关于质点在有心力场中

关于质点在有心力场中运动问题的讨论作者：王华引子•质点在有心力场中运动，其角动量守恒，机械能也守恒。有了这“两大法宝”，解决该类问题就容易多了，下面以一具体的例子来讨论该类问题。题目•如力图4－7－1，飞船总质量为m,内装质量为m0的探测器，绕地球沿椭圆轨道运行，近地点与地心距离为r1,速度为v1=r2r1v1v2力图4－7－121aGMr（1）试证明½a1（2）如力图4－7－2，飞船在近地点向前发射探测器，并使探测器沿抛物线轨道运动，发射后，飞船沿圆轨道运行，试求：质量比m0/m及发射探测器的相对速度u。v1mu+v1’v1’m0m-m0力图4－7－2发射前发射后（3）如力图4－7－3，若在远地点以上述相对速度u发射探测器，试求探测器运行的轨道。mv2v2’m-m0u+v2’m0力图4－7－3发射前发射后分析•1.飞船绕椭圆轨道运行时，角动量守恒，机械能守恒，它们确定了飞船的运动特征，限制了a的取值。•2.发射探测器前后，飞船（包括探测器）动量守恒。发射后，探测器沿抛物线运动，其机械能应为零，飞船（不包括探测器）作圆轨道运动所需向心力来自地球引力。•3.发射探测器前后，飞船（包括探测器）动量守恒，探测器轨道的特征由其机械能E确定，E0为椭圆或圆轨道，E=0为抛物线，E0为双曲线。解答•1.直接求a显然很困难,但由于飞船轨道受约束的特性,可解出远近地点与地心的距离r2与r1的约束关系,根据它们的关系解出a的取值范围。飞船绕地球作椭圆轨道运动,设在远地点r2处的速度为v2:由角动量守恒mr1v1=mr2v2即mr1=mr2v2(1)由飞船地球系统的机械能守恒½m(2aGM/r1)-GMm/r1=½mv22-GMm/r2(2)21aGMr由(1)(2)解得:(r1/r2)2-(r1/r2)/a+1/a-1=0解出两个根｛其中r1/r2=1为圆轨道,不合题意,舍去.应取r1/r2=(1-a)/a由于0r1/r21故有½a1r1/r2=1r1/r2=(1-a)/a•2．飞船发射探测器前速度为v1,设发射后飞船速度为v1’,设探测器相对飞船得速度为u,由动量守恒，mv1=(m-m0)v1’+m0(u+v1’)(1)发射后，探测器沿抛物线运动，总机械能为0。即E=1/2*m0(u+v1’)2-GMm0/r1=0(2)发射探测器后，飞船作圆运动，故GM(m-m0)/r12=(m-m0)v1’2/r1式中M为地球质量，即v1’==v1/(3)/1GMr2a•由（1）式mv1=mv1’+m0u即u=m/m0(v1-v1’)(4)由(2)(3)式，得：(u+v1’)2-2v1’2=0即u2+2uv1’-v1’2=0把（4）式代入上式，得出m/m0满足得方程为(m/m0)2(v1-v1’)2+2(m/m0)(v1-v1’)v1’-v1’2=0舍去负根后，解出：m/m0=(-1)v1’/(v1-v1’)2•将（3）式代入，得m/m0=(-1)/(-1)所以质量比为m0/m=(-1)/(-1)(5)代入（4）式，得出探测器得相对速度为22a2a2(21)/(21)(11/2)(21)/21uavvaav=---=-•3.飞船及探测器在发射探测器前在远地点得速度为v2,在近地点得速度为前述v1,作椭圆轨道运动，由角动量守恒，mr1v1=mr2v2即v2=(r1/r2)v1设飞船在远地点以上述相对速度u发射探测器后，飞船得速度变为v2’,则探测器得速度应该为v2’+u,由动量守恒得：mv2=(m-m0)v2’+m0(v2’+u)即mv2=(m-m0)(u+v2’)-(m-m0)u+m0(u+v2’)•故发射后探测器的速度为u+v2’=[mv2+(m-m0)u]/m=v2+(1-m0/m)u(6)式中的相对速度u前已求出，利用已知的关系v1=(r2/r1)v2r1/r2=(1-a)/a可将u用v2表示，得：21221221122rauvvraaa--==-•代入（6）式，并注意到m0/m已由（5）式给出，有21212'2(1)212121221aauvvvaaaava--+=+----+=-•因故式中121122121222122122raGMrrGMvvarrrrraGMGMaaarr===-==-12222'221aaGMbGMvurra-++==-2(12)1aaba-+=-•令探测器轨道得类型可根据其总能量E来判断E=1/2mv2-GMm/r其中v探测器速度可写成2(12)(1)yaaa=-+--222(1)EGMGMvmrrGMmEbr=+==-•对于椭圆轨道，E0,b1；对于抛物线轨道E=0,故b=1;对于双曲线轨道，E0,b1.因此探测器轨道得类型可由b的值来判断。由前1/2a1,可用对y的定义判别当y0,b1,为椭圆轨道y=0,b=1,为抛物线轨道y0,b1,为双曲线轨道•把（7）展开并化简因前已得出1/2a1,故y0探测器将沿椭圆轨道运动2(1)(21)yaaa=--小结•通过对上题的具体的讨论，我们对质点在有心力场中的运动有了比较清晰的认识，当然设计到天体问题，通常运算量比较大，需要我们有足够多的细心和耐心，才能把这类问题解答好。