2016年全国硕士研究生入学统一考试数学一考研真题答案凯程首发

为学生引路，为学员服务第1页共15页2016年全国硕士研究生入学统一考试数学一考研真题答案凯程首发下面凯程老师把2016年的真题全面展示给大家，供大家估分使用，以及2017年考研的同学使用，本试题凯程首发，转载注明出处。一、选择题：1～8小题，每小题4分，共32分，下列每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的，请将所选项前的字母填在答题纸．．．指定位置上.（1）若反常积分011badxxx收敛，则（）11111111AabBabCaabDaab且且且且【答案】（C）【解析】01(1)abdxxx10111(1)(1)ababdxdxxxxx101pdxx在（1p时收敛），可知1a，而此时(1)bx不影响同理，1111(1)11bababdxdxxxxx11pdxx（1p时收敛），而此时11bx不影响（2）已知函数21,1ln,1xxfxxx，则fx的一个原函数是（）22221,11,1ln1,1ln11,11,11,1ln11,1ln11,1xxxxAFxBFxxxxxxxxxxxCFxDFxxxxxxx【答案】（D）为学生引路，为学员服务第2页共15页【解析】由已知可得，()()(ln)xCxFxxxCx21111111，取C10，故选D（3）若22222211,11yxxyxx是微分方程ypxyqx的两个解，则qx（）2222313111xxAxxBxxCDxx【答案】（A）【解析】yyx21221是一阶齐次微分方程()ypxy0的解，代入得()()xpxxx2222101，所以()xpxx21，根据解的性质得，yy122是()()ypxyfx的解。所以有()()qxxx231.（4）已知函数,0111,,1,2,1xxfxxnnnn，则（）（A）0x是fx的第一类间断点（B）0x是fx的第二类间断点（C）fx在0x处连续但不可导（D）fx在0x处可导【答案】（D）【解析】由于()limxxfx0001，()limnnfn10011,故选D。（5）设A，B是可逆矩阵，且A与B相似，则下列结论错误的是（）（A）TA与TB相似（B）1A与1B相似（C）TAA与TBB相似（D）1AA与1BB相似【答案】（C）【解析】此题是找错误的选项。由A与B相似可知，存在可逆矩阵,P使得1PAPB，则111111111111111111(1)()()~,A(2)()~(3)()~,TTTTTTTTPAPBPAPBABPAPBPAPBABBPAAPPAPPAPBBAABBD故（）不选；，故（）不选；故（）不选；为学生引路，为学员服务第3页共15页此外，在（C）中，对于111()TTPAAPPAPPAP，若1=PAPB，则1()TTTTPAPB，而1TPAP未必等于TB，故（C）符合题意。综上可知，（C）为正确选项。（6）设二次型222123123121323,,444fxxxxxxxxxxxx，则123,,2fxxx在空间直角坐标下表示的二次曲面为（）（A）单叶双曲面（B）双叶双曲面（C）椭球面（D）柱面【答案】（B）【解析】对于二次型222123123121323,,444fxxxxxxxxxxxx，其矩阵为122212221A，接下来由0EA，可得其特征值为1235,1（一正两负），因此其正惯性指数和负惯性指数分别为1,2.故二次型123,,fxxx的规范形为222123fzzz，即22222231212322221(2)(2)(2)zzzzzz，对应的曲面为双叶双曲面。（7）设随机变量0,~2NX，记2XPp，则（）（A）p随着的增加而增加（B）p随着的增加而增加（C）p随着的增加而减少（D）p随着的增加而减少【答案】（B）【解析】2{}{}XPXP所以概率随着的增大而增大。（8）随机试验E有三种两两不相容的结果321,,AAA，且三种结果发生的概率均为31，将试验E独立重复做2次，X表示2次试验中结果1A发生的次数，Y表示2次试验中结果2A发生的次数，则X与Y的相关系数为（）【解析】11(2,),(2,)33XBYB24,39EXEYDXDY，211(1,1)9EXYPXY为学生引路，为学员服务第4页共15页所以12XYEXYEXEYDXDY二、填空题：914小题，每小题4分，共24分，请将答案写在答题纸．．．指定位置上.（9）__________cos1sin1lnlim200xdttttxx【答案】21【解析】ln(sin)limxxxxx301122（10）向量场zkxyjizyxzyxA,,的旋度_________rotA【答案】1,1,0y【解析】由旋度公式得，(A),,,,RQPRQProtyyzzxxy01111、设函数(,)fuv可微，(,)zzxy有方程()(,)xzyxfxzy221确定，则,____dz01．【答案】dydx2【解析】()(,)xxyxfxzy221两边分别关于,xy求导得()(,)(,)()()((,)()(,))xxyyzxzxfxzyxfxzyzxzyxfxzyzfxzy2121212112，将,,xyz011代入得，,dzdxdy012（12）设函数21arctanaxxxxf，且10''f，则________a【答案】21（13）行列式1000100014321____________.【答案】432234为学生引路，为学员服务第5页共15页【解析】4143210010100010=01+4110++2+3+4.00132+101432+1（-）（14）设12,,...,nxxx为来自总体2,N的简单随机样本，样本均值9.5x，参数的置信度为0.95的双侧置信区间的置信上限为10.8，则的置信度为0.95的双侧置信区间为______.【答案】8.10,2.8【解析】0.0250.0250.0250.025{}{}0.95xuPuuPxuuxunnn因为0.02510.8xun，所以0.0251.3,un所以置信下限0.0258.2xun.三、解答题：15—23小题，共94分.请将解答写在答题纸．．．指定位置上.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.（15）（本题满分10分）已知平面区域,221cos,22Drr，计算二重积分Dxdxdy.【答案】3325【解析】223cos1222222cos123coscosdrdrrddxdyxD22422322222432cos38cos8cos8coscos3cos338dddd22222232222322222cossin338|3sinsin8|22sin4sincos38sinsin18212cos8dddd为学生引路，为学员服务第6页共15页33252sin23324222d（16）（本题满分10分）设函数()yx满足方程'''20,yyky其中01k.证明：反常积分0()yxdx收敛；若'(0)1,(0)1,yy求0()yxdx的值.【答案】k3【解析】（1）特征方程为220rrk，由01k可知，特征方程有两个不相同的特征根，1,2244112krk且1,20r，由二阶常系数齐次线性方程的求解可知，1212()rxrxyxCeCe121200()rxrxyxdxCeCedx121200rxrxCedxCedx121212lim1lim1rxrxxxCCeerr由于1,20r12012()CCyxdxrr极限存在，故收敛.(2)由1212()rxrxyxCeCe，(0)1,'(0)1yy可知，1211221,21111CCCrCrrk解得1212CC代入12012()CCyxdxrr可知0()yxdx1kk为学生引路，为学员服务第7页共15页（17）（本题满分10分）设函数(,)fxy满足2(,)(21),xyfxyxex且(0,)1,tfyyL是从点(0,0)到点(1,)t的光滑曲线，计算曲线积分(,)(,)()tLfxyfxyItdxdyxy，并求()It的最小值【答案】3【解析】(1)由2(,)(21)xyfxyxex可知：2(,)[(21)]xyfxyxedx22[2]yxxexedxedx2()yxexey2()xyxey又(0,)1fyy可知()1yy因此2(,)1xyfxyxey2(,)1xyfxyxey22()(21)(1)xyxyLtItxedxxedy2(21)xyPxe21xyQxe2(21)xyPxey222xyxyQexexPQyx因此，积分与路径无关22()(21)(1)xyxyLtItxedxxedy12200(21)(1)txyxedxedy222tetee为学生引路，为学员服务第8页共15页2tte(2)2()tItte2()1tIte()0It可知2t有唯一驻点2()tIte(2)10I因此2t时()It有最小值22(2)2213Ie（18）设有界区域由平面222zyx与三个坐标平面围成，为整个表面的外侧，计算曲面积分zdxdyydzdxdydzxI3212【答案】21【解析】2(1)23Ixdydzydzdxzdxdy21,2,3PxQyRz由高斯公式可知，223Ixdxdydz21xdxdydz120(21)xyyxDdxdyxdz222xyDyxxxydxdy11220022xydxxxxydy为学生引路，为学员服务第9页共15页12（19）（本题满分10分）已知函数()fx可导，且(0)1f，10'()2fx，设数列nx满足1()(1,2...)nnx