computational electrodynamics The Finite Differenc

完全匹配层吸收边界条件StephenGedney7.1介绍无界空间中的电磁波相互作用问题的有效且准确的解决方案一直是FDTD（时域有限差分法）方法最大的挑战。对于这些问题，必须引入一种位于外层网格边界的吸收边界条件（ABC），以仿真至无限远的网格的存在。正如我们在第六章回顾过的，已经引入大量的分析技术手段来实现这一目标。一种实现ABC的代替方案是在吸收材料媒质中的空间网格的外层边界处终结。这与吸波暗室墙壁的物理方法类似。理想情况下，吸收媒质只有几个网格胞元的厚度，对传播的波在其全频谱无反射，高吸收，且在源或散射体近场处效率高。早期的一个实现这样的吸收材料边界条件的尝试是由一位荷兰人提出的，他利用了一种传统的有损耗无色散的吸收媒质。此方式的困难在于这样一种吸收层只能与垂直入射的平面波相匹配。因此，有损耗ABC的整个范畴在当时的应用仅仅被限定在电磁领域内。自1994年起，Berenger提出的一种其命名为完全匹配层（PML）的高效吸收材料的ABC在这个领域中掀起一股新的热潮。Berenger的PML的创新在于任意入射角度、极化和频率的的平面波都可以在边界处匹配。或许具有同等重要的意义的是PML也可以被用作为一种吸收边界来终结由不均匀、色散、各向异性以及甚至非线性媒质组成的作用域，这在之前仅由解析导出的ABC是不可能实现的。在他开创性的工作中，Berenger得到了一个新的分裂场形式的Maxwell方程组，在这个方程组中每个矢量场分量被分为两个正交分量。Maxwell的旋度方程也是通过适当地分离，得到一组十二元耦合的一阶偏微分方程组。之后，通过选择与非色散媒质相一致的损耗参数，便得到了一个完全匹配的平面。在连续空间中，PML吸收体和基本媒质是完全匹配的。然而，在离散FDTD网格中，电与磁的材料参数是由一种分段常数的方式来表示并且在空间上交错的。这导致了能够降低PML的理想表现的离散化误差。Berenger提出了一种PML参数的空间尺度来减少与材料交界面有关的离散化误差。他也提出了减少对于二阶FDTD算法的离散化误差以及减小PML需要厚度的方法。随着Berenger取得创造性的进展，许多论文证实了他的研究，并应用了使用PML媒质的FDTD方法。为了强化PML的表现，人们也对其进行了一些修改。原始的分离场PML概念也以一种延伸坐标的形式进行了重申。这种形式拓展了PML对于通过度量的坐标映射的其他正交坐标系统的应用。分离场PML也能够直接用于FDTD离散化，这需要使用一种叫做卷积完全匹配层（CPML）的极为有效的算法，这种算法是由Roden和Gedney提出的。CPML适应了更普遍的能够使对缓慢变化的衰逝波的吸收提高的度量张量系数。也有观点将分离场PML作为一种同时具有电、磁介电常数张量的单轴各向异性媒质。将损耗引入张量，得到了一种完全匹配的吸收媒质。单轴完全匹配层（UPML）最早是由Gedney在FDTD方法中应用的。UPML吸引人的地方在于它是以Maxwell方程而非数学模型为基础的。事实上，实现物理上的UPML媒质的尝试已经有人提出过了。这一章将会回顾Berenger的分离场PML、它的延伸坐标形式、UPML以及CPML。本书将着重讲解这些方法间的关系。针对对笛卡尔坐标中的FDTD空间网格的UPML和CPML，本书会进行有效的补充。附加的内容包括了多种PML的多离散化误差和本构参数与空间分段函数的最优选择。我们发现PML在含有通常情况会从空间网格终止的一些均匀、导电以及色散媒质区域的FDTD模型中是可以应用的。7.2平面波垂直射入部分有损耗空间为了建立一个我们讨论PML吸收体的基础，这部分回顾了一个正弦平面波以相对x轴任意角度射入一个常规的有损耗材料的物理过程。特别地，我们考虑一极化zTE波由无损耗材料区域1射入有损耗材料区域2，区域1为0x，区域2（0x）材料的电导率与磁损耗参量分别为、*。故，入射波磁场为yjxjincyxeHzH110ˆ(7.1)这里的上圆弧表示矢量。则，区域1内的总场可以表示为，yjxjxjyxxeeHzH111)1(ˆ201(7.2a)yjxjxjxxjyyxxxeHeyexE111102112111)]1(ˆ)1(ˆ[(7.2b)透射入区域2内的场分量可以表示为(7.3a)(7.3b)、分别为磁场的反射、透射系数，(7.4a)(7.4b)其中中，i=1,2。为了加强外围场区在区域1与区域2于交界x=0处的连续性，使，以及(7.5a,b)总之，对应任意入射角度。然而，对于垂直入射=0的特殊情形有，(7.6)其中区域1与区域2的波阻抗可表示为(7.7a,b)然后我们令，更进一步加强条件(7.8)故有，。由此可得，即一种垂直入射时区域1与区域2的无反射交界的情形。由(7.4b)，我们也可以找到对应这种情形，(7.9)得到下面区域2中的透射场量：(7.10a,b)我们发现，对于垂直入射的情形，在区域2中的透射波沿着垂直方向呈指数式衰减。进而，尽管在有损耗媒质中传输，但这种波是无色散的。也就是说，其波速是由频率决定的。因此，材料性的半空间区域2，其电、磁损耗由(7.8)定义，对于垂直入射的情形是与区域1完全匹配的。7.3平面波入射BerengerPML媒质情形在7.错误!未找到引用源。节已经讨论了有损耗媒质用于终止FDTD空间网格的外层边界吸收层取得的进展有限。主要的困难在于这种媒质只能在波垂直入射的情形下才能与网格内部匹配。因此，倾斜入射的波会有一部分反射回计算区域而破会算法。结果导致这种吸收体在大多数的实际问题中并不是很有效。Berenger提出一个有启发作用的理念，可以假设一个非物质的吸收体，由于一种新颖的场分离策略，应用附加的自由程度使而这个吸收体的匹配时与频率无关，且与波的入射角度无关。结果，这种方法使得他命名的“完全匹配层”得到建立，而这种PML是与可吸收各种入射波的FDTD的空间网格毗邻的。Berenger提出的局部反射系数用于他的PML1/3000，即MurABC，讨论在第六章。由于自外层边界反射的网格的总体噪声功率减少了至少70dB。这部分我们回顾了应用于平面波入射一个由这种媒质组成的半空间的Berenger的PML方法的理论基础。7.3.1二维zTE情形Maxwell方程组的场分离修改还是考虑一个zTE入射区域2平面的材料的半空间交界处x=0.在区域2中，Berenger修改的Maxwell旋度方程组的时域形式如下(7.11a)(7.11b)(7.11c)(7.11d)其中，假设zH被分为两部分(7.12)进而，参量，表示电导率，而，表示磁损耗。我们发现Berenger的方程形式代表了一个垂直模型物理媒质的通用概括。如果且，(7.错误!未找到引用源。a-d)折合到无损耗媒质中的Maxwell方程组。如果且，(7.错误!未找到引用源。a-d)描述了一种电子可导的媒质。如果而(7.错误!未找到引用源。)可以被满足，则(7.错误!未找到引用源。a-d)形容了一种对于垂直入射平面波与区域1中x0半空间阻抗匹配的吸收媒质，正如7.错误!未找到引用源。节部分所讨论的。然而其他可能情况会自己出现。如果，而媒质能够吸收一有着场分量、沿x轴传播的平面波，却不能够吸收有着场分量、沿y轴传播的平面波，这是因为在前者中传播特性由(7.错误!未找到引用源。b,c)，而在后者中由(7.错误!未找到引用源。a,d)决定。对于和类型的波，相反的情况确实存在。这些由成对的参数组和影响的特殊的Berenger媒质的性质是与这种新奇的ABC的基本前提紧密相关的，这一点在后来被证实。也就是说，如果成对的电、磁损耗满足(7.错误!未找到引用源。)，那么在分别与x、y轴垂直的交界面处，Berenger媒质对与电磁波无反射。现在考虑(7.错误!未找到引用源。a-d)表达在Berenger媒质中的时谐形式。再次让帽子符号表示一个矢量，我们写成，(7.13a)(7.13b)(7.13c)(7.13d)引入变量简化形式(7.14a,b)即，(7.错误!未找到引用源。a,b)可被写成(7.15a,b)Berenger媒质中的平面波解法下一步将要导出Berenger媒质中的平面波解法。为了实现这一目的，我们将会加以区分，(7.错误!未找到引用源。a)针对y，(7.错误!未找到引用源。b)针对x。代替(7.错误!未找到引用源。c,d)表达式和将得到(7.16a)(7.16b)将它们相加并使用公式(7.错误!未找到引用源。)，我们便得到了典型的波的等式(7.17)该波等式满足解(7.18)其色散关系为(7.19)即，由(7.错误!未找到引用源。a,b)和(7.错误!未找到引用源。)，我们有(7.20a)(7.20b)尽管场是分离的，外围的电(E)、磁(H)场在跨越x=0交界处由(7.错误!未找到引用源。)，(7.错误!未找到引用源。)，和(7.错误!未找到引用源。)的连续性必须得到保护。为了加强这种连续性，我们有，或者与之等价的，。这证明了相位匹配的条件为。进一步地，我们得到H场反射与透射系数(7.21a,b)无反射匹配条件现在，假设且。这与且（例，，在两个互相成对的例子中满足(7.错误!未找到引用源。)）。由(7.错误!未找到引用源。)，得出。代入(7.错误!未找到引用源。)即给出了对于任意入射角度的无反射条件在这种情况下，(7.错误!未找到引用源。)以及(7.错误!未找到引用源。)明确了以下在Berenger媒质x0中的透射场量(7.22a)(7.22b)(7.22c)在完全匹配的Berenger媒质中，投射波以与入射波相同的速度与方向传播，同时经历沿垂直于区域1与区域2交界面的x轴的指数衰减。衰减因子与频率无关。与7.2节中考虑过的传统的有损耗材料不同，这些可取的特性可以应用于任意入射角的情形。因此，Berenger创造的术语“完全匹配层”具有重大意义。应用BerenerPMLABC的FDTD网格结构前面的分析可以重复用于垂直于y轴方向的PML。这也就准许了Berenger提出二维的模式TDTD网格，如图7.1所示，其中应用了PML大大减少了外围边界的反射。这里，一个自由空间的计算区域所有的边界都被PML所包围，再之后是PEC墙。图7.1一种应用BerengerPLABC的二维模式FDTD网格。见后：Berenger,J.ComputationalPhysics,1994,pp.185-200.根据图7.1，在网格的左右两边(x1、x2)，据(7.8)，每个PML都具有匹配的、，以及以允许跨越真空PML交界面的无反射的传播。同样据(7.8)，在网格底部与顶部(y1、y2)，每个PML也都具有着有匹配的、，以及。在网格的四个角落，这些地方具有两个PML的重叠区域，所有的四种损耗(和)都表示了出来并且设置与相邻的PML的损耗相等。数值色散的影响在这一点的一个合理的问题为，是否数值的相速色散限制了BerengerPML的最大效用，正如其在第六章中对解析的ABC的限制一样。基于当时的关于PML的经验，答案是经过测量的PML的反射系数是要比随着入射波角度与频率变化的经测量的数值相速低几个数量级的。因此，PML的引人关注的作用是，在FDTD空间网格中，它是与数值色散的产物鲁棒相关的。7.3.2二维情形对于7.3.1部分的分析，针对极化的入射波的部分能够重复利用，其中我们实现了场的分离，。与(7.11)相类似，对于情形，PML修改的Maxwell方程如下：(7.23a)(7.23b)(7.23c)(7.23d)与情形相类似，情形下由PML的特性推导出的结果有轻微的让步就会改变。在多数等式中，发生的变化只是带有的的序列，以及带有的的序列。然而，PML的匹配条件是不变的。这就保证了，在与外层网格的边界相邻的位置，我们可以构建处一种可吸收的无反射层，正如情形中一样。7.3.3三维情形与(7.11a-d)和(7.23a-d)的二维情形相似，对应于Berenge