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一元一次方程的实际应用题题型一:利率问题利率问题利息=本金×利率×期数本利和=本金十利息=本金×(1+利率×期数)利息税=利息×税率税后利息=利息一利息税=利息×(1-税率)税后本利和=本金+税后利息【总结】若利率是年利率,期数以“年”为单位计数,若是月利率,则期数以“月”为单位计数,解题时要注意.【例1】某人把若干元按三年期的定期储蓄存入银行,假设年利率为3.69%,到期支取时扣除所得税实得利息2103.3元,求存入银行的本金.(利息税为5%)【答案】设存入银行的本金为x元,根据题意,得33.69152103.3x%%0.1051652103.3x20000x,因此,存入银行的本金是20000元.【总结】利息=本金×利率×期数×利息税题型二:折扣问题利润额=成本价×利润率售价=成本价+利润额新售价=原售价×折扣【例2】小丽和小明相约去书城买书,请你根据他们的对话内容(如图),求出小明上次所买书籍的原价.图641【分析】设小明上次购买书籍的原价是x元,由题意,得0.82012xx,解得160x.因此,小明上次所买书籍的原价是160元,【答案】160元.1:一件衣服按标价的八折出售,获得利润18元,占标价的10%,问该衣服的买入价?分析:本金:标价利率:-20%利息:成交价-标价=买入价+利润-标价解:设该衣服的买入价为x元x+18-18/10%=18/10%×(80%-1)当然,这道题这样解是一种方法,还可以按照我们常规的算术方法解来,倒也简单,因此,列方程解应用题是针对过程清楚的问题比较简单方便。2.一家商店将某种服装按进价提高40%后标价,又以8折优惠卖出,结果每件仍获利15元,这种服装每件的进价是多少?[分析]探究题目中隐含的条件是关键,可直接设出成本为X元进价折扣率标价优惠价利润X元8折(1+40%)X元80%(1+40%)X15元等量关系:(利润=折扣后价格—进价)折扣后价格-进价=15解:设进价为X元,80%X(1+40%)—X=15,X=125答:进价是125元。题型三:行程问题行程问题:解行程问题的关键是抓住时间关系或路程关系,借助草图分析来解决问题.路程=速度×时间相遇路程=速度和×相遇时间追及路程=速度差×追及时间基本关系:速度×时间=路程(图示法)(一)相遇问题相遇问题的基本题型及等量关系1.同时出发(两段)甲的路程+乙的路程=总路程2.不同时出发(三段)先走的路程+甲的路程+乙的路程=总路程【例1】甲、乙两站相距480公里,一列慢车从甲站开出,每小时行90公里,一列快车从乙站开出,每小时行140公里。(1)慢车先开出1小时,快车再开。两车相向而行。问快车开出多少小时后两车相遇?(2)两车同时开出,相背而行多少小时后两车相距600公里?(3)两车同时开出,慢车在快车后面同向而行,多少小时后快车与慢车相距600公里?(4)两车同时开出同向而行,快车在慢车的后面,多少小时后快车追上慢车?(5)慢车开出1小时后两车同向而行,快车在慢车后面,快车开出后多少小时追上慢车?(1)分析:相遇问题,画图表示为:等量关系是:慢车走的路程+快车走的路程=480公里。解:设快车开出x小时后两车相遇,由题意得,140x+90(x+1)=480解这个方程,230x=390,23161x答:快车开出23161小时两车相遇(2)分析:相背而行,画图表示为:等量关系是:两车所走的路程和+480公里=600公里。解:设x小时后两车相距600公里,由题意得,(140+90)x+480=600解这个方程,230x=120∴x=2312答:2312小时后两车相距600公里。(3)分析:等量关系为:快车所走路程-慢车所走路程+480公里=600公里。解:设x小时后两车相距600公里,由题意得,(140-90)x+480=60050x=120∴x=2.4答:2.4小时后两车相距600公里。(4)分析:追及问题,画图表示为:等量关系为:快车的路程=慢车走的路程+480公里。解:设x小时后快车追上慢车。由题意得,140x=90x+480解这个方程,50x=480∴x=9.6答:9.6小时后快车追上慢车。(5)分析:追及问题,等量关系为:快车的路程=慢车走的路程+480公里。解:设快车开出x小时后追上慢车。由题意得,140x=90(x+1)+48050x=570∴x=11.4答:快车开出11.4小时后追上慢车。【例2】.小杰和小丽分别在400米环形跑道上联系跑步与竞走,小杰每分钟跑320米,小丽每分钟走120米,两人同时由同一起点同向出发,问几分钟后小丽与小杰第一次相遇.【答案】设x分钟后小丽与小杰第一次相遇.根据题意,得320120400x解方程,得2x答:出发2分钟后小丽与小杰第一次相遇.【分析】由于小杰、小丽在环形跑道上同时同地同向出发,因此小丽与小杰第一次相遇,必须是小杰比小丽多跑一圈,得到的等式是:小杰所跑的路程—小丽所走的路程=400.因为“速度×时间=路程”,所以三个量中只要已知其中两个量就可以得到第三个量.甲乙600甲乙甲乙(2)航行问题顺水(风)速度=静水(风)速度+水流(风)速度逆水(风)速度=静水(风)速度-水流(风)速度抓住两码头间距离不变,水流速和船速(静不速)不变的特点考虑相等关系.【例3】某船从A地顺流而下到达B地,然后逆流返回,到达A、B两地之间的C地,一共航行了7小时,已知此船在静水中的速度为8千米/时,水流速度为2千米/时。A、C两地之间的路程为10千米,求A、B两地之间的路程。解:设A、B两码头之间的航程为x千米,则B、C间的航程为(x-10)千米,由题意得,5.327281082xxx解这个方程得答:A、B两地之间的路程为32.5千米。[分析]这属于行船问题,这类问题中要弄清:(1)顺水速度=船在静水中的速度+水流速度;(2)逆水速度=船在静水中的速度-水流速度。相等关系为:顺流航行的时间+逆流航行的时间=7小时。1.甲乙两人在同一道路上从相距5千米的A、B两地同向而行,甲的速度为5千米/小时,乙的速度为3千米/小时,甲带着一只狗,当甲追乙时,狗先追上乙,再返回遇上甲,再返回追上乙,依次反复,直至甲追上乙为止,已知狗的速度为15千米/小时,求此过程中,狗跑的总路程是多少?解:设甲用X小时追上乙,根据题意列方程5X=3X+5解得X=2.5,狗的总路程:15×2.5=37.5答:狗的总路程是37.5千米。[分析]]追击问题,不能直接求出狗的总路程,但间接的问题转化成甲乙两人的追击问题。狗跑的总路程=它的速度×时间,而它用的总时间就是甲追上乙的时间2.一架飞机在两个城市之间飞行,风速为24千米/小时,顺风飞行需要2小时50分,逆风飞行需要3小时,求两个城市之间的飞行路程?解:设两个城市之间的飞行路程为x千米。则24484831762432460502xxxxx3.一轮船在甲、乙两码头之间航行,顺水航行需要4小时,逆水航行需要5小时,水流的速度为2千米/时,求甲、乙两码头之间的距离。解:设甲、乙两码头之间的距离为x千米。则454xxx=80题型四:工程问题工程问题解工程问题时,常将工作总量当作整体“1”.基本关系为:工作效率×工作时间=1(工作总量)等量关系:(图示法)工作总量=工作效率×工作时间全部工作量之和=各队工作量之和,各队合作工作效率=各队工作效率之和工作总量不清楚时看成“1”【例1】一项工程甲做40天完成,乙做50天完成,现在先由甲做,中途甲有事离去,由乙接着做,共用46天完成.问甲、乙各工作了多少天?【分析】由题意知,甲每天完成全部工作量的140,乙每天完成150,设甲工作了x天,则乙工作了(46x)天,根据题意,得4614050xx.解得16x,则461630(天).故甲工作了16天,乙工作了30天.【答案】甲工作16天,乙工作30天.【例2】一件工程,甲独做需15天完成,乙独做需12天完成,现先由甲、乙合作3天后,甲有其他任务,剩下工程由乙单独完成,问乙还要几天才能完成全部工程?解:设乙还需x天完成全部工程,设工作总量为单位1,由题意得,5365331123)121151(xx解之得答:乙还需536天才能完成全部工程。[分析]设工程总量为单位1,等量关系为:甲完成工作量+乙完成工作量=工作总量。【例3】一个蓄水池有甲、乙两个进水管和一个丙排水管,单独开甲管6小时可注满水池;单独开乙管8小时可注满水池,单独开丙管9小时可将满池水排空,若先将甲、乙管同时开放2小时,然后打开丙管,问打开丙管后几小时可注满水池?解:设打开丙管后x小时可注满水池,由题意得,1342133019)2()8161(xxx解这个方程得答:打开丙管后1342小时可注满水池。[分析]等量关系为:甲注水量+乙注水量-丙排水量=1。1.一批工业最新动态信息输入管理储存网络,甲独做需6小时,乙独做需4小时,甲先做30分钟,然后甲、乙一起做,则甲、乙一起做还需多少小时才能完成工作?解:设甲、乙一起做还需x小时才能完成工作.根据题意,得16×12+(16+14)x=1解这个方程,得x=115115=2小时12分答:甲、乙一起做还需2小时12分才能完成工作.2.某车间有16名工人,每人每天可加工甲种零件5个或乙种零件4个.在这16名工人中,一部分人加工甲种零件,其余的加工乙种零件.已知每加工一个甲种零件可获利16元,每加工一个乙种零件可获利24元.若此车间一共获利1440元,求这一天有几个工人加工甲种零件.解:设这一天有x名工人加工甲种零件,则这天加工甲种零件有5x个,乙种零件有4(16-x)个.根据题意,得16×5x+24×4(16-x)=1440解得x=6答:这一天有6名工人加工甲种零件3.一项工程甲单独做需要10天,乙需要12天,丙单独做需要15天,甲、丙先做3天后,甲因事离去,乙参与工作,问还需几天完成?解:设还需x天。3101)3(151121310111511213151101xxxx解得或1数字问题一般可设个位数字为a,十位数字为b,百位数字为c.十位数可表示为10b+a,百位数可表示为100c+10b+a.然后抓住数字间或新数、原数之间的关系找等量关系列方程.2.市场经济问题(1)商品利润=商品售价-商品成本价(2)商品利润率=商品利润商品成本价×100%(3)商品销售额=商品销售价×商品销售量(4)商品的销售利润=(销售价-成本价)×销售量(5)商品打几折出售,就是按原标价的百分之几十出售,如商品打8折出售,即按原标价的80%出售.3.行程问题:路程=速度×时间时间=路程÷速度速度=路程÷时间(1)相遇问题:快行距+慢行距=原距(2)追及问题:快行距-慢行距=原距(3)航行问题:顺水(风)速度=静水(风)速度+水流(风)速度逆水(风)速度=静水(风)速度-水流(风)速度抓住两码头间距离不变,水流速和船速(静不速)不变的特点考虑相等关系.4.工程问题:工作量=工作效率×工作时间完成某项任务的各工作量的和=总工作量=15.储蓄问题利润=每个期数内的利息本金×100%利息=本金×利率×期数注意:虽然我们分了几种类型对应用题进行了研究,但实际生活中的问题是千变万化的,远不止这几类问题。因此我们要想学好列方程解应用题,就要学会观察事物,关心日常生产生活中的各种问题,如市场经济问题等等,要会具体情况具体分析,灵活运用所学知识,认真审题,适当设元,寻找等量关系,从而列出方程,解出方程,使问题得解1.某商店开张,为了吸引顾客,所有商品一律按八折优惠出售,已知某种皮鞋进价60元一双,八折出售后商家获利润率为40%,问这种皮鞋标价是多少元?优惠价是多少元?[分析]通过列表分析已知条件,找到等量关系式进价折扣率标价优惠价利润率60元8折X元80%X40%等量关系:商品利润率=商品利润/商品进价解:设标价是X元,80%604060100x解之:x=105优惠价为),(841051
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