函数的基本性质

1.3函数的基本性质1.3.1单调性与最大（小）值请观察函数y=x2与y=x3图象，回答下列问题：1、当x∈[0，+∞)，x增大时，图（1）中的y值；图（2）中的y值。2、当x∈(－∞，0)，x增大时，图（1）中的y值；图（2）中的y值。增大增大增大减小3、分别指出图(1)、图(2)中，当x∈[0，+∞)和x∈(－∞，0)时，函数图象是上升的还是下降的？4、通过前面的讨论，你发现了什么？结论：若一个函数在某个区间内图象是上升的，则函数值y随x的增大而增大，反之亦真；若一个函数在某个区间内图象是下降的，则函数值y随x的增大而减小，反之亦真。x…-4-3-2-101234…f(x)=x2…16941014916….0)()()()(,)(,02212122221121增函数上是，在区间们就说函数，这时我时，有，当，得到上任取两个，在区间xxfxfxfxxxxfxxfxx观察下列图象，想一想：怎样给增函数和减函数下定义？yx10x2xf(x1)f(x2)设函数f(x)的定义域为I:如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1＜x2时,都有f(x1)＜f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是增函数一、增函数如果函数y=f(x)在某个区间是增函数或减函数,那么就说函数y=f(x)在这个区间具有(严格的)单调性,这一区间叫做y=f(x)的单调区间.yf(x1)f(x2)x10x2x设函数f(x)的定义域为I:如果对于属于定义域I内某个区间上的任意两个自变量的值x1,x2,当x1＜x2时,都有f(x1)＞f(x2),那么就说f(x)在这个区间上是减函数二、减函数三、单调性与单调区间增函数、减函数的三个特征：（1）局部性：也就是说它肯定有一个区间。区间可以是整个定义域，也可以是其真子集，因此，我们说增函数、减函数时，必须指明它所在的区间。如y=x+1(X∈Z)不具有单调性（2）任意性：它的取值是在区间上的任意两个自变量，决不能理解为很多或无穷多个值。（3）一致性增函数：x1x2f(x1)f(x2)减函数：x1x2f(x1)f(x2)注意：1.多个单调区间，中间用“，”或“和”隔开。2.区间的边界不影响单调性。yoxoyxyoxyoxyox在增函数在减函数ab2--，,2ab在增函数在减函数ab2--，,2ab在(-∞,+∞)是减函数在(-∞,0)和(0,+∞)是减函数在(-∞,+∞)是增函数在(-∞,0)和(0,+∞)是增函数yox想一想：如何从一个函数的图象来判断这个函数在定义域内的某个单调区间上是增函数还是减函数？方法一（图像法）：如果这个函数在某个单调区间上的图象是上升的，那么它在这个单调区间上就是增函数；如果图象是下降的，那么它在这个单调区间上就是减函数。例1.下图是定义在闭区间[-5,5]上的函数y=f(x)的图象,根据图象说出y=f(x)的单调区间,以及在每个单调区间上,y=f(x)是增函数还是减函数?解:函数y=f(x)的单调区间有[-5,-2),[-2,1),[1,3),[3,5],其中y=f(x)在区间[-5,-2),[1,3)上是减函数,在区间[-2,1),[3,5]上是增函数.例2、物理学中的玻意耳定律告诉我们，对于一定量的气体，当其体积V减小时，压强p将增大。试用函数的单调性证明之。)(为正常数kVkp证明：根据单调性的定义，设V1，V2是定义域(0，+∞)上的任意两个实数，且V1V2，则21121212()()VVkkpVpVkVVVV由V1，V2∈(0，+∞)且V1V2，得V1V20,V2-V10又k0,于是0)()(21VpVp)()(12VpVp即所以，函数是减函数.也就是说，当体积V减少时，压强p将增大.),0(,VVkp取值定号变形作差结论定义法判断函数单调性的步骤1取值：任取x1，x2∈D，且x1x2；2作差f(x1)－f(x2)；3变形（通常是因式分解和配方）；4定号（即判断差f(x1)－f(x2)的正负）；5下结论（即指出函数f(x)在给定的区间D上的单调性）．利用定义证明函数f(x)在给定的区间D上的单调性的一般步骤：探究：画出反比例函数的图象。（1）这个函数的定义域I是什么？（2）它在定义域I上的单调性是怎样的？证明你的结论。xy1通过观察图象，先对函数是否具有某种性质做出猜想，然后通过逻辑推理，证明这种猜想的正确性，是研究函数性质的一种常用方法。证明：函数f(x)=1/x在(0，+∞)上是减函数。证明：设x1,x2是(0，+∞)上任意两个实数，且x1x2，则f(x1)-f(x2)=21122111xxxxxx由于x1,x2得x1x20,又由x1x2得x2-x10所以f(x1)-f(x2)0,即f(x1)f(x2),0因此f(x)=1/x在(0，+∞)上是减函数。取值定号变形作差判断1、法二：作商的方法由x1x2时，大于或小于1来比较f(x1)与f(x2)的大小，最后得出结论。21xfxfyxoxxf1讨论2、由图象知：函数在上不具有单调性。,三、归纳小结函数的单调性一般是先根据图象判断，再利用定义证明．画函数图象通常借助计算机，求函数的单调区间时必须要注意函数的定义域，单调性的证明一般分五步：取值→作差（作商）→变形→定号→下结论第二课时函数的最大（小）值画出下列函数的草图，并根据图象解答下列问题：1.说出y=f(x)的单调区间，以及在各单调区间上的单调性；2.指出图象的最高点或最低点，并说明它能体现函数的什么特征？(1)(2)32)(xxf12)(2xxxfxyooxy2-1Rx图象上有一个最低点，即对于任意的，都有).0()(fxf图象没有最低点。)0,0(一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的，都有；（2）存在，使得那么，我们称M是函数y=f(x)的最大值（maximumvalue）。IxMxf)(Ix0.)(0Mxf1.函数的最大值你能给出函数最小值的定义吗？2．函数的最小值一般地，设函数y=f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：（1）对于任意的x∈I，都有f(x)≥M;（2）存在x0∈I，使得f(x0)=M那么，称M是函数y=f(x)的最小值2.函数最大（小）值应该是所有函数值中最大（小）的，即对于任意的x∈I，都有f(x)≤M（f(x)≥M）．注意：1.函数最大（小）值首先应该是某一个函数值，即存在x0∈I，使得f(x0)=M；例1.“菊花”烟花是最壮观的烟花之一.制造时一般是期望在它达到最高点(大约是在距地面高度25m到30m处)时爆裂.如果在距地面高度18m的地方点火，并且烟花冲出的速度是14.7m/s.(1)写出烟花距地面的高度与时间之间的关系式.(2)烟花冲出后什么时候是它爆裂的最佳时刻?这时距地面的高度是多少(精确到1m).例题剖析解:(1)设烟花在t秒时距地面的高度为hm,则由物体运动原理可知：h(t)=-4.9t2+14.7t+18(2)作出函数h(t)=-4.9t2+14.7t+18的图象(如右图).显然，函数图象的顶点就是烟花上升的最高点，顶点的横坐标就是烟花爆裂的最佳时刻，纵坐标就是这时距地面的高度.由于二次函数的知识，对于h(t)=-4.9t2+14.7t+18,我们有:29)9.4(47.1418)9.4(45.1)9.4(27.142ht时，函数有最大值当于是，烟花冲出后1.5秒是它爆裂的最佳时刻,这时距地面的高度为29m.54321-1-2-3-4-5-4-224681012fx=2x-1分析：由函数的图象可知，函数在区间[2,6]上递减.所以，函数在区间[2,6]的两个端点上分别取得最大值和最小值。])6,2[(12xxy例3．求函数在区间[2，6]上的最大值和最小值．y])6,2[(12xxy求函数的最大(小)值的方法1.配方法：利用二次函数的性质求函数的最大(小)值2.数形结合法：利用图象求函数的最大(小)值3.单调性法：利用函数的单调性判断函数的最大(小)值4.换元法4．求函数的最大值．1yxx课堂练习1.函数f(x)=x2+4ax+2在区间(-∞，6]内递减，则a的取值范围是()A、a≥3B、a≤3C、a≥-3D、a≤-3D2.在已知函数f(x)=4x2-mx+1,在(-∞，-2]上递减，在[-2,+∞)上递增，则f(x)在[1,2]上的值域____________.[21,39]3.设函数f(x)=x2-2x-3.3在区间[t，t+1]上的最小值为g(t)，求g(t)的解析式。解：f(x)=(x-1)2-4.3，对称轴为x=1(2)当0≤t≤1时，则g(t)=f(1)=-4.3;(1)当t1时，则g(t)=f(t)=t2-2t-3.3;(3)当t+11，即t0时，则g(t)=f(t+1)=t2-4.3;故t2-2t-3.3;(0≤t≤1)g(t)=(t0)t2-4.3;-4.3;(t1)课堂小结1.函数的最大（小）值及其几何意义．2.求函数的最大（小）值．第三课时函数的奇偶性复习：什么叫做轴对称图形?什么叫做中心对称图形?如果把一个图形沿一条直线折起来,直线两侧部分能够互相重合,那么这个图形叫做轴对称图形如果一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形叫做中心对称图形。巴黎埃菲尔铁塔巴黎圣母院北京故宫xyoxyo2)(xxfxxf2)(观察做出的两个函数图象并思考以下问题：（1）这两个函数图象有什么共同特征吗？（2）相应的两个函数值对应表是如何体现这些特征的？x-3-2-101232)(xxfx-3-2-10123f(x)=2-|x|290-1410149121-10y0x-xx(-x,f(-x))(x,f(x))对函数f(x)=x2，当我们在定义域内任取一对相反数x和-x时，所对应的函数值什么关系？猜想:f(-x)____f(x)=思考：能用函数解析式给出证明吗？观察:f(-1)____f(1)f(-2)____f(2)===f(-3)____f(3)x-3-2-1012394101492)(xxf注意：讨论归纳，形成定义一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数．偶函数：函数的图象关于y轴对称偶函数观察下面函数图像，看下面函数是偶函数吗？xy12()(,1]fxxxxy1-12()(,1][1,)fxxx思考：如果一个函数的图象关于y轴对称，它的定义域应该有什么特点？定义域关于原点对称.(1)函数与函数图象有什么共同特征吗？(2)相应的两个函数值对应表是如何体现这些特征的？xxf)(xxf1)(xxf)(0xy123-1-2-1123-2-3观察思考-3-2-102xy-1-21233-31xxf1)(x-3-2-10123xxf)(x-3-2-10123xxf1)(-3-2-10123-1/3-1/2-1/11/21/3-xx对函数，当我们在定义域内任取一对相反数x和-x时，所对应的函数值什么关系？猜想:f(-x)____-f(x)=思考：能用函数解析式给出证明吗？观察:f(-1)____-f(1)f(-2)____-f(2)===f(-3)____-f(3)xxf)(0xy12-1-2-112-2xxf)(x-3-2-10123xxf)(-3-2-10123f(x)f(-x)图象关于原点对称奇函数一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)=－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数．讨论归纳，形成定义奇函数：偶函数：一般地，如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)=f(x)，那么函数f(x)就叫