第九章 地下水向完整井的非稳定运动

1第9章地下水向完整井的非稳定运动1MULTIPLEAQUIFERSDistortedscale!!9.1承压含水层中的完整井流（一）泰斯模型水文地质条件（八个假设）①承压含水层均质、各向同性，等厚且水平分布，水和含水层均假定为弹性体；②无垂向补给、排泄，即W＝0；③渗流满足达西定律；④完整井，假定流量沿井壁均匀进水；⑤水头下降引起地下水从储量中的释放是瞬时完成的；⑥抽水前水头面是水平的；⑦井径无限小且定流量抽水；⑧含水层侧向无限延伸。在上述假设条件下，抽水后将形成以井轴为对称轴的下降漏斗，将坐标原点放在含水层底板抽水井的井轴处，井轴为Z轴，如图4-1所示。图4-1承压水完整井流分析定流量抽水条件下形成轴对称井流流场，其定解问题可写为：()()()()()()⎪⎪⎪⎩⎪⎪⎪⎨⎧=∂∂=∞∞≤=∞≤∂∂=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛∂∂+∂∂→0)(2lim0,00,0,0100022tQrHrTtHtHrHrHtrtHrHrrHr常量πα（二）数学模型(4-1)(4-2)(4-3)(4-4)此时，单井定流量的承压完整井流，可归纳为如下的数学模型：式中，s=H0-H。下边研究如何求降深函数s(r,t)。为此，利用Hankel变换，将方程式(4-1)两端同乘以rJ0(βr)，并在(0,∞)内对r积分。2*21ssusrrrTt∂∂∂+=∂∂∂t0，0r∞(4-1)（4-2）s(r，0)=00r∞s(∞，t)=0，0rsr→∞∂=∂0lim2rsQrrTπ→∂=−∂（4-4）（4-3）t0设导压系数，则有：方程式右端方程式左端，利用分部积分，同时注意到边界条件式（4-3）与式(4-4)，有：按Bessel函数的性质，有：*Taμ=00001()()ssarrJrdrrJrdrrrttββ∞∞∂∂∂⎛⎞=⎜⎟∂∂∂⎝⎠∫∫0000()()sdsrJrdrsrJrdrttdtββ∞∞∂∂==∂∂∫∫[]01001()()()2saQarrJrdrasdrJrrrtTβββπ∞∞∂∂=−∂∂∫∫[]1000()()sdrJrsrJrdrβββ∞∞=∫∫2因此，有：上述定解问题，经过Hankel变换，消去了变量r，转变为常微分方程的初值问题，即：其解为：再通过Hankel逆变换由求s，即：2001()2saQarrJrdrasrrrTββπ∞∂∂⎛⎞=−⎜⎟∂∂⎝⎠∫2200dsaQasdtTstβπ+===2()02tataQsedTβττπ−−=∫200()000()()2tatssJrdaQeJrddTβτββββββτπ∞∞−−=⎡⎤=⎢⎥⎣⎦∫∫∫（4-5）s先计算方括号内的积分，为此设：将(4-6)式对r求导数，有：根据（4-6）式，有：2()00()()atFreJrdβτβββ∞−−=∫（4-6）22()00()00()()1()2()atatFreJrdreJrdatβτβτββββγββτ∞−−∞−−∂′=∂=−−∫∫()()2()()()2()rFrFratdFrrdrFratττ′=−−=−−两边积分得：令，则有：故：利用r=0时的F（r）值，由（4-6）可以确定C值：但由(4-7)式，有：把上式代入(4-5)式，有：21ln()4()rFrCatτ=−+−1lnCC=2()ln4()FrrCatτ=−−24()()ratFrCeτ−−=（4-7）2()001(0)(0)2()atFeJdatβτββτ∞−−==−∫1(0),2()FCCatτ==−24()1()2()ratFreatττ−−=−24()0122()rtataQsedTatττπτ−−=−∫（4-8）为计算方便，对（4-8）式进行变量代换，令：同时更换积分上下限，当τ=0时，当τ=t时，y=于是，其中，222,4()4rryddyatayττ==−atry42=222244444yyruatQerQesdydyrTayTyayππ−−∞∞==∫∫（4-9）22*44rruaTTtμ==（4-10）∞在地下水动力学中，采用井函数W(u)代替(4-9)式中的指数积分式：则(4-9)式可改写成：式中，s——抽水影响范围内，任一点任一时刻的水位降深；Q——抽水井的流量；T——导水系数；t——自抽水开始到计算时刻的时间；r——计算点到抽水井的距离；µ*——含水层的贮水系数。(4-9)式为无补给的承压水完整井定流量非稳定流计算公式，也就是著名的Theis公式。()()yiueWuEudyy−∞=−−=∫()4QsWuTπ=（4-11）为了计算方便，通常将W(u)展开成级数形式：并制成数值表（表4-1），只要求出u值，从表4-1中就可查出相应的W（u）值；反之亦然。21()0.577216ln(1)nynunuWuedyuuynn∞∞−===−−+−−⋅∑∫3Theis标准曲线1E-061E-051E-041E-031E-021E-011E+001E+011E+021E-021E+001E+021E+041E+061E+081E+101E+121E+141E+161/uW(u)2.流量变化时的计算公式Theis公式是在假定流量固定不变的情况下导出的。这种情况通常只有在抽水试验时才能做到。实际上，很多生产井的流量是季节性变化的。如农用井在灌溉季节抽水量大，非灌溉季节抽水量小。工业用水也有类似情况，常随需水量而变化。在这种情况下，怎样应用Theis公式?首先需要绘出生产井的Q=f（t）关系曲线，即流量过程线。然后将流量过程线概化，用阶梯形折线代替原曲线，坐标选择如图4-2所示。概化原则是矩形面积等于曲线于横坐标所围成的面积。其中，每一个阶梯都可视为定流量，应用Theis公式。把各阶梯流量产生的降深，按叠加原理叠加起来，即得流量变化时水位降深的计算公式。当0tt1时，水位降深为：2144QrusWTTtπ∗⎛⎞=⎜⎟⎝⎠图4-2流量概化呈阶梯状变化图1iittt−2221121114444()44()iiiQQQQQrrrsμμμπππ∗∗∗−−⎡⎤⎡⎤⎛⎞−−=++⋅⋅⋅+⎜⎟⎢⎥⎢⎥−−⎝⎠⎣⎦⎣⎦当时，水位降深为：t时刻经历若干个阶梯流量后所产生的总水位降深为：式中，设t0=0，相应的Q0=0。(4-12)式为流量变化时，经概化呈阶梯状变化后的计算公式。21111()44()niiiirsQQWTTttμπ∗−=−⎡⎤=−⎢⎥−⎣⎦∑1iittt−（4-12）前三项之后的级数是一个交错级数。根据交错级数的性质可知，这个级数之和不超过u。也就是说，当u很小，井函数W(u)用级数前两项(-0.577216-lnu)代替时，其舍掉部分不超过2u。因此，•当u≤0.01(即)井函数用级数前两项代替时，其相对误差不超过0.25%；•当u≤0.05时(即)，相对误差不超过2%；•当u≤0.1时（即），相对误差不超过5%。一般生产上允许相对误差在2%左右。因此，当u≤0.01或u≤0.05时，井函数可用级数的前两项代替，即：225rutT∗≥25rutT∗≥22.5rutT∗≥22.25()0.577216lnlnTtWuurμ∗−−=3.Theis公式的近似表达式如前述，Theis公式中的井函数，可以展开成无穷级数形式，即：21()0.577216ln(1)!nynunuWuedyuuynn∞∞−===−−+−−⋅∑∫4于是，Theis公式可以近似地表示为下列形式：(4-13)式称为Jacob公式(1946)。流量阶梯状变化时，当ui≤0.01时，即(4-12)式可近似地表示为：2*22.250.1832.25lnlg4QTtQTtsTrTruπμ==∗(4-13)11212.25()0.183()lgniiiiTttsQQTrμ−−∗=−=−∑(4-14)2()25(1,2)irttinTμ∗−≥=L泰斯公式讨论1、各因素对降深的影响（一）()0,0,,=⇒→∞→↓↑suWrs①r()0,0,0,=⇒→∞→=↑↑suWuts②t成正比与抽水量降深Qs③,↓↑s④eμ说明：在抽取地下水后无补给增量与排泄减量的条件下，开采量全部来自储存量的释放，体现在水头降深上，当弹性给水度μe为常量，且瞬时释水，Q与s成正比。说明：当Q和t一定时，含水层释水的体积V=Qt一定。若μe越大，表明单位水平面积的含水层柱体在单位水头下释水能力越强，则s越小。反之，μe越小，则s越大。()()atruuWTQtrs44,2==π泰斯公式讨论1、各因素对降深的影响（二）↓→↑sTTQA4:π⑤s与T的关系表现为：↑→↑⎟⎟⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎜⎜⎝⎛sTtTrWBe4:2μ理解为内边界条件对s的作用。Q是定流量的内边界条件，而当井径rw一定时，Q/T可理解为水力坡度的内边界条件。Q/T越大，J越大，s越大，所以，T越大，J越小，s越小。理解为任一由r至r＋△r围成的均衡段内其下游断面流量Qr大于上游断面流量Qr+△r必由均衡段内含水层释水量来均衡，从而导致水头降在漏斗一定且μe一定时，若T大，则s亦大；若T小，则s亦小。泰斯公式讨论1、各因素对降深的影响（三）↑↑→=sasTaT⑥see随的关系与μμa：导压系数压力传导系数不应理解为含水层某种压力改变后，压力向四周传播的速度。实际上压力传播的速度是以含水层的音速推进，在前面假定中假定了释水瞬时完成。这也就意味着不管抽水持续时间多短，任何r处都瞬时发生水头下降。对含水层而言，a可理解为含水层由于某种因素（外界刺激）破坏原有平衡形成不稳定流动时，地下水水头再分布以适应新条件的速度。在某些条件下，表征地下水趋向稳定流动或拟稳定流动（水头H随时间变化，但水力坡度J不随时间变化的一种不稳定流动）的速度。泰斯公式讨论1、各因素对降深的影响（四）⑦t趋向无穷大时，s也趋向于无穷大。()()uWTQtrsπ4,=这似乎不太合理。但要注意公式的应用条件，承压井流保持承压状态，即s不得大于（H0－M），否则将转化为承压－无压井流，破坏了基本条件。对于无压井流，s不得大于h0。因为在s=h0以后，流量将变小，破坏了定流量的基本条件，那时，就转变为定降深变流量的条件了。⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⋅⋅=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎟⎠⎞⎜⎝⎛−+⎟⎠⎞⎜⎝⎛−⋅⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛⋅∂∂⋅=∂∂−−−−14141141414242242244222222atretTQtetaretTQettTQtsatratratratrπππ()atruetTQtarueTQtuduudWTQts4222141444−−=⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−⋅⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛−=∂∂=∂∂πππ①由此可以看出：对同一时间而言，近处水头下降快，远处慢。②对于同一距离、不同时间的下降速率，需要将上式左端再对t求导：由此可见：s=s(t)曲线有一拐点。要求拐点位置，令上式等于0。泰斯公式讨论2、承压含水层中任意点水头下降速度（一）5设拐点处时间为t,则：arti42=()214440.21940.01754iiQrQsWWTatTQQTTπππ⎛⎞==⎜⎟⎝⎠=×=那么拐点处降深为：该式表明拐点处降深与r无关。则拐点处斜率为：2212117.0368.044rQTraQeraTQtseiμππ=⋅=⋅⋅=⎟⎠⎞⎜⎝⎛∂∂−在抽水过程中，水位下降速率随时间：由慢——快——慢泰斯公式讨论2、承压含水层中任意点水头下降速度（二）由可知：atretTQts4214−=∂∂π⎟⎟⎠⎞⎜⎜⎝⎛≥≤artatr222501.04当t足够大时，以致：tKMQtseatr14199.042⋅≈∂∂∴≈=∴−π意味着，在一定范围内，它们的水头下降速度相同，与r无关。（即J不变）泰斯公式讨论2、承压含水层中任意点水头下降速度（三）地下水动力学课程组tKMQts14⋅≈∂∂π意味着，在一定范围内，它们的水头下降速度相同，与r无关（即J不变）。换言之：在一定r范围内，经过一定的抽水时间之后，承压漏斗曲线平行下降。该现象已被大量抽水试验验证。漏斗曲线平行下降范围可按下式近似确定：atr