3.3几何概型

3.3几何概型3.3.1几何概型3.3.2均匀随机数的产生3.3.1几何概型（1）试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；（2）每个基本事件出现的可能性相等（等可能性）.1.古典概型有哪两个基本特点？复习2.计算随机事件发生的概率，我们已经学习了哪些方法?（1）利用古典概型的概率公式计算.（2）通过做试验或计算机模拟试验，用频率来近似估计概率；3、在现实生活中，常常会遇到试验的所有可能结果是无穷多的情况，这时就不能用古典概型来计算事件发生的概率.例如：一个人到单位的时间可能是8：00～9：00之间的任何一个时刻；往一个方格中投一个石子，石子可能落在方格中的任何一点上……这两个试验可能出现的结果是有限个，还是无限个？若没有人为因素，每个试验结果出现的可能性是否相等？特定情形下，我们可以用几何概型来计算事件发生的概率.问题：有两个转盘，甲乙两人玩转盘游戏.规定当指针指向B区域时，甲获胜，否则乙获胜.在两种情况下分别求甲获胜的概率是多少？BNBBNNBBBNN以左边转盘为游戏工具时，甲获胜的概率为1/2以右边转盘为游戏工具时，甲获胜的概率为3/5从结论来看，甲获胜的概率与字母B所在扇形区域的哪个因素有关？哪个因素无关？与扇形的弧长（或面积）有关，与扇形区域所在的位置无关.几何概率模型的定义如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例,则称这样的概率模型为几何概率模型,简称为几何概型.几何概型的特点:(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个.(2)每个基本事件出现的可能性相等.练习1：某班公交车到终点站的时间等可能是11：30～12：00之间的任何一个时刻，那么“公交车在11：40～11：50到终点站”这个随机事件是几何概型吗？几何概型的特点:(1)试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个.(2)每个基本事件出现的可能性相等.练习2：一个游戏转盘如图,让转盘自由转动,当转盘停止转动后,指针落在哪个区域.这个随机事件是几何概型吗？为什么？落在哪个区域的可能性最大?落在哪个区域的可能性最小?有可能性相等的情况吗?为什么?60º90º90º120º解：是几何概型，因为事件发生的概率只与构成该事件区域的面积成比例.落在红色区域可能性最大，落在蓝色区域可能性最小，黄色和绿色可能性相同.对于具有几何意义的随机事件，或可以化归为几何问题的随机事件，一般都有几何概型的特性，我们希望建立一个求几何概型的概率公式.在转盘游戏中，落在各颜色区域的概率各是多少？几何概型,事件A的概率的计算公式:()APA构成事件的区域长度（面积或体积）全部结果所构成的区域长度（面积或体积）例2：甲乙两人相约上午8点到9点在某地会面，先到者等候另一人20分钟，过时离去，求甲乙两人能会面的概率.Oxy2020606095604060)(222AP｜y-x｜≤20解:设A={等待的时间不多于10分钟}.我们所关心的事件A恰好是打开收音机的时刻位于[50,60]时间段内,因此由几何概型的求概率的公式得例1:某人午觉醒来,发现表停了,他打开收音机,想听电台报时,求他等待的时间不多于10分钟的概率.即“等待的时间不超过10分钟”的概率为1/6.P(A)=(60-50)/6=1/6练习3：某路口红绿灯的时间设置为：红灯40秒,绿灯60秒,黄灯4秒.当人或车随意经过该路口时,遇到哪一种灯的可能性最大?遇到哪一种灯的可能性最小?根据什么?遇到红灯,绿灯,黄灯的概率各是多少？为什么？练习4：甲乙两人相约下午1时至2时在某公共汽车站乘车，已知该站在下午1时30分和2时准点各发一班车，假设因堵车的影响，甲乙两人在1时至2时之间任一时刻到达车站的可能性相同，如果两人到车站后见车就上，那么两人乘一辆车的概率是多少？例3：如图，甲转盘被分成３个面积相等的扇形，乙转盘被分成了２个面积相等的扇形．小夏和小秋利用它们来做决定获胜与否的游戏，规定小夏转甲盘一次，小秋转乙盘一次为一次游戏（当指针指在边界线上视为无效，重转）.小夏说：“如果两个指针所指的区域内的数之和是６或７，则我胜；否则你获胜”．按小夏设计的规则，请你写出两人获胜的可能性分别是多少？32154甲盘乙盘小结1.几何概率模型的定义2.几何概型的特点3.在几何概型中,事件A的概率的计算公式4.如果一个随机试验可能出现的结果有无限多个，并且每个结果发生的可能性相等，那么该试验可以看作是几何概型.通过适当设置，将随机事件转化为几何问题，即可利用几何概型的概率公式求事件发生的概率.3.3.2均匀随机数的产生1.几何概型的含义是什么？它有哪两个基本特点？含义：每个事件发生的概率只与构成该事件区域的的长度（面积或体积）成比例的概率模型.特点:（1）可能出现的结果有无限多个;（2）每个结果发生的可能性相等.2.在几何概型中,事件A的概率的计算公式:()APA构成事件的区域长度（面积或体积）全部结果所构成的区域长度（面积或体积）复习我们常用的是[0，1]上的均匀随机数，可以利用计算器来产生.如何利用计算器产生0～1之间的均匀随机数（实数）？PRBENTERENTERRANDRANDISTATDEGRANDI0.052745889STATDEG注意：每次结果会有不同.（2）选定Al格，点击复制，然后选定要产生随机数的格，比如A2～A100，点击粘贴，则在A1～A100的数都是[0，1]上的均匀随机数.这样我们就很快就得到了100个0～1之间的均匀随机数，相当于做了100次随机试验.（1）选定Al格，键人“＝RAND（）”，按Enter键，则在此格中的数是随机产生的[0，1]上的均匀随机数；用Excel演示.试验的结果是区间[0，1]上的任何一个实数，而且出现任何一个实数是等可能的，因此，就可以用上面的方法产生的0～1之间的均匀随机数进行随机模拟.我们可以利用计算器或计算机产生整数值随机数，还可以通过随机模拟方法求古典概型的概率近似值，对于几何概型，我们也可以进行上述工作.思考：计算机只能产生[0，1]上的均匀随机数，如果试验的结果是区间[a，b]上等可能出现的任何一个值，如何产生[a，b]上的均匀随机数？首先利用计算器或计算机产生[0，1]上的均匀随机数X=RAND,然后利用伸缩和平移变换：Y=X*(b-a)+a,计算Y的值，则Y为[a，b]上的均匀随机数.练习1：怎样利用计算机产生100个[2，5]上的均匀随机数？（1）在A1～A100产生100个0～1之间的均匀随机数；（2）选定Bl格，键人“＝A1*3+2”，按Enter键，则在此格中的数是随机产生的[2，5]上的均匀随机数；（3）选定Bl格，拖动至B100，则在B1～B100的数都是[2，5]上的均匀随机数.例1：假设你家订了一份报纸，送报人可能在早上6:30～7:30之间把报纸送到你家，你父亲离开家去工作的时间在早上7:00～8:00之间，问你父亲在离开家前能得到报纸的概率是多少？随机事件1.如果把“父亲在离开家之前能得到报纸”称为事件A，那么事件A是哪种类型的事件？分析：2.我们有两种方法计算该事件的概率：⑴利用几何概型的公式设送报人到达你家的时间为x，父亲离开家的时间为y，若事件A发生，则x、y应满足什么关系？6.5≤x≤7.5，7≤y≤8，y≥x.你能画出上述不等式组表示的平面区域吗？根据几何概型的概率计算公式，事件A发生的概率为多少？y6.57.5xO786.5≤x≤7.5，7≤y≤8，y≥x.试验的全部结果所构成的区域为={（x，y）|6.5≤x≤7.5，7≤y≤8}，这是一个正方形区域，面积为1.事件A表示父亲在离开家前能得到报纸，所构成的区域A={（x，y）|6.5≤x≤7.5，7≤y≤8，y≥x}，即图中的阴影部分，面积为1-1/2*1/2*1/2=7/8这是一个几何概型，所以P(A)=(7/8)/1=7/8⑵用随机模拟的方法设X、Y为[0，1]上的均匀随机数，6.5＋X表示送报人到达你家的时间，7＋Y表示父亲离开家的时间，若父亲在离开家之前能得到报纸，则X、Y应满足：7＋Y6.5＋X，即YX－0.5.思考：你能设计一种随机模拟的方法，近似计算上面事件A发生的概率吗？利用计算机做50次模拟试验，计算事件A发生的频率，从而估计事件A发生的概率.（1）在A1～A50，B1～B50产生两组[0，1]上的均匀随机数；（2）选定D1格，键入“=A1-B1”，按Enter键.再选定Dl格，拖动至D50，则在D1～D50的数为Y-X的值；（3）选定E1格，键入“=FREQUENCY（D1：D50，-0.5）”，统计D列中小于-0.5的数的频数；例2：在下图的正方形中随机撒一把豆子，如何用随机模拟的方法估计圆周率的值.（1）圆面积︰正方形面积≈落在圆中的豆子数︰落在正方形中的豆子数.（2）设正方形的边长为2，则圆面积︰正方形面积=/（2×2）=/4.（3）由于落在每个区域的豆子数是可以数出来的，所以≈落在圆中的豆子数︰落在正方形中的豆子数×4.这样就得到了的近似值.另外，我们可以用计算器或计算机模拟上述过程，步骤如下：⑴产生两组0-1之间的均匀随机数，a1=RAND，b1=RAND；⑵经平移和伸缩变换，a=2（a1﹣0.5），b=2（b1﹣0.5）；⑶数出落在圆内x2+y2＜1的点（a，b）的个数N1，计算=4N1/N（N代表落在正方形中的点（a,b）的个数).可以发现，随着试验次数的增加，得到的的近似值的精度会越来越高.本例启发我们，利用几何概型，并通过随机模拟方法可以近似计算不规则图形的面积.例3：利用随机模拟方法计算由y=1和y=x2所围成的图形的面积.xy01-11以直线x=1，x=-1，y=0，y=1为边界作矩形，用随机模拟方法可以得到它的面积的近似值.解：⑴产生两组0-1区间的均匀随机数，a1=RAND，b=RAND；⑵进行平移和伸缩变换，a=2（a1﹣0.5)；⑶数出落在阴影内的样本点数N1，用几何概型公式计算阴影部分的面积.1.利用计算机和线性变换Y=X*(b-a)＋a，可以产生任意区间[a，b]上的均匀随机数.2.利用几何概型的概率公式，结合随机模拟试验，可以解决求概率、面积、参数值等一系列问题，体现了数学知识的应用价值.小结3.均匀随机数在日常生活中，有着广泛的应用，我们可以利用计算器或计算机来产生均匀随机数，从而来模拟随机试验，其具体方法是：建立一个概率模型，它与某些我们感兴趣的量（如概率值、常数）有关，然后设计适当的试验，并通过这个试验的结果来确定这些量.