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14.1自回归过程的性质•一、一阶自回归过程AR(1)的性质•二、二阶自回归过程AR(2)的性质•三、p阶自回归过程AR(p)的性质返回本节首页下一页上一页2一、时间序列模型的平稳性(Stationarity)•平稳性的定义:如果一个时间序列模型可以写成如下形式:2211ttttaaax其中,xt为零均值平稳序列,at为白噪声,且满足条件就称该模型是平稳的。(上式又称Wold展开式)002)1(,jj返回本节首页下一页上一页3.,,)(000)()(0)(,0222022这是过程平稳的条件因此必须有在由于平稳过程的方差存且可以证明如下结论对于上式jjoikiiakttkajttjjattxxEjjxaExVarxE4时间序列模型的可逆性(ivertibility)•如果一个时间序列(未必平稳)的模型可以写成如下形式:tttttaxxxx332211其中:at为白噪声,且有那么,就称这个模型是可逆的。11jj返回本节首页下一页上一页5对于一个有限阶的自回归模型AR(P)tptptttaxxxx2211总有:pjjjj1111所以,一个有限阶的AR(p)模型总是可逆的。6自回归表示有助于理解预测机制,Box和Jenkins证明在预测时,一个非可逆过程是毫无意义的。7一、一阶自回归过程AR(1)的性质•一阶自回归模型的形式为:tttaxx11或ttaxB11返回本节首页下一页上一页81、平稳性和可逆性A.可逆性:一个有限阶的自回归模型总是可逆的,所以,AR(1)模型总是可逆的。B.平稳性:为满足平稳性,的根必须在单位圆外,于是有:011B1,1111即912233111123111213221200111,(1),(1)11:1:(1)1tttttttjjjjARMAaxBBBaBaaaaAR当时可表示为一个无限阶的过程即此时有注下面我们对的讨论都假定1023111213tttttxaaaa上式说明系统是怎样记忆扰动at上式中的系数客观的描述了该系统的动态性,故这个系数称为记忆函数(格林函数),AR(1)模型的格林函数可表示为平稳序列的这种表示形式,称为“传递形式”,(用无穷阶MA模型来逼近有限阶AR模型)1jjG11格林函数的意义是前j个时间单位以前进入系统的扰动对系统现在的影响;客观的刻划了系统动态响应衰减的快慢程度;是系统动态真实描述;格林函数所描述的动态性完全取决于系统参数12对于AR(1)来说:若系统受到扰动后,该扰动的作用逐渐减小,直至趋于零,即系统随着时间的增长回到均衡位置,那么该系统就是渐近稳定的,也就是平稳的。系统平稳对于格林函数来说,就是随着j的增加,趋近于零;若格林函数趋于无穷大,那么任意小的扰动,只要给定足够的时间,就会使系统响应正负趋于无穷,永远不会回到其均衡位置,这时系统便是不稳定的,当然是非平稳的。1jjG132.AR(1)过程的自相关函数kkkktkttkttktkaatttttkaxExxExxEaxaxExEAR10111121202021211212120:)1()()()(1)2()(:)1(解此差分方程有所以所以过程的自协方差如下141,0)1()1(:0110110有时当解此差分方程有因此它的自相关函数为kkkkkkkkk152121261412111224121212221111221112122614121224121212222111201)1()())(()(1)1()()()(:akakkktktktktktktktktttkttkaatttttttaaaEaaaaaaaExxEaaaEaaaExE方法证明上述结论还可通过如下161010且于是有kkk17通过上述推导可看出,当过程平稳即时,AR(1)过程的自相关函数(ACF)呈指数衰减。101如果,那么所有的自相关系数都为正,并逐渐衰减。如果,自相关系数的符号以负号开始,并呈正、负交替逐渐衰减。0111118例1,下面两图表分别是模拟生成的249个数据如下AR(1)过程趋势图和自相关图白噪声为正态其中或)1,0(,85.085.0)85.01(11NaaxxaxBtttttt19-6-4-202482848688909294969800例1,模拟生成的AR(1)过程趋势图20例1:模拟生成的AR(1)过程自相关图::85.085.0)85.01(11其中或tttttaxxaxB呈指数衰减21例2,下面两图表分别是模拟生成的249个数据如下AR(1)过程趋势图和自相关图白噪声为正态其中或)1,0(,85.0)85.0()85.01(11NaaxxaxBtttttt22-6-4-2024682848688909294969800Y例2,模拟生成的AR(1)过程趋势图23例2:模拟生成的AR(1)过程自相关图::85.0)85.0()85.01(11其中或tttttaxxaxB呈正负交替指数衰减243.AR(1)过程的偏自相关函数(PACF)A.偏自相关函数的一般公式.)1(0),cov(,,,:,,,,,0)(.,,,,,112211121121间的偏自相关系数和也就是上式中的且为正态误差项个回归系数为第上式中则有间存在线性关系与且假设来表示它一般用的相关性之间和的影响之后之间的随机变量和偏自相关函数指剔除掉在第二章我们已经知道kttkkjtttkitktkkktkktktktktktttttkkkttktttkttxxjxeeiexxxxxxxxxxxExxxxxxx25kjkkjkjkjkjkkjkjkjjtktkkjttkjttkjttjtxxExxExxExxEjx221122112211::)()()()(,)1(:所以于是有并求期望得乘上式两端将式可推导如下偏自相关函数的一般公26110211211202112201,2,,r,kekkkkkkkkkkkkkkkkkkkYulejkWol对于我们有如下方程组此方程称为即为方程偏自相关函数2701210121031220111033112110110211022111111,,2,1法则可得由对于Gramerkk28122111321231122111321231,11111()kkkkkkkkkkkkkkk类推下去可得上式即为偏自相关函数的一般公式偏自相关函数公式的另一种推导方法可见课本29B.AR(1)过程的偏自相关函数0011,0121012102112110101100121012103122011103311111010011021102211111公式得及偏自相关函数的一般由kk30)2(0:1111kkk于是有如下结论上述结论说明:AR(1)过程的偏自相关函数(PACF)在滞后一阶有一峰值,其符号取决于。滞后一阶以后PACF截尾。131例1:模拟生成的AR(1)过程自相关图::85.085.0)85.01(11其中或tttttaxxaxB滞后一阶以后截尾3285.0)85.0()85.01(11其中或tttttaxxaxB例2:模拟生成的AR(1)过程自相关图::滞后一阶以后截尾33二、二阶自回归AR(2)过程的性质•二阶自回归模型的形式为:ttttaxxx2111或ttaxBB2211返回本节首页下一页上一页34B.平稳性:为满足平稳性,的根必须在单位圆外.1、平稳性和可逆性A.可逆性:AR(2)模型总是可逆的。01221BB35)1(1,011,111,1:01,)2(21212212122121BBBBBBBBBAR因为可以证明有的绝对值都小于的两个特征根程其实也就是要求特征方即那么必须有的两个根是假定以用其参数值形式表示模型的平稳性条件可3621212(2)1111AR通过证明,模型的平稳性条件如下注:我们下面对AR(2)性质的讨论中都假定平稳性条件满足.37-202-101实根复根12AR(2)过程的平稳性区域如下图三角域所示04221382.AR(2)过程的自相关函数)1(,)1()()()()()2(221122112211kkaxExxExxExxEARkkkkkktkttkttkttktk自相关函数为因而所以下过程的自协方差求得如39呈混合指数衰减的显然此时可由如下初始条件求出其中常数于是解之得特征根为异实根即上述特征方程有两相如果程为上述差分方程的特征方ACFARbbbbkkk)2(,)24()24(24,04)1(02112121121221122211122112,122121240呈指数衰减的显然此时可由如下初始条件求出其中常数于是解之得特征征根为实根即上述特征方程有两重如果ACFARbbkbbkk)2(,)2)((2,04)2(211212112112112,122141呈阻尼正弦波衰减的显然此时可由如下初始条件求出常数为复角为复根的模其中于是解之得特征根为共轭复根即上述特征方程有一对如果ACFARbbrtrbtrbiidckkk)2(,,coscos2)4(,04)3(211212112122122112,122142通过上述推导可以如下结论,在AR(2)过程的平稳性条件满足时,如果特征方程的根为实根,即时,AR(2)的自相关函数呈指数衰减。如果特征方程的根为复根,即时,AR(2)的自相关函数呈阻尼正弦波衰减。0422104221433.AR(2)过程的偏自相关函数21212011021102221111221111,,)2(公式得由偏自相关函数的一般因为过程对于kkkAR4400121012101221120211011201100121012103122011103345通过上述证明可以得出如下结论:.)2(,0,3,)2(过程是滞后二阶截尾的因此时当过程对于ARkARkk
本文标题:4.1 自回归过程的性质
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