含参数导数问题分类讨论(学生)

含参数导数的解题策略导数是研究函数性质的一种重要工具，利用导数可判断函数单调性、极值、最值等，其中渗透并充分利用着构造函数、分类讨论、转化与化归、数形结合等重要思想方法，导数常作为高考的压轴题，对考生的能力要求非常高，它不仅要求考生牢固掌握基础知识、基本技能，还要求考生具有较强的分析能力和计算能力。而含参数的导数问题是近年来高考的难点和热点，本文着重就含参数导数的几种常见的解题策略加以归纳．一、分离参数，转化为最值策略在给出的不等式中，如果能通过恒等变形分离出参数，即：若afx恒成立，只须求出maxfx，则maxafx；若afx恒成立，只须求出minfx，则minafx，转化为函数求最值．例1、已知函数xxxfln)(.（Ⅰ）求)(xf的最小值；（Ⅱ）若对所有1x都有,1)(axxf求实数a的取值范围.二、导数为0的点是否在定义域内，分类讨论策略求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式），但不知导函数为零的实根是否落在定义域内，所以必须分类，通过令导函数为零的实根等于定义域端点值，求分点，从而引起讨论．例2.已知a是实数，函数))(2axxxf（.（Ⅰ）若3)1(f,求a的值及曲线)(xfy在点))1(,1(f处的切线方程；（Ⅱ）求)(xf在区间[0，2]上的最大值．三、导函数为0是否存在，分类讨论策略求导后，考虑导函数为零是否有实根（或导函数的分子能否分解因式），涉及到二次方程问题时，△与0的关系不定，所以必须分类，通过导函数是二次函数或者与二次函数有关，令△=0，求分点，从而引起讨论．例3、已知函数2()lnfxxxax，()aR，讨论()fx在定义域上的单调性．四、导函数为0的方程的根大小不确定，分类讨论策略求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式）,导函数为零的实根也落在定义域内，但这些实根的大小关系不确定，分不了区间．所以必须分类，通过令几个根相等求分点，从而引起讨论．例4、已知0m，讨论函数xemxmmxxf63)1(3)(2的单调性．练习求导后，考虑导函数为零是否有实根（或导函数的分子能否分解因式），从而引起讨论。一、求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式），但不知导函数为零的实根是否落在定义域内，从而引起讨论。二、求导后，导函数为零有实根（或导函数的分子能分解因式）,导函数为零的实根也落在定义域内，但不知这些实根的大小关系，从而引起讨论。三、1．08广东（理）设kR，函数1,11(),()(),1,1xxfxFxfxkxxRxx，试讨论函数()Fx的单调性。2．(08浙江理)已知a是实数，函数fxxxa（Ⅰ）求函数fx的单调区间；（Ⅱ）设ga为fx在区间0,2上的最小值。（i）写出ga的表达式；（ii）求a的取值范围，使得62ga。3（07天津理）已知函数22211axafxxRx，其中aR。（Ⅰ）当1a时，求曲线yfx在点2,2f处的切线方程；（Ⅱ）当0a时，求函数fx的单调区间与极值。4（07高考山东理改编）设函数2ln1fxxbx，其中0b，求函数fx的极值点。含参数导数的解题策略例1、解：（Ⅰ）略．（Ⅱ）∵对所有1x都有1)(axxf，∴对所有1x都有1lnaxxx，即.1lnxxa记),0(,1ln)(xxxxg只需.)(minxga令,011)('2xxxg解得.1x.100)(',10)('xxgxxg∴当1x时，)(xg取最小值.1)1(g∴.1a即a的取值范围是.1aa例2.解：（I）略．（II）令'()0fx，解得1220,3axx．当203a，即0a时，()fx在[0，2]上单调递增，从而max(2)84ffa．当223a时，即3a时，()fx在[0，2]上单调递减，从而max(0)0ff．当2023a，即03a，()fx在20,3a上单调递减，在2,23a上单调递增，从而max84,02.0,23.aafa综上所述，max84,2.0,2.aafa例3、解：由已知得22()21,(0)axxafxxxxx，（1）当180a，18a时，()0fx恒成立，()fx在(0,)上为增函数．（2）当180a，18a时，1)108a时，118118022aa，()fx在118118[,]22aa上为减函数，()fx在118118(0,],[,)22aa上为增函数，2）当0a时，11802a，故()fx在118[0,]2a上为减函数，()fx在[1182a，＋∞）上为增函数．综上，当18a时，()fx在(0,)上为增函数．当108a时，()fx在118118[,]22aa上为减函数，()fx在118118(0,],[,)22aa上为增函数，当0a时，()fx在（0，1182a]上为减函数，()fx在[1182a，＋∞）上为增函数．例4、解：xexmmxxf3)3()(2，设3)3()(2xmmxxg，令0)(xg，得mx31，12x．1)当30m时，21xx，在区间)3,(m，),1(上0)(xg，即0)(xf，所以)(xf在区间)3,(m，),1(上是减函数；在区间)13(，m，0)(xg，即0)(xf，所以)(xf在区间)13(，m上是增函数；2）当3m时，21xx,在区间)1,(，),1(上0)(xg，即0)(xf，又)(xf在1x处连续，所以)(xf在区间),(上是减函数；3）当3m时，21xx,在区间)1,(，)3(，m上0)(xg，即0)(xf，所以)(xf在区间)1,(，)3(，m上是减函数；在区间)31(m，上，0)(xg，即0)(xf，所以)(xf在区间)31(m，上是增函数．练习1．解：2211,11,1,11()(),'()1211,1,121kxxkxxxxFxfxkxFxkxxkxxxx。考虑导函数'()0Fx是否有实根，从而需要对参数k的取值进行讨论。（一）若1x，则2211'()1kxFxx。由于当0k时，'()0Fx无实根，而当0k时，'()0Fx有实根，因此，对参数k分0k和0k两种情况讨论。（1）当0k时，'()0Fx在(,1)上恒成立，所以函数()Fx在(,1)上为增函数；（2）当0k时，222111111'()11kxxkxkkFxxx。由'()0Fx，得12111,1xxkk，因为0k，所以121xx。由'()0Fx，得111xk；由'()0Fx，得11xk。因此，当0k时，函数()Fx在1(,1)k上为减函数，在1(1,1)k上为增函数。（二）若1x，则121'()21kxFxx。由于当0k时，'()0Fx无实根，而当0k时，'()0Fx有实根，因此，对参数k分0k和0k两种情况讨论。（1）当0k时，'()0Fx在1,上恒成立，所以函数()Fx在1,上为减函数；（2）当0k时，111212'()211kxkxkFxxx。由'()0Fx，得2114xk；由'()0Fx，得21114xk。因此，当0k时，函数()Fx在211,14k上为减函数，在211,4k上为增函数。综上所述：（1）当0k时，函数()Fx在1(,1)k上为减函数，在1(1,1)k上为增函数，在1,上为减函数。（2）当0k时，函数()Fx在(,1)上为增函数，在1,上为减函数。（3）当0k时，函数()Fx在(,1)上为增函数，在211,14k上为减函数，在211,4k上为增函数。2．解：（Ⅰ）函数的定义域为0,，'3330222axxaxafxxxxxx，由'()0fx得3ax。考虑3a是否落在导函数'()fx的定义域0,内，需对参数a的取值分0a及0a两种情况进行讨论。（1）当0a时，则'()0fx在0,上恒成立，所以fx的单调递增区间为0,。（2）当0a时，由'()0fx，得3ax；由'()0fx，得03ax。因此，当0a时，fx的单调递减区间为0,3a，fx的单调递增区间为,3a。（Ⅱ）（i）由第（Ⅰ）问的结论可知：（1）当0a时，fx在0,上单调递增，从而fx在0,2上单调递增，所以00gaf。（2）当0a时，fx在0,3a上单调递减，在,3a上单调递增，所以：①当0,23a，即06a时，fx在0,3a上单调递减，在,23a上单调递增，所以2333aaagaf932aa。②当2,3a，即6a时，fx在0,2上单调递减，所以222gafa。综上所述，0,02,063322,~6aaagaaaa（ii）令62ga。①若0a，无解；②若06a，由26233aa解得36a；③若6a，由6222a解得6232a。综上所述，a的取值范围为3232a。3、解：（Ⅰ）当1a时，曲线yfx在点2,2f处的切线方程为032256yx。（Ⅱ）由于0a，所以22'2222122122111axaxaxxaxaafxxx。由'0fx，得121,xxaa。这两个实根都在定义域R内，但不知它们之间的大小。因此，需对参数a的取值分0a和0a两种情况进行讨论。（1）当0a时，则12xx。易得fx在区间1,a，,a内为减函数，在区间1,aa为增函数。故函数fx在11xa处取得极小值21faa；函数fx在2xa处取得极大值1fa。（2）当0a时，则12xx。易得fx在区间),(a，),1(a内为增函数，在区间)1,(aa为减函数。故函数fx在11xa处取得极小值21faa；函数fx在2xa处取得极大值1fa。4、解：由题意可得fx的定义域为1,，2'22211bxxbfxxxx，'fx的分母1x在定义域1,上恒为正，方程2220xxb是否有实根，需要对参数b的取值进行讨论。（1）当480b，即12b时，方程2220xxb无实根或只有唯一根12x，所以2220gxxxb在1,上恒成立，则'0fx在1,上恒成立，所以函数fx在1,上单调递增，从而函数fx在1,上无极值点。（2）当480b，即12b时，方程2