大地测量学基础(第3章 地球重力场及地球型状的基本理论+2012.02.25 续1)

1第三章地球重力场及形状的基本理论1、地球重力场模型2、正常重力场3、高程系统2(,,)xyzMdmfV(,,)r(,,)mmmxyz(,,)mmR1地球引力位的数学表达式地球惯性矩表达引力位(方法1)设空间的一点点S坐标为:地球表上一点M坐标为:与与一、地球重力场模型3•建立空间直角坐标系与球面极坐标系]cos2)(1[cos222222rRrRrRrRrcos2)(2rRrRl21)1(11lrdmlllrfV)16583211(32niivvvvV0210一、地球重力场模型按(R/r)集项4rMfdmrfvM00cos1MdmrRrfvMdmrRrfv)21cos23()(222MdmrRrfv)cos23cos25()(333一、地球重力场模型5理论力学可知：物体的重心为定义坐标系：，则有：0000zyxMmMmMmdmMzdmMydmxMxz1,y1,1000Mrfv00)(31dmzzdmyydmxxrfvMmMmMm0000zyxrRzzyyxxmmmcos由于一、地球重力场模型6MmmMmmMmmdmyxCdmzxBdmzyA)()()(222222MmmMmmMmmdmyxFdmzxEdmzyD)()()(ByzxAxzyrfv)2()2[(222222252]666)2(222xyFxzEyzDCzyx一、地球重力场模型7用球谐函数表达地球引力位（方法2）勒让德多项式nnnnndxxdnxP)1(!21)(2)(1)(112)(11xPnnxxPnnxPnnn)()(01xxPxP一、地球重力场模型8cos23cos25)(cos21cos23)(coscos)(cos1)(cos332210PPPPdmPrRrfVnnn)(cos)(一、地球重力场模型9勒让德多项式中：称为n阶主球函数(或带球函数)，称为n阶K级的勒让德缔合函数(或伴随函数)。称为缔合球函数(其中，当k=n时称为扇球函数，当k≠n时称为田球函数)090nKKnKnKnnnnnPKBKAPArV11)](cos)sincos()(cos[1)(cosnP)(cosKnP)(cossin),(coscosKnKnPKPK(cos)(cos)sin(cos)kkknnkdpPd一、地球重力场模型10用球谐函数表示的地球引力位的公式)(cos[1010nnnnnnPArVV)](cos)sincos(1KnKnKnnKPKBKA一、地球重力场模型11由下式可知：要精确计算出地球重力位，必须知道地球表面的形状及内部物质密度，但前者正是我们要研究的，后者分布极其不规则，目前也无法知道，故根据上式不能精确地求得地球的重力位，为此引进一个与其近似的地球重力位——正常重力位。)(2222yxrdmfWM二、地球正常重力场12如果我们假想地球是一个密度均匀的球体，便可用一个不涉及地球形状和密度的数学模型直接计算得到的地球重力位的近似值，称之为：正常重力位。当知道了地球正常重力位，想法求出它同实际地球重力位的差异(称扰动位)，便可求出大地水准面与这已知形状(正常位水准面)的差异。最后解决确定地球重力位和地球形状的问题。二、地球正常重力场132、地球正常重力位（当选取前3项时，将重力位W写成U）MnnndmθPRfA)cos(00)sincos()(cos[121201KKnKnnnnnKBKAPArU222sin2)](cosrPKn()!2(cos)sindm,1,,()!knknnmmMnkBfRPθkλknnk00(cos)nnnmMAfRPθdm()!2(cos)cosdm()!knknnmmMnkAfRPθkλnk二、地球正常重力场14现在需要求系数：若地球是旋转椭球体，则有转动惯量，将系数代入则有：式中：001101122011122222,,,,,,,,AAABAABAB]sin2)cos31(21[23222fMrrKrMfUKMAC00AfM22=()4BAAf0111110AAB01122222(),=02ABAfCABBAB二、地球正常重力场(3-99)15设赤道的离心力与重力之比为：令：则有：22232eaaaqagfMfM]sin2)cos31(31[22qrMfU232Ka二、地球正常重力场(3-102)16注意：如果正常重力位已知，则对应的正常水准面已知，不同的正常重力位对应不同的正常位水准面，我们寻找的是与大地水准面相近的正常位水准面的形状，上式中，对r和取不同的常数值，就得到一簇正常位水准面，取赤道上一点()，求得与大地水准面相近的正常位水准面方程：取：，则有正常为水准面的常数ar,90ar,900[1]32MqUfa二、地球正常重力场17它是旋转椭球面的方程：]cos)2(1[2qar220[1(13cos)sin]32MqUfUr22[1(13cos)sin]/(1)3232qqra二、地球正常重力场(3-106)18正常重力公式因为：20235(1()cos)22fMqqa]cos)2(1[2qardrdU2223322222AqqqJafM二、地球正常重力场19特例：，赤道正常重力：，极点处正常重力：令：则有：上述正常重力公式称为克莱罗定理。90)231(2qafMe0)1(2qafMp55,+=22peeqq20(1sin)e二、地球正常重力场20顾及到扁率的二次项的正常重力公式517(1)235q2111()842201(1sinsin2)e－式中：二、地球正常重力场211901～1909年赫尔默特公式：1930年卡西尼公式：1975年国际地球正常重力公式：ＷGS84坐标系中的椭球重力公式：)2sin000007.0sin005302.01(030.978220)2sin000059.0sin0052882.01(049.978220)2sin0000058.0sin005302.01(032.978220/)sin86390019318513.01(03267714.9782B122(10.00669437999013sin)B二、地球正常重力场22高出水准椭球面H米的正常重力计算公式2)(HRMfg20RMfg))(11(2201HRRfMggg))1(11(22RHRfM2200220132)]321(1[RHRHRHRHg2711072.03086.0HHgH3086.00二、地球正常重力场23正常重力场参数在物理大地测量中,正常椭球重力场可用4个基本参数决定,即：地球正常(水准)椭球的基本参数，又称地球大地基准常数是：其中：002,,(),UAfMAfACfKM,,,2fMJa222JfMaA2223322222AqqqJafMfMaq32)231(0qafMU223aK二、地球正常重力场243.3.1一般说明大地高由两部分组成：地形高部分(含H正或H正常)及大地水准面(或似大地水准面)高部分。地形高基本上确定着地球自然表面的地貌，大地水准面高度又称大地水准面差距N，似大地水准面高度又称高程异常ζ，它们基本上确定着大地水准面或似大地水准面的起伏。因此，大地高可表示为：HHN大正高H+H大正常三、高程系统25设由O—A—B路线水准测量得到B点的高程由O—N—B线路得到B点高程由于水准面不平行，对应的Δｈ和Δｈ′不相等，水准环线高程闭合差也不等于零，称为理论闭合差。hHB''hHB高程系统263.3.2正高系统正高系统是以大地水准面为高程基准面，地面上任一点的正高是该点沿垂线方向至大地水准面的距离。因为无限接近两水准面其位能差可以写为CBCBBdHHH正dHggdhBdhggdHBOABBCBBdhggdHH正OABBmBgdhgH1正高程系统273.3.3正常高系统将正高系统中不能精确测定的用正常重力代替，便得到另一种系统的高程，称其为正常高。我国规定采用正常高高程系统作为我国高程的统一系统。正常高高差的实际计算公式BmggdhHBmB1常BABAABABdhHH常常mHm'2sin0000015395.0()mmgH高程系统28说明：1、正常高与正高不同，它不是地面点到大地水准面的距离，而是地面点到一个与大地水准面极为接近的基准面的距离，这个基准面称为似大地水准面。因此，似大地水准面是由地面沿垂线向下量取正常高所得的点形成的连续曲面，它不是水准面，只是用以计算的辅助面。因此，我们可以把正常高定义为以似大地水准面为基准面的高程。2、正常高和正高之差,在高山地区可达4米，在平原地区数厘米，在海水面上相等，大地水准面的高程原点对似大地水准面也是适用的。高程系统293.3.4力高和地区力高高程系统同一个重力位水准面上两点的正高或正常高是不相等的。对于大型水库等工程项目，它的静止水面是一个重力等位面，在设计、施工、放样等工作中，通常要求这个水面是一个等高面。这时若继续采用正常高或正高显然是不合适的，为了解决这个矛盾，可以采用所谓力高系统，它按下式定义：AOAgdhH451力AOAgdhH1力高程系统30注意：说明力高是区域性的，主要用于大型水库等工程建设中。它不能作为国家统一高程系统。在工程测量中，应根据测量范围大小，测量任务的性质和目的等因素，合理地选择正常高，力高或区域力高作为工高程系统313.3.5国家高程基准1、高程基准面高程基准面：就是地面点高程的统一起算面，由于大地水准面所形成的体形——大地体是与整个地球最为接近的体形，因此通常采用大地水准面作为高程基准面。标尺，成年累月地观测海水面的水位升降，根据长期观测的结果可以求出该点处海洋水面的平均位置，假定大地水准面就是通过这点处实测的平均海水面。验潮、验潮站高程基准面的确定：在海洋近岸的一点处竖立水高程系统321956年黄海高程系统：1950年至1956年7年间青岛验潮站的潮汐资料推求的平均海水面作为我国的高程基准面。1985国家高程基准：根据青岛验潮站1952～1979年中取19年的验潮资料计算确定，并从1988年1月1日开始启用。高程系统332、水准原点为了长期、牢固地表示出高程基准面的位置，作为传递高程的起算点，必须建立稳固的水准起算点，用精密水准测量方法将它与验潮站的水准标尺进行联测，以高程基准面为零推求水准原点的高程。高程系统341956年黄海高程系统中，我国水准原点的高程为72.289m1985国家高程基准系统中，我国水准原点的高程为72.260m。地面上的点相对于高程基准面的高度，通常称为绝对高程或海拔高程，也简称为标高或高程。海洋的深度也是相对于高程基准面而言的，例如太平洋的平均深度为4000m，就是说在高程基准面以下4000mmHH029.05685高程系统