数值计算方法第2章

第2章贝齐尔曲线和B样条曲线到了70年代，法国雷诺汽车公司的工程师贝齐尔（Bezier）创造出一种适用于几何体外形设计的新的曲线表示法。这种方法的优越性在于：对于在平面上随手勾画出的一个多边形（称为特征多边形），只要把其顶点坐标输入计算机，经过不到一秒钟的计算，绘图机就会自动画出同这个多边形很相像、又十分光滑的一条曲线。这种方法被人们称为贝齐尔(Bezier)方法(以下统称为Bezier方法)。2.1贝齐尔曲线2.2B样条函数2.3B样条曲线2.4自由曲线设计2.1贝齐尔曲线贝齐尔曲线的形状是通过一组多边折线（也称为贝齐尔控制多边形）的各顶点惟一地定义出来的。在该多边折线的各顶点中，只有第一点和最后一点在曲线上，其余的顶点则用来定义曲线的形状。图2-1列举了一些Bezier多边折线和相应的Bezier曲线的形状关系。图2-1Bezier曲线称为n次Bernstein多项式的基函数，Bezier曲线就是以此为基础构造出来的。2到8次Bezier曲线的图例，如图2-3图2-3Bezier曲线图例2.2B样条函数为了定义B样条曲线，首先给出n次截幂函数和n阶B样条函数的定义。我们称为n次截幂函数，即称Mn(x)为n阶B样条函数，即B样条函数图如图2-4所示。图2-4B样条函数B（1）Mn(x)是分段n-1次多项式。当n为偶数时具有整数节点xk=-n/2+k，当n为奇数时具有半整数节点：xk=-n/2+k。比如：n=2,k=0,1,2,x0=-1,x1=0,x2=1n=3,k=0,1,2,3，x0=-1.5,x1=-0.5,x2=0.5，x3=1.5（2）在整个实数轴上，Mn(x)具有n-2次连续导数。（3）Mn(x)是偶函数。（4）Mn(x)具有非负性质，即当|x|＜n/2时，Mn(x)0；当|x|n/2时，Mn(x)=0；且0≤Mn(x)≤1。2.3B样条曲线给定一组初始型值点Pi(i=0,1,…，n)，将它们按次序连接为折线段，称为控制多边形。我们称为m次B样条曲线。它是对参数t具有m-1阶连续导数的分段m次多项式。图2-5一次B样条曲线S1(t)图2-6二次B样条曲线S22.4自由曲线设计（1）设计的曲线要求出现直线段。（2）设计的曲线要求出现尖点。只需在出现尖点处将型值点的序号重复编号。下面给出在计算机上绘制二次B样条曲线的步骤：(1)首先要确定全部的型值点Pi(i=0，1，…，n)。由于Pi(i=0，1，…，n)是平面上的点，可通过定义二维数组向Pi(i=0，1，…，n)赋坐标值。(2)用直线连接型值点Pi(i=0,1,…,n)，画出控制多边形。(3)整条曲线需分n-1段绘制。对于第i(i=0，1，…，n-2)段，其型值点为Pi，Pi+1，Pi+2。给出区间［0，1］上的加密点数m，则u=j/m，计算出各加密点的坐标B2(Pi，Pi+1，Pi+2，j/m)(j=0，1，…，m)，将这m+1个加密点用直线连接，绘制出本段B样条曲线。(4)所有的分段曲线全部绘出，即完成了整条曲线的绘制。