大一专科 高数复习

高数总复习复习课高数总复习一、相关概念数列极限limnnnxAxAn或（）函数极限lim()xfxAlim()xfxAlim()xfxA0lim()xxfxA0lim()xxfxA0lim()xxfxA左极限右极限1、极限的定义(1)函数在点的某一邻域内有定义;)(xfy0x(3)其极限值等于点的函数值,即0x)()(lim00xfxfxx(2)函数的极限存在,即存在;)(lim0xfxx)(xfy定义称函数在点处是连续的，如果满足:)(xfy0x如果上述条件中至少有一个不满足，则点0x就是函数()fx的间断点．2、连续与间断高数总复习)(lim0xfxx)(lim0xfxx0x)(xf(1)当与均存在，但不相等时，称为的跳跃间断点；)(lim0xfxx0x)(xf，则称为(3)当的无穷间断点.(间断点的分类))(lim0xfxx)(xf0x0x)(xf(2)当存在，但不等于在处的函数值时，的可去间断点．为高数总复习xxfxxfyx)()(lim0即3、导数的定义0000()()()limxxfxfxfxxx0000()()()limxxfxfxfxxx函数ƒ(x)在点x0处的可导的充要条件是00()()（存在且相等）fxfx高数总复习无穷小量无穷大量极限为零的变量定义：主要性质：有界量与无穷小量的乘积还是无穷小量.无穷小量的阶——等价无穷小量绝对值可以无限增大的变量定义：主要性质：有界量与无穷大量的和还是无穷大量.倒数关系极限的计算类型高数总复习极限的计算类型类型一：有界量与无穷小量的乘积还是无穷小量.类型二：利用无穷小量与无穷大量的倒数关系计算类型三：用极限的四则运算求极限000()()lim()()xxPxQxPxQx(),()()0PQaxQx为多项式函数，10110101100limmmmnnxnnmaxaxaxaabxbxbxbnnmmmnb高数总复习如果所求极限呈现00,等形式不能直接用极限法则,必须先对原式进行恒等变形(约分,通分,有理化，变量代换等)，然后再求极限．高数总复习类型四：利用重要极限重要极限之一：1.1sinlim0xxx0tanlim1xxx()0sinli)m)1((xxx()0ta()()li1nmxxx或当是无穷小量时，有如下公式：()x重要极限之二：2.exxx11lim或exxx101lim高数总复习常见等价无穷小量归纳如下：(1cos)x212x~0x当时，ln(1)x~0xsinx~~~~xarcsinxarctanxtanx~(1)xe类型五：利用等价无穷小量代换求极限高数总复习类型六：利用洛必达法则洛必达法则型00,1,0型型0型00型gfgf1fgfggf1111取对数令gfy高数总复习求下列极限：221321lim1xxxx（1）（2）332lim2xxex（3）sinlim2xxxx0sinlim2xxxx（4）（5）22321lim1xxxx0sinlim2xxxx（6）（7）033coslim2sinxxexx000sinlimxxxtdttdt（8）高数总复习导数的计算类型复合函数的求导的链式法则基本初等函数的导数公式导数的四则运算对数求导法隐函数的求导法dxxfdy)(微分运算高数总复习中值定理与导数的应用内容提要：1微分中值定理。2中值定理的应用：洛必达法则3导数的应用：函数的单调性、极值、最值、曲线的凹凸性及拐点、曲线的渐近线，函数的作图高数总复习'()0()fxfx若单增'()0()fxfx若单减'()0()fxfxc若定理：在上连续，在上可导，则()yfx[,]ab,ab（）函数单调性判定定理高数总复习二、函数的极值及其判定1、函数的极值定义2、函数的可导极值点的费马引理---可导极值点的导数为零3、驻点---导数为零的点。高数总复习定理1（极值判别法Ⅰ）设函数在点的某邻域内连续且可导（或不存在），若当由小变大经过点时，)(xfy0x0)(0xf)(0xf0xx（1）由正变负，则是函数的极大值点；（2）由负变正，则是函数的极小值点；（3）不变号，则不是函数的极值点．)(xf)(xf0x0x0x)(xf高数总复习1(,)ax1x12(,)xx(,)nxb'yy极大极小'()0fx'()fx12nxxx和2)求不存在的点3)()yfx的极值的步骤:4求4)求出各极值点的函数值，即函数的极值1)求出定义区间高数总复习定理2（极值判别法Ⅱ）设函数在点处有二阶导数，且，如果)(xfy0x0()0fx)(xf0x0)(0xf（1）,则函数在点处取得极大值；0x0)(0xf)(xf（2）,则函数在点处取得极小值；0)(0xf（3）,则用该定理不能判断．高数总复习定理设函数在区间内存在二阶导数，若（1）在内，恒有，则曲线在内是凹的;（2）在内，恒有，则曲线在内是凸的.),(ba),(ba),(ba0)(xf0)(xf)(xfy)(xfy)(xfy),(ba),(ba曲线凹凸性的判定高数总复习曲线的拐点一一曲线上凹与凸的分界点拐点定义及判定判定:若曲线但)(xf在两侧异号,0x则点))(,(00xfx是曲线的一个拐点.求凹凸区间与拐点的步骤:()0fx1）求出的点和()fx不存在的点12,,,nxxx每个区间上判断的符号从而判断凹凸性.拐点.2）以为分界点把定义域划分成几个区间,12,,,nxxx()fx