（设hl）后，着地作完全非弹性碰撞，B继续前滑，滑出桌面后落地。求B球和A球着地点的距离（图1－2－2）为了能够列出原始公式，应从直接回答本题中最后的问话开始。包含两球着地点间距的原始公式，不是一下能看得出来的，应对题设的物理现象加以分析后才可能列出。A球和地面相碰作完全非弹性碰撞，因此着地后就停止不动。由于hl＜B球离开桌面后作平抛运动＞B球离开桌边的水平间距离即为两球着地后的水平间距S。因此包含待求量的原始公式为Svt。上式中v、t都是未知的。B球离开桌边时的竖直方向的初速度为零，当它自由下落高度为h时所无原则的时间2htg，这时间与B球平抛落地的时间相等。3至于v，可利用机械能守恒定律求出。当发A球刚着地时，就A、B两球和地球组成的新系统而言，动能2212kEMmv，势能2PEMgh；而A球刚要离开边时，初速为零，10kE，1PEMmgh。由于该系统没有受外力，内力中也没有非保守力，因此，机械能保持不变：2102MmghMmvMgh至此，把未知量和已知量间的关系都已求出了。S即可从中解得，S＝h.［例3］质量为m的物体A，以速度0v枯平台上运动，滑到与平台等高的、静止的、质量为M的平板小车上。A、B间的滑动摩擦因数为。设平板小车在光滑水平面上运动，A的体积不计。要使A在B上不滑出去，平板小车至少多长？（图1－2－3）［解法一］为了寻找适题的公式，必须先搞清本题目所描述的物理过程：A以0v滑到小车上后，受到一个恒定的摩擦力mg作用而作匀减速直线运动。同时，A以恒力mg带动小车作匀加速直线运动。A的速度逐渐减小，小车的速度逐渐增加。当两者对地的速度相等时，两者之间无相对运动也无相对滑动趋势，摩擦力就变为零。于是，A、B以共同的速度v前进。这时，A相对小车B滑动的位移为L，即为所小车的最短长度。在B上看，A作初速为0v的匀减速直线运动，其加速度为a，它的方向与0v相反。A的末速度0tv，故有：2002(1)vaL此即为包含待求量L的原始公式。公式中还包含蹭未知量a。因此，尚且列出新方程。将A隔离，以地面为参照系，列出方程：(2)Mmgmaa式中Ma为小车对地的加速度，这又是一个中间未知量。为了求得a，还得再列一个方程。将B隔离，以地面为参考系，列出方程：4(3)MmgMa至此，三个未知量L、a、Ma，通过三个独立方程，即可将L求出来了。解：联立式（1）～(3)得：20121magMvLmgM［解法二］本题的物理过程尚可作下列分析：A滑到B上，其间摩擦力。在同时间t内，A从0v减速到v，小车从0增加到v。在t内，A一边在B上运动，同时又随B运动，它相对地面发生的位移不是L而是S，此过程中A受到B的摩擦力mg的作用。该力对A作负功，使A的动能发生变化。同时小车对地面发生位移SL，在此过程中，摩擦力对B作正功，使小车的动能增大。首先考虑B，根据功能原理有：21(1)2mgSLMv该式为原始公式，它包含了待求的L，但又包含了中间未知量v、S，因此尚无原则进一步建立新的方程。考虑A，应用功能原理有：22011(2)22mgSmvmv再对A应用动量原理有：0(3)mgtmvv该式又带来一个新的未知量，所以还得建立一个方程。对B应用动量定理，有：(4)mgtMv至此，四个未知数L、v、S、t，有四个独立方程即可求将L求出。［解］由式（1）、（2）得：22011(5)22mgLmMvmv由式（3）、（4）得：0mvvmM代入（5）式得：20201122mvmgLmMmvMm由此式解得：2021vLmgM5［解法三］若以小车B为参照系，则A的速度由00v，在小车上的位移为L，则根据运动学公式有：0(1)2vtL此即原始公式。式中包含中间未知量t。对B有：(2)MvmgtMvtmg该式中又多了中间未知量v，由解法二知：0(3)mvvMm以式（3）代入式（2），再代入式（1），即可求得L。［例4］压强为1760PmmHg的空气，体积13Vl，被等温地压缩到20.5Vl。求传递的热量。用分析法必须先求出原始公式，而这原始公式又并非显而易见的。初看已知条件很容易使人到应用玻意耳－马略特定律PV常数，但这一定律与被传递的热量间没有直接的联系，因此只靠它是不能解决问题的，要寻求此冲量的解答，只有从另外的角度下手。在这个问题中，自然会产生这样一个问题：被传递的热量究竟与什么有关？这就会我们联想到是否可以应用热力学第一定律来解决，因为热力学第一定律正是说明被传递热量Q、系统内能变化E，作用于这个系统上的外力的功A三者之间的关系，即QEA。当然这仅仅是提供了问题获得解决的可能性，实际能否解决，还需要对已知条件进行分析。根据已知条件，压缩是在等温条件下进行的，在这样的条件下，对于理想气体来说，内能的变化为零（一定量的理想气体的内能由温度唯一决定）。这样如把空气当作理想气体来处理，则热力学第一定律为QA，就是原始公式。可见，只要能计算出功A的大小，就能算出被传递的热量。那么又怎样计算功呢？根据已知条件，并且所考虑的过程是等温过程，因此过程的始末状态是已知的。对一定的过程，知道了它的始末状态，这过程的功就可以计算。因此，这题就变为：把空气当作理想气体来处理的情况下，等温过程的功怎样计算？等温压缩过程的功：22211121lnvvvvvvVnRTdVAPdVdVnRTnRTVVV至此，已找出了待求量与已知量之间的全部关系。代入已知数据，即可求得25.4710QJ，负号表示系统把热量传递给外界。6［例5］在电阻为零，相距L的两平行金属导轨上。垂直地搁着两根质量均为m、电阻均为2R的金属棒AB和CD，并假设金属棒可以在导轨上无摩擦地滑动。整修装置水平地置于一匀强磁场中（图1－2－4）。如对AB作用一垂直AB的恒力F，试求CD棒的最大加速度。本题用分析法来思考，其原始公式就更加难以列出了。为此还应该把题设的物理现象搞清楚。CD棒在水平方向上作加速运动，根据牛顿第二定律，它在水平方向上的合外力肯定不等于零。那么这力是怎样产生的呢？它的加速度为什么有一个最大值？在外力F的作用下，AB开始以1a的加速度向右运动，1Fam。随后当AB有了速度1v时，由于切割磁感应线，根据电磁感应定律，产生感应电动势11BLv，从而在回路中形成了电流1IR，于是这感应电流又使AB受到了安培力1fBIL的作用，方向向左。因此，AB的加速度要减小。与此同时，CD也受到安培力2fBIL的作用，方向向右，从而产生加速度22fam。当CD有了速度2v而切割磁感应线时，也产生了感应电动势22BLv，方向与1相反，它阻碍着电流的增加。回路里的电流1212BLvvIRR，根据楞次定律可知，电流的方向沿逆时针方向。I的出现，使1a减小，同时2a增大。尽管如此，在开始的一段时间里，1a虽然减小，但它总比从零开始增加着的2a大。这表明，在这一段时间里，不仅1v总比2v大，而且1v的增加总比2v快，因此，12vv在增加，回路里的电流I在增加，致使11Ffam继续减小，22fam继续增加。由于F不恒力，所发生的过程必然是单调的。于是加速度1a、2a的数值就单调地互相接近，直至12aa。同时，1v与2v的差、I和f也都趋近于常数。因此，122maxaaa即为原始公式。而11Ffam，22fam，所以2max2Fam。可见，CD的加速度由零开始意识地增加，一直到最大值2Fm。7二、综合法综合法是一种从局部到整体的逻辑思维方法。应用综合法，从已知量开始，根据题意，把习题成逐个简单的部分来考虑，把各已知量之间的函数关系全部找到，再按题意和有关的物理规律及物理概念，把已找出的几个简单部分的结果综合在一起，就能把习题解出来。下面试举几例：［例6］从位于一定高度的气球上自由落下两个重物，第一个重物降落一秒后，第二个重物开始降落，两个重物用93m的绳子连结着。求：①第二个重物降落后再经过多长时间，绳子恰被拉直？②在绳子拉紧之前，第一个重物相对于第二个重物来说，作怎样的运动？用综合法考虑要。从已知量开始，先分别列出第一个重物和第二个重物的运动方程，然后根据题中所提出的两个问题分别进行综合。设1y和2y分别是第一重物和第二重物在绳子拉紧前所通过的位移。如第二个重物的运动时间为t秒，则第一个重物运动时间为t+1秒。因为两个重物都作自由落体运动，所以它们的运动方程分别是：2111(1)2ygt221(2)2ygt当绳子被拉紧时，可以综合上面二式得：22121119322yygtgt由此可求出，第二个重物降落后再经8.8秒绳子刚被拉紧。当绳子未被拉紧时，设y为第一个重物相对于第二个重物的位