损伤与断裂力学第4章(矿大)高峰

第4章线弹性断裂力学的基本理论4-1应力强度因子概念和能量释放观点的统一假设不考虑塑性变形能、热能和动能等其它能量的损耗，则能量转换表现为所有能量在裂端释放以形成新的裂纹面积。下面以带有穿透板厚的I型裂纹的平板为例，来建立应力强度因子和能量释放率间的关系。裂纹尖端正前方的应力分布裂纹长度(或裂纹半长度)为a的裂纹端点正前方r处有使裂纹面撑开的拉伸应力:rKrIy2)0,(23sin2sin12cos2rKIy裂纹面上的位移在初始应力如上式给出的情形下，设裂纹可以延长a长度，即把裂端前方撑开成长度为a+s的裂纹。此时在原坐标系的x=r处或离新裂纹端点s-r处，新裂纹上表面的位移v(s-r,π)：2sin2cos2)1(2222/1rKvIsaIKrsrsv][221),(裂纹形成时外力做功当裂纹表面张开至上式给出的位移值时，裂纹表面才真正形成，此时裂纹表面已无应力作用。由于作用力与位移同向，当裂纹长度延长s时，作用力对裂纹上表面所做的功为：Bdrrsvrsy02),()0,(B为平板的厚度能量释放与应力强度因子按照Griffith能量释放的观点，裂纹长度延长s时，此裂纹端所释放的能量将等于裂纹上下表面所做的功。因此，按照I型裂纹能量释放率GI的定义:当s→0时，有[KI]a+s→KI，经过积分得：BdrrsvrBsGsysI002),()0,(2lim281IIKG简化的统一形式对于平面问题，若取有效弹性模量E1和有效泊松比ν1，而平面应力平面应变则平面应力和平面应变状态下的本构关系及其解均将完全相同。于是：211EEE1112EKGII这就是著名的能量释放率与应力强度因子的关系式。其余裂纹类型情况上式成立是基于裂纹沿原方向扩展的假设上。若假设II型裂纹和III型裂纹的扩展方向也是裂端正前方，则有：如果带裂纹的平板受到I，II，III三种载荷而成复合型裂纹时，若仍假设裂纹沿原方向扩展，则总能量释放率为：EKGEKGIIIIIIIIII212)1(EKEKKGGGGIIIIIIIIIIII2122)1(提示实验结果指出，除I型裂纹可以沿原方向扩展外，其余裂纹型往往不沿原方向扩展。因此总能量释放率只是近似估计式。如果要考虑裂纹真正的扩展方向来计算，这已不是解析的方法所能做到，必须要用数值解法，同时还要一套断裂理论指出裂纹开裂的方向。?练习思考题为何不同型裂纹的能量释放率可以线性叠加?而应力强度因子却不能?习题试建立II型和III型裂纹的应力强度因子和能量释放率之间的关系。4-2柔度法柔度法是通过柔度随裂纹长度而改变这个性质，用测量的方法来得到G，然后再利用G与K的关系来得到K值。由于I型裂纹的G与K的关系式是精确的，并且I型裂纹容易施加载荷，所以柔度法一般只用在I型裂纹。I型裂纹是最危险的。恒载荷和恒位移时G的表达式当边界是给定位移时，外界对系统不做功，则这是恒位移时能量释放率的表达式。若系统边界某范围是给定载荷，这是恒载荷时的能量释放率表达式。柔度法一般限制在二维问题，尤其是I型裂纹，柔度法通常用来做应力强度因子的标定dAUWdG)(dAdUGdUPddW2pdAdUG恒载荷柔度法一块很长的矩形板，板厚为B，板下边固定，上边某点有拉力P，载荷点位移为δ。拉力P方向垂直裂纹面。在裂长为a时，拉力P可产生位移δ(a)，当裂纹增至时，位移也增至:因为位移和拉力有如下关系∶,C是柔度,于是：aa)(aaaaaaa)()(aaCPaaPPUP22212CPPaCBPaBUG22恒位移柔度法长矩形板如图，一边固定，另一边强迫作位移后也加以固定。假设裂纹长度由增至，则应变能的改变是△OBC减去△OAC，即等于负的△OAB的面积，。此时，载荷改变量△P也是负值。caaa1;21CPPUc)(2)(221121aCBaCBaBPdAdUGcccc应该指出，载荷与位移之间的正比关系是建立在材料服从虎克定律的基础上，因此要求裂纹尖端的塑性区是微小的，如果裂端塑性区大到不可忽略时，则载荷与位移之间的线性关系不再成立，这时属于弹塑性断裂力学的范围。柔度法一般应用于恒载荷时平板的I型裂纹问题，要求裂纹前沿整齐，有相同的能量释放率。整个应力强度因子标定的步骤如下∶(1)选定一标准试件－长条板单边裂纹试件，用薄刀片加工，制成长为a1的I型裂纹。然后材料试验机上拉伸，画出拉力和加载点位移关系线。此时关系应是线性的。拉力值不得大到使P-δ关系产生非线性。下一步，再度使裂纹稍稍延长至长度a2，有在同一张纪录纸上记下此时的P-δ关系。如此进行至少十多次，裂纹长度已相当长时才停止。(2)求出不同裂纹长度下的柔度C，，柔度C是直线P-δ斜率的倒数。把柔度与裂长的关系画在图中。若是数据点足够多，可用最小二乘法把数据点拟合成一条多项式表示的曲线。44332210)()()()(habhabhabhabbBECPaCBPaBUG22])(4)(3)(2[2134232122habhabhabbPEhGB2134232121])(4)(3)(2[)2(habhabhabbhBPK12EKGII习题1.求恒拉力下双悬臂梁试件的应力强度因子。2.有限大小弹性圆柱体含有位于中心的圆裂纹时，试求在拉力作用下类似的能量释放率表达式。3.如图所示，在上下表面，有位移v=±v0和τxy=0，即被刚体固接。此时横向位移u不受约束。求在平面应力时的应力强度因子。PaCBPG224-3断裂判据断裂过程区断裂总是始于裂端的极小区域，当其损伤达到临界程度时才发生的。在此小区域中材料的微结构起决定影响，也是宏观力学不适用的地方。这个小区域就叫做断裂过程区FPZ(fractureprocesszone)。K场区在第三章中，给出各型裂纹的裂端应力场时，已忽略掉高次项，因此也仅适合裂纹尖端的小区域内，此区域称为K场区。K场区内的应力应变强度可用应力强度因子来度量；场区外则须加上高次项。关于K场区和断裂过程区如果K场区尺寸小于断裂进行区尺寸，则计算应力强度因子已失掉意义，此时宏观力学在裂端区是不实用的。反过来，若K场区尺寸比断裂进行区尺寸大几倍以上，则断裂进行区是否会发生断裂，受其外部的K场区强度所制约，因此，断裂判据可建立在K场区强度是否达到临界条件这个基础上。由于无限大应力实际上不存在，裂端总有个塑性区，而塑性区内的应力是有界的。因此，应力强度因子断裂判据成立的条件是，塑性区尺寸比K场区小几倍，也要比裂纹长度小几倍以上。幸运的是，许多高强度合金和工程材料在发生脆性断裂时，多是K场区强度起支配作用的。因此，应力强度因子断裂判据适合于这些材料的脆性断裂。断裂判据对于一个单独型的裂纹，利用应力强度因子和能量释放率的关系，可有断裂判据：I型裂纹是最常见的裂纹型，其失稳断裂开始的临界点Kcr，通常与试件(或构件)的厚薄、大小有关。当试件(或构件)厚到某一程度和大到某一程度，脆性材料的Kcr值达到极小值，以后尺寸厚度再增加，Kcr仍维持此极小值，此极小值用符号代表即为KIC，其相应的GIC值称为平面应变的断裂韧度。因此，I型裂纹保守的判据为:crKKICIKK断裂判据可以解决下列两个问题(1)当知道工作载荷时，可以计算出断裂时的临界裂纹尺寸；(2)当知道裂纹尺寸和位置时，可计算出可能引起断裂的载荷。例题例题34GrNi3Mo钢所制成的粗轴，探伤检查发现主要的缺陷是内部有一半径为40mm的圆裂纹，裂纹面的法线方向与轴向平行。已知轴半径远大于裂纹尺寸，同时测得钢的KIC为99.2MN/m3/2,试问要是发生断裂，轴向拉伸应力至少有多大?解答因为粗轴半径远大于圆裂纹半径，可采用无限大弹性体有圆裂纹的应力强度因子的解。于是临界条件为：于是：ICcrKa2)MN/m(44722aKICcr习题1．有一平均半径为800mm，壁厚10mm的圆柱壳形高压容器，所用钢材具有KIC值130MN/m3/2,现发现有一长为12mm、最深为4mm的内表面半椭圆轴向裂纹。问(A)内压多达时才会发生断裂?(B)若内压只是临界内压的1/4，并假设裂纹形状不变，问裂纹扩展至多大才会发生断裂?2．在习题1中，若发现的裂纹是长为200mm，深为4mm的内表面横向(圆周向)裂纹。试求出习题1中的两个问题。4-4阻力曲线能量释放率可做为裂纹是否扩展的倾向能力的度量，又称为裂纹扩展力。裂纹扩展力必须大于裂纹扩展阻力，裂纹才有可能扩展。对平面应变的脆性断裂来说，裂纹扩展阻力由KIC确定，是个常数值，不随裂纹增长而变。但对不同厚度的平板，尤其是厚度小于平面应变所要求的厚度时，裂纹扩展阻力不再是常数。为了说明裂纹扩展阻力的观念，现在以平面应变无限大平板I型中心裂纹为例，脆性断裂阻力曲线当拉伸应力保持定值时，裂纹扩展力G随a增加而线性上升。在1时，裂纹半长度为a1就达到裂纹扩展阻力值GIC。超过a1，就发生失稳断裂；低于a1，则裂纹不扩展。脆性断裂阻力曲线以小于1的拉伸应力2作用时，必须超过较长的a2才会发生断裂。图中带箭头的直线代表裂纹扩展力，只有当裂纹扩展力大于常数值的阻力R=KIC，才会发生失稳断裂。脆性断裂阻力曲线如果将x轴改为代表裂纹扩展增量Δa，则可以改画成下图。Δa＞0部分才是真正扩展。Δa＜0部分即表示不扩展，而以负方向离原点的距离表示裂纹半长度的大小。韧性断裂阻力曲线在板厚较薄而不合乎平面应变条件时，裂纹扩展阻力R随Δa增加而增加。图(4－9)的例子仍是Griffith裂纹，此时裂纹扩展阻力是一曲线。此曲线叫做阻力曲线或R曲线。图4-9非平面应变的R曲线韧性断裂阻力曲线例如在韧性断裂时，裂纹扩展阻力往往是呈曲线的。一旦达到并稍为超过裂纹开始扩展的条件时，若外力仍维持不变，则较长的裂纹(例如图中的裂长a2受到2作用时)有可能稍为扩展，然后很快地停止下来。只有当外力较大时，才有可能引起失稳扩展。图4-9非平面应变的R曲线韧性断裂阻力曲线阻力曲线的测定一般是针对裂纹扩展阻力不为常数值时才实施。脆性材料平面应变的恒载荷试验时，试件一启裂就立即失稳扩展。但对阻力随裂纹扩展增量而变的情形，达到启裂点后不一定会发生扩展，即使扩展也不一定是失稳扩展。当扩展力稍稍超过启裂点时，往往有一段稳定扩展(也叫做亚临界裂纹扩展)。当达到失稳断裂时，这时的Δa量已达到不可忽略了，对于有稳定扩展阶段的断裂韧度测试中，若监测启裂点不容易时，可以用阻力曲线的测量，然后用外推法得出启裂点。思考题1.在带裂纹平板的表面铆接或焊接一块平板，把裂纹覆盖起来(此称为加筋板)。试根据阻力曲线的原理，讨论裂纹可能的扩展行为。2.如果已测量到一组(R,Δa)数据，这里R是裂纹扩展阻力。你如何得到启裂时的R值?3.图(4－9)中，若裂纹很短(例如为a1)，裂纹扩展力为G1的概念在什么情况下是正确的?什么情况下是不正确的?4-5应变能密度因子考虑二维的裂纹问题，受到I、II、III型三种载荷中的任一种或两种以上载荷的作用。裂纹前缘是平直的，即整个前缘各点的应力强度因子值都相同，如图所示，裂纹端点区附近的一点P处有体积元，其应力场为三种裂纹应力场的叠加：一般情况下的裂纹尖端应力场23cos2cos22sin223cos2sin12cos221rkrkx23cos2cos2sin223sin2sin12cos221rkrky)(0yxz