第讲命题及其关系充分条件与必要条件总结

基础诊断考点突破课堂总结最新考纲1．理解命题的概念；2.了解“若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题，会分析四种命题的相互关系；3.理解充分条件、必要条件与充要条件的含义．第2讲命题及其关系、充分条件与必要条件基础诊断考点突破课堂总结知识梳理1．四种命题及其关系(1)四种命题间的相互关系基础诊断考点突破课堂总结(2)四种命题的真假关系①两个命题互为逆否命题，它们具有_______的真假性．②两个命题为互逆命题或互否命题时，它们的真假性__________．相同没有关系基础诊断考点突破课堂总结2．充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的______条件，q是p的______条件p是q的____________条件p⇒q且qpp是q的____________条件pq且q⇒pp是q的__________条件p⇔qp是q的__________________条件pq且qp充分必要充分不必要必要不充分充要既不充分也不必要⇒/⇒/⇒/⇒/基础诊断考点突破课堂总结诊断自测1．判断正误(在括号内打“√”或“×”)精彩PPT展示(1)“x2＋2x－8＜0”是命题．()(2)一个命题非真即假．()(3)命题“三角形的内角和是180°”的否命题是“三角形的内角和不是180°”．()(4)“a＝2”是“(a－1)(a－2)＝0”的必要不充分条件．()(5)给定两个命题p，q.若p是q的充分不必要条件，则¬p是¬q的必要不充分条件．()××√×√基础诊断考点突破课堂总结2．命题“若α＝π4，则tanα＝1”的逆否命题是()A．若α≠π4，则tanα≠1B．若α＝π4，则tanα≠1C．若tanα≠1，则α≠π4D．若tanα≠1，则α＝π4解析命题的条件是p：α＝π4，结论是q：tanα＝1.由命题的四种形式，可知命题“若p，则q”的逆否命题是“若¬q，则¬p”，显然¬q：tanα≠1，¬p：α≠π4，所以该命题的逆否命题是“若tanα≠1，则α≠π4”．答案C基础诊断考点突破课堂总结3．(2013·福建卷)已知集合A＝{1，a}，B＝{1,2,3}，则“a＝3”是“A⊆B”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件解析a＝3时，A＝{1,3}，显然A⊆B.但A⊆B时，a＝2或3.所以A正确．答案A基础诊断考点突破课堂总结4．(2014·浙江卷)设四边形ABCD的两条对角线为AC，BD，则“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的()A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件基础诊断考点突破课堂总结解析因为菱形的对角线互相垂直，所以“四边形ABCD为菱形”⇒“AC⊥BD”，所以“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分条件；又因为对角线垂直的四边形不一定是菱形，所以“AC⊥BD”⇒/“四边形ABCD为菱形”，所以“四边形ABCD为菱形”不是“AC⊥BD”的必要条件．综上，“四边形ABCD为菱形”是“AC⊥BD”的充分不必要条件．答案A基础诊断考点突破课堂总结5．(人教A选修1－1P10练习4改编)下列命题：①x＝2是x2－4x＋4＝0的必要不充分条件；②圆心到直线的距离等于半径是这条直线为圆的切线的充分必要条件；③sinα＝sinβ是α＝β的充要条件；④ab≠0是a≠0的充分不必要条件．其中为真命题的是__________(填序号)．答案②④基础诊断考点突破课堂总结考点一四种命题及其相互关系【例1】(2014·陕西卷)原命题为“若an＋an＋12＜an，n∈N＋，则{an}为递减数列”，关于其逆命题，否命题，逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是()A．真，真，真B．假，假，真C．真，真，假D．假，假，假基础诊断考点突破课堂总结解析从原命题的真假入手，由于an＋an＋12＜an⇔an＋1＜an⇔{an}为递减数列，即原命题和逆命题均为真命题，又原命题与其逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假，则其逆命题、否命题和逆否命题均为真命题．答案A基础诊断考点突破课堂总结规律方法(1)熟悉四种命题的概念是正确书写或判断四种命题真假的关键．(2)根据“原命题与逆否命题同真同假，逆命题与否命题同真同假”这一性质，当一个命题直接判断不易进行时，可转化为判断其等价命题的真假．(3)判断一个命题为假命题可举反例．基础诊断考点突破课堂总结【训练1】已知：命题“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”，则下列结论正确的是()A．否命题是“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是减函数，则m＞1”，是真命题B．逆命题是“若m≤1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数”，是假命题C．逆否命题是“若m＞1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是减函数”，是真命题D．逆否命题是“若m＞1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上不是增函数”，是真命题基础诊断考点突破课堂总结解析由f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数，则f′(x)＝ex－m≥0恒成立，∴m≤1.∴命题“若函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上是增函数，则m≤1”是真命题，所以其逆否命题“若m＞1，则函数f(x)＝ex－mx在(0，＋∞)上不是增函数”是真命题．答案D基础诊断考点突破课堂总结考点二充分、必要条件的判定与探求【例2】(1)(2014·新课标全国Ⅱ卷)函数f(x)在x＝x0处导数存在．若p：f′(x0)＝0；q：x＝x0是f(x)的极值点，则()A．p是q的充分必要条件B．p是q的充分条件，但不是q的必要条件C．p是q的必要条件，但不是q的充分条件D．p既不是q的充分条件，也不是q的必要条件(2)ax2＋2x＋1＝0至少有一个负实根的充要条件是()A．0＜a≤1B．a＜1C．a≤1D．0＜a≤1或a＜0基础诊断考点突破课堂总结解析(1)设f(x)＝x3，f′(0)＝0，但是f(x)是单调增函数，在x＝0处不存在极值，故“若p，则q”是一个假命题，由极值点的定义可得“若q，则p”是一个真命题．(2)法一当a＝0时，原方程为一元一次方程2x＋1＝0，有一个负实根．当a≠0时，原方程为一元二次方程，有实根的充要条件是Δ＝4－4a≥0，即a≤1.设此时方程的两根分别为x1，x2，则x1＋x2＝－2a，x1x2＝1a，基础诊断考点突破课堂总结当只有一个负实根时，a≤1，1a＜0⇒a＜0；当有两个负实根时，a≤1，－2a＜0，⇒0＜a≤1.1a＞0综上所述，a≤1.法二(排除法)当a＝0时，原方程有一个负实根，可以排除A，D；当a＝1时，原方程有两个相等的负实根，可以排除B.基础诊断考点突破课堂总结答案(1)C(2)C规律方法判断p是q的什么条件，需要从两方面分析：一是由条件p能否推得条件q；二是由条件q能否推得条件p.对于带有否定性的命题或比较难判断的命题，除借助集合思想把抽象、复杂问题形象化、直观化外，还可利用原命题和逆否命题、逆命题和否命题的等价性，转化为判断它的等价命题．基础诊断考点突破课堂总结【训练2】(1)(2014·北京卷)设a，b是实数，则“a＞b”是“a2＞b2”的()A．充分而不必要条件B．必要而不充分条件C．充分必要条件D．既不充分也不必要条件(2)已知向量a＝(x－1,2)，b＝(2,1)，则a⊥b的充要条件是()A．x＝－12B．x＝－1C．x＝5D．x＝0基础诊断考点突破课堂总结解析(1)令a＝1，b＝－2，显然a＞b，但a2＜b2；∴“a＞b”不是“a2＞b2”的充分条件．令a＝－2，b＝1，显然a2＞b2，但a＜b，∴“a＞b”不是“a2＞b2”的必要条件．∴“a＞b”是“a2＞b2”的既不充分也不必要条件．(2)∵a＝(x－1,2)，b＝(2,1)，∴a·b＝2(x－1)＋2×1＝2x.又a⊥b⇔a·b＝0，∴2x＝0，∴x＝0.答案(1)D(2)D基础诊断考点突破课堂总结考点三根据充分、必要条件求参数的范围【例3】已知命题p：x2＋2x－3＞0；命题q：x＞a，且¬q的一个充分不必要条件是¬p，则a的取值范围是()A．[1，＋∞)B．(－∞，1]C．[－1，＋∞)D．(－∞，－3]解析由x2＋2x－3＞0，得x＜－3或x＞1，由¬q的一个充分不必要条件是¬p，可知¬p是¬q的充分不必要条件，等价于q是p的充分不必要条件．故a≥1.答案A基础诊断考点突破课堂总结规律方法解决此类问题一般是把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(组)求解，在求解参数的取值范围时，一定要注意区间端点值的检验，尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时，不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处理不当容易出现漏解或增解的现象．基础诊断考点突破课堂总结【训练3】若xm－1或xm＋1是x2－2x－30的必要不充分条件，则实数m的取值范围是________．解析由已知易得{x|x2－2x－30}{x|xm－1或xm＋1}，又{x|x2－2x－30}＝{x|x－1或x3}，∴－1≤m－1，m＋13或－1m－1，m＋1≤3，∴0≤m≤2.答案[0,2]基础诊断考点突破课堂总结[思想方法]1．写出一个命题的逆命题、否命题及逆否命题的关键是分清原命题的条件和结论，然后按定义来写；在判断原命题及其逆命题、否命题以及逆否命题的真假时，要借助原命题与其逆否命题同真或同假，逆命题与否命题同真或同假来判定．2．命题的充要关系的判断方法(1)定义法：直接判断若p则q、若q则p的真假．基础诊断考点突破课堂总结(2)等价法：利用A⇒B与¬B⇒¬A，B⇒A与¬A⇒¬B，A⇔B与¬B⇔¬A的等价关系，对于条件或结论是否定形式的命题，一般运用等价法．(3)利用集合间的包含关系判断：若A⊆B，则“x∈A”是“x∈B”的充分条件或“x∈B”是“x∈A”的必要条件；若A＝B，则“x∈A”是“x∈B”的充要条件．基础诊断考点突破课堂总结[易错防范]对于命题正误的判断是高考的热点之一，理应引起大家的关注，命题正误的判断可涉及各章节的内容，覆盖面宽，也是学生的易失分点．命题正误的判断的原则是正确的命题要有依据或者给以论证；不一定正确的命题要举出反例，绝对不要主观臆断，这也是最基本的数学逻辑思维方式.