内蒙古呼伦贝尔市2012届高三数学总复习《集合与常用逻辑用语.

第一模块集合与常用逻辑用语考纲要求1.了解集合的含义、元素与集合的“属于”关系.2.能用自然语言、图形语言、集合语言(列举法或描述法)描述不同的具体问题.3.理解集合之间的包含与相等关系,给定集合的子集、补集、交集、并集的含义及基本运算.4.理解命题的概念,了解命题的逆命题、否命题和逆否命题,会分析四种命题的相互关系.5.理解必要条件、充分条件与充要条件的含义.6.了解逻辑连结词“或”、“且”、“非”的含义,理解全称量词与存在量词的意义,能正确地写出对含有一个量词的命题的否定.命题走向纵观近几年各省、市的高考试题知:本模块是必考内容之一,多以选择题、填空题出现.主要考查集合的简单运算,命题的充分条件、必要条件、充要条件.因为集合、充要条件可以与很多高中数学内容相结合,还可以出解答题.第一讲集合的概念及简单运算走进高考第一关考点关回归教材1.集合的概念(1)集合是数学中的一个不定义的原始概念,像平面几何中的点、线、面一样只可描述.一般地,某些指定的对象集在一起就构成一个集合.集合中的每个对象叫做这个集合的元素,它具有三个特性:确定性;互异性;无序性.(2)根据集合中元素的多少,集合可分为三类:有限集、无限集和空集.(3)符号“∈”和“∉”表示元素和集合之间的关系.(4)我们约定用N表示自然数集;N*或N+表示正整数集;Z表示整数集;Q表示有理数集;R表示实数集;C表示复数集.2.集合的表示方法集合有三种表示方法:列举法、特征性质描述法、韦恩图法,它们各有优点,用什么方法表示集合,要具体问题具体分析.3.子集、真子集(1)对于两个集合A与B,如果A中的每一个元素都是B的元素,那么集合A叫做集合B的子集,记作A⊆B或B⊇A.(2)如果A是B的子集,并且B中至少有一个元素不属于A,那么,集合A叫集合B的真子集,记作AB或BA.4.空集(1)空集∅是指不含任何元素的集合,它是任何一个集合的子集,是任何一个非空集合的真子集.(2)集合{∅}不是空集;∅∈{∅}、∅⊆{∅}、∅{∅}三种表示法都是对的.5.有限集的子集、真子集的个数关于有限集的子集个数有下列结论:若有限集A中有n个元素,则A的子集有2n个;非空子集有2n-1个;真子集有2n-1个.6.集合的运算(1)交集对于两个集合A、B,由属于A又属于B的所有元素所构成的集合,叫做A和B的交集,记作A∩B.(2)并集一般地,对于两个给定的集合A、B,把它们所有的元素并在一起构成的集合,叫做A与B的并集,记作A∪B.(3)全集在研究集合与集合之间的关系时,如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素,那么称这个给定的集合为全集,通常用U表示、(4)补集如果A是全集U的一个子集,由所有属于U,但不属于A的元素组成的集合,叫做A在全集U中的补集,记作∁UA.7.集合中的常用运算性质(1)A⊆B,B⊆A,则A=B;A⊆B,B⊆C,则A⊆C;(2)∅⊆A,若A≠∅,则∅A;(3)A∩A=A,A∩∅=∅;(4)A∪A=A,A∪B=B∪A,A∪∅=A;(5)A∩∁UA=∅,A∪∁UA=U;(6)A∩B⊆A⊆A∪B;(7)∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB);∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB);(8)若A⊆B,则A∩B⊆A∪B,A∩B=A,A∪B=B.考点训练1.(2009·全国卷Ⅰ)设集合A={4,5,7,9},B={3,4,7,8,9},全集U=A∪B,则集合∁U(A∩B)中的元素共有()A.3个B.4个C.5个D.6个答案:A解析:依题意得U=A∪B={3,4,5,7,8,9},A∩B={4,7,9}.∴∁U(A∩B)={3,5,8},故选A.2.(2009·四川卷)设集合S={x||x|5},T={x|x2+4x-210},则S∩T=()A.{x|-7x-5}B.{x|3x5}C.{x|-5x3}D.{x|-7x5}答案:C解析:S=(-5,5),T=(-7,3),∴S∩T=(-5,3).3.(2009·江西卷)已知全集U=A∪B中有m个元素,(∁UA)∪(∁UB)中有n个元素.若A∩B非空,则A∩B的元素个数为()A.mnB.m+nC.n-mD.m-n答案:D解析:∵(∁UA)∪(∁UB)=∁U(A∩B),∴∁U(A∩B)有n个元素,故A∩B有m-n个元素.4.(2009·浙江卷)设U=R,A={x|x0},B={x|x1},则A∩∁UB=()A.{x|0≤x1}B.{x|0x≤1}C.{x|x0}D.{x|x1}答案:B解析:∵B={x|x1},∴∁UB={x|x≤1}.又A={x|x0},∴A∩∁UB={x|0x≤1}.5.(2009·湖北卷)已知P={a|a=(1,0)+m(0,1),m∈R},Q={b|b=(1,1)+n(-1,1),n∈R}是两个向量集合,则P∩Q=()A.{(1,1)}B.{(-1,1)}C.{(1,0)}D.{(0,1)}答案:A解析:a=(1,m),b=(1-n,1+n),若P∩Q≠φ,则由a=b得1=1-n,m=1+n,解得n=0,m=1.∴P∩Q={(1,1)}.解读高考第二关热点关题型一集合的基本概念例1现有三个实数的集合,既可以表示为{a,,1},也可表示为{a2,a+b,0},则a2009+b2009=________.答案:-1ba解析:根据集合中元素的确定性,我们不难得到两集合的元素是相同的,这样需要列方程组分类讨论,显然复杂又繁琐.这时若能发现0这个特殊元素,和中的a不为0的隐含信息,就能得到如下解法.由已知得=0,及a≠0,所以b=0,于是a2=1,即a=1或a=-1.又根据集合中元素的互异性a=1应舍去,因而a=-1,故a2009+b2009=(-1)2009=-1.baba点评:1.利用集合中元素的特点,列出方程组求解,但仍然要检验,看所得结果是否符合集合元素的互异性的特征.2.此类问题还可以根据两集合中元素的和相等,元素的积相等,列出方程组求解,但仍然要检验.变式1:已知x2∈{1,0,x},求实数x的值.解:由集合中元素的确定性可知x2=1,0或x,由集合中元素的互异性可知x≠1,0.若x2=0,则x=0,此时集合为{1,0,0},不符合集合中元素的互异性,舍去.若x2=1,则x=±1.当x=1时,集合为{1,0,1},不符合集合中元素的互异性,舍去;当x=-1时,集合为{1,0,-1},符合.若x2=x,则x=0或x=1,由上可知,x=0和x=1都不合题意,舍去.综上所述,x=-1.点评:即要用元素的确定性、互异性和无序性解题,又要利用它们检验解的正确性,特别是互异性,最易被忽视,在学习中必须加以重视.题型二元素与集合的关系例2已知集合A={x|ax2-3x+2=0},若A中元素至多有一个,求a的取值范围.:,,,;,,,,,9.,.82221a03x20x32a0ax3x20x998a0ax8ax3x20aa0a解时原方程为符合题意时方程为关于的一元二次方程当时即时关于的方程无实数根或有两个相等的实数根都符合题意综上所述的取值范围为或:,:,,A.(),A;(),:A.12AaAA11a12A12aA1a变式设是数集满足性质若则且若求若求证:(),A,1,A,1221A2,1,.2():,A,,.112A11211A211112aA1a111A1a11a解由则故证明由知得证题型三集合的基本运算例3设全集为实数集R,M={x||x|≤2},N={x|y=lg(1-x)0},则(∁RM)∩N等于()A.{x|x-2}B.{x|-2x1}C.{x|x1}D.{x|-2≤x1}答案:A解析:∵M={x|-2≤x≤2},∴∁RM={x|x-2或x2},N={x|1-x0}={x|x1}.∴(∁RM)∩N={x|x-2}.点评:进行不等式解集的运算,当遇有较复杂的集合运算时,可利用数轴来表示各不等式的解集,以便于能直观地分析出各集合之间的关系.:()|,|,1.{|2x3}2B.x|2x31C.x|x221D.x|1x232009Ax2x13B2x1x0AB3xAx1x变式安徽卷若集合则是()或答案:D:,1x2.1,x3.21|.22x132x10x3xABx1x解析由得由得或题型四含参数的集合问题例4已知A={x|-2≤x≤4},B={x|xa}.(1)若A∩B=∅,求实数a的取值范围;(2)若A∩B≠A,求实数a的取值范围;(3)若A∩B≠∅,且A∩B≠A,求实数a的取值范围.解:将A={x|-2≤x≤4}在数轴上表示如图.(1)∵A∩B=∅,又B={x|xa},∴a≤-2.(2)∵A∩B≠A,∴a≤4.(3)∵A∩B≠∅且A∩B≠A,∴-2a≤4.综上可知,(1)a≤-2时,A∩B=∅;(2)a≤4,A∩B≠A;(3)-2a≤4时,A∩B≠∅且A∩B≠A.点评:解不等式表示的集合问题,注意借助数轴的直观性来解决问题,它是常用技巧.变式4:(2008·南京质检)已知集合A={x|x23x+2≤0},B={x|x2-(a+1)x+a≤0}.(1)若A是B的真子集,求a的取值范围;(2)若A∪B=A,求a的取值范围.解:(1)A={x|1≤x≤2},∵AB,∴a1,a2,∴a2.(2)∵A∪B=A,∴B⊆A.若B=∅,则2-4a0,即(a-1)20,∴a∈∅.若B≠∅(ⅰ)当a1时,B={x|1≤x≤a},∴a≤2,即1a≤2.(ⅱ)a≤1时,B={x|a≤x≤1},∴a=1.综上知,1≤a≤2.笑对高考第三关技巧关1.利用补集思想方法解题对于某些问题,如果从正面求解较困难,可考虑求解问题的反面,采用“正难则反”的解题策略,具体地说,就是将研究对象的全体视为全集,求出使问题反面成立的集合A,则A的补集即为所求.例1已知集合A={x|x2+x+a≤0},B={x|x2-x+2a-10},C={x|a≤x≤4a-9},且A、B、C中至少有一个不是空集,求a的取值范围.:,.,,(),...ABCABCa14a05142a10a38a4a95aaa38解已知集合、、至少有一个不是空集故其反面为三个集合都是空集若、、全为空集则实数应满足解得从而所求的取值范围是或2.利用韦恩图解题对于全集U及其子集,可用矩形和圆圈分别来表示,并借助图形解决相关问题,这种方法称为韦恩图法.利用韦恩图法可计算集合中的元素个数,有如下公式:card(A∪B)=card(A)+card(B)-card(A∩B),其中card(A)表示集合A中的元素个数.例2已知全集U={不大于20的质数},M、N是U的两个子集,且满足M∩(∁UN)={3,5},(∁UM)∩N={7,19},(∁UM)∩(∁UN)={2,17},求M、N.解:如下图所示,由(∁UM)∩(∁UN)={2,17}可知M,N中没有元素2、17.由(∁UM)∩N={7,19}可知N中有元素7、19,M中没有元素7、19.由M∩(∁UN)={3,5}可知M中有元素3、5,N没有元素3、5.剩下的元素11、13不在(∁UM)∩N、M∩(∁UN),(∁UM)∩(∁UN)三部分,只有11∈M∩N,13∈M∩N.所以M={3,5,11,13},N={7,11,13,19}.点评:有的集合问题比较抽象,解题时若借助Venn图或数轴进行数形分析,使问题直观化,可准确获解.考向精测1.集合A{1,2,3,4},且A的元素中至少有一个是奇数,则这样的集合有()A.16个B.15个C.12个D.11个答案:D解析:满足A{1,2,3,4}的A有24-1=15个.而所求集合的反面为集合中无奇数,即有∅,{2},{4},{2,4