圆锥曲线

1第一讲：椭圆的定义与标准方程1.平面内一动点M到两定点F1,F2距离之和为常数2a,则点M的轨迹为(D)(A)椭圆(B)圆(C)无轨迹(D)椭圆或线段或无轨迹解析:当2a|F1F2|时,轨迹为椭圆;当2a=|F1F2|时,轨迹为线段;当2a|F1F2|时,轨迹不存在.故选D.2.设P是椭圆+=1上的任意一点,若F1,F2是椭圆的两个焦点,则|PF1|+|PF2|等于(A)(A)10(B)8(C)5(D)4解析:因为椭圆中a2=25,所以2a=10.由椭圆的定义知|PF1|+|PF2|=2a=10.故选A.3.已知椭圆+=1过点(-2,√),则其焦距为(D)(A)8(B)12(C)2√(D)4√解析:把点(-2,√)代入+=1,得b2=4,所以c2=a2-b2=12.所以c=2√,所以2c=4√.故选D.4.方程√-+√=10化简的结果是(B)(A)+=1(B)+=1(C)+=1(D)+=12解析:由方程形式知是到(2,0)和(-2,0)两定点距离和为10的点的轨迹方程.c=2,2a=10,所以a=5.所以b2=a2-c2=21.所以所求方程为+=1.故选B.5.(2018·衡阳周测)若△ABC的两个顶点坐标为A(-4,0),B(4,0),△ABC的周长为18,则顶点C的轨迹方程为(D)(A)+=1(B)+=1(y≠0)(C)+=1(y≠0)(D)+=1(y≠0)解析:因为|AB|=8,△ABC的周长为18,所以|AC|+|BC|=10|AB|,故点C轨迹为椭圆且两焦点为A,B,又因为C点的纵坐标不能为零,故D正确.故选D.6.(2018·大连双基检测)F1,F2是椭圆+=1的两个焦点,A为椭圆上一点,且∠AF1F2=45°,则△AF1F2的面积为(C)(A)7(B)(C)(D)√解析:由已知得a=3,c=√.设|AF1|=m,则|AF2|=6-m,所以(6-m)2=m2+(2√)2-2m·2√cos45°,解得m=.所以=××2√sin45°=.3故选C.7.以椭圆9x2+5y2=45的焦点为焦点,且经过点M(2,√)的椭圆的标准方程为.解析:9x2+5y2=45化为标准方程形式为+=1,焦点为(0,±2),所以c=2,设所求方程为+-=1,代入(2,√),解得a2=12.所以方程为+=1.答案:+=18.(2018·许昌高二月考)若方程x2+ky2=2表示焦点在y轴上的椭圆,则k的取值范围是.解析:将原方程整理,得+=1.根据题意得{解得0k1.答案:(0,1)第二讲：椭圆的几何性质1.椭圆6x2+y2=6的长轴的端点坐标是(D)(A)(-1,0),(1,0)(B)(-6,0),(6,0)(C)(-√,0),(√,0)(D)(0,-√),(0,√)解析:因为椭圆的焦点在y轴上,且a2=6,所以长轴的两个端点坐标为(0,-√),(0,√).故选D.2.椭圆+=1和+=k(k0)具有(D)4(A)相同的长轴(B)相同的焦点(C)相同的顶点(D)相同的离心率解析:椭圆+=1和+=k(k0)中,不妨设ab,椭圆+=1的离心率e1=√-,椭圆+=1(k0)的离心率e2=√√-√=√-.故选D.3.已知椭圆的长轴长是8,离心率是,则此椭圆的标准方程是(B)(A)+=1(B)+=1或+=1(C)+=1(D)+=1或+=1解析:因为a=4,e=,所以c=3.所以b2=a2-c2=16-9=7.所以椭圆的标准方程是+=1或+=1.故选B.4.已知椭圆的方程为2x2+3y2=m(m0),则此椭圆的离心率为(B)(A)(B)√(C)√(D)解析:因为2x2+3y2=m(m0)⇒+=1,所以c2=-=.所以e2=.故选B.55.(2018·衡水周测)若AB为过椭圆+=1中心的线段,F1为椭圆的焦点,则△F1AB面积的最大值为(B)(A)6(B)12(C)24(D)48解析:如图,=+=2.又因为OF1=c=3为定值,所以点A与(0,4)重合时,OF1边上的高最大,此时△AOF1的面积最大为×4×3=6.所以的最大值为12.故选B.6.(2018·昆明质检)椭圆+=1上的点到直线x+2y-√=0的最大距离是(D)(A)3(B)√(C)2√(D)√解析:设与直线x+2y-√=0平行的直线为x+2y+m=0与椭圆联立得,(-2y-m)2+4y2-16=0,即4y2+4my+4y2-16+m2=0得2y2+my-4+=0.Δ=m2-8（-4）=0,即-m2+32=0,所以m=±4√.6所以两直线间距离最大是当m=4√时,dmax=√√√=√.故选D.7.(2016·上饶高二期中)已知椭圆C:+=1(ab0),直线l为圆O:x2+y2=b2的一条切线,若直线l的倾斜角为,且恰好经过椭圆的右顶点,则椭圆离心率为.解析:直线l的倾斜角为,且过椭圆的右顶点(a,0),则直线l:y=tan(x-a),即y=√(x-a),直线l为圆O:x2+y2=b2的一条切线,则√√=b,即b=√a,c=√-=√-=a,则e==.答案:8.(2018·许昌高二月考)若F1,F2是椭圆C:+=1的焦点,则在C上满足PF1⊥PF2的点P的个数为.解析:因为椭圆C:+=1,所以c=2.所以F1(-2,0),F2(2,0),其短轴的端点为B(0,2),A(0,-2),所以∠F1BF2=∠F1AF2=90°.又短轴端点与F1,F2连线所成的角是椭圆上动点P与F1,F2连线所成角中的最大角,所以在C上满足PF1⊥PF2的点有2个.7答案:2第三讲：直线与椭圆的位置关系1.直线y=kx-k+1与椭圆+=1的位置关系为(A)(A)相交(B)相切(C)相离(D)不确定解析:直线y=kx-k+1=k(x-1)+1恒过定点(1,1),又点(1,1)在椭圆内部,故直线与椭圆相交.故选A.2.若直线kx-y+3=0与椭圆+=1有两个公共点,则实数k的取值范围是(C)(A)(-√,√)(B)(√)∪(-√)(C)(-∞,-√)∪(√,+∞)(D)(-∞,-√)∪(-√,√)解析:由{可得(4k2+1)x2+24kx+20=0,当Δ=16(16k2-5)0,即k√或k-√时,直线与椭圆有两个公共点.故选C.3.(2017·哈师大附中高三月考)已知点M(√,0),椭圆+y2=1与直线y=k(x+√)交于A,B,则△ABM的周长为(B)(A)4(B)8(C)12(D)16解析:因为椭圆的焦点为(±√,0),M为右焦点,直线过左焦点,所以△ABM的周长为4a=4×2=8.故选B.4.(2018·杭州调研)已知椭圆+=1的上焦点为F,直线x+y-1=0和x+y+1=0与椭圆分别相交于点A,B和C,D,则|AF|+|BF|+|CF|+|DF|等于(D)8(A)2√(B)4√(C)4(D)8解析:如图,设F1为椭圆的下焦点,两条平行直线分别经过椭圆的两个焦点,连接AF1,BF1.由椭圆的对称性可知,四边形AFDF1为平行四边形,所以|AF1|=|FD|,同理|BF1|=|CF|,所以|AF|+|BF|+|CF|+|DF|=|AF|+|BF|+|BF1|+|AF1|=4a=8.故选D.5.(2018·扬州高二检测)过椭圆+=1的右焦点F作一条斜率为2的直线与椭圆交于A,B两点,O为坐标原点,则△OAB的面积为.解析:由已知可得直线方程为y=2x-2,联立方程{-得交点坐标,不妨令A(0,-2),B(,),所以S△OAB=·|OF|·|yA-yB|=.答案:6.(2017·潜江高二期中)椭圆4x2+9y2=144内有一点P(3,2),过点P的弦恰好以P为中点,那么这弦所在直线的方程为.解析:设以P(3,2)为中点的椭圆的弦与椭圆交于E(x1,y1),F(x2,y2),因为P(3,2)为EF中点,所以x1+x2=6,y1+y2=4,9把E(x1,y1),F(x2,y2)分别代入椭圆4x2+9y2=144,得{所以4(x1+x2)(x1-x2)+9(y1+y2)(y1-y2)=0,所以24(x1-x2)+36(y1-y2)=0,所以k=--=-,所以以P(3,2)为中点的椭圆的弦所在的直线方程为y-2=-(x-3),整理,得2x+3y-12=0.答案:2x+3y-12=07.已知椭圆C的对称轴为坐标轴,一个焦点为F(0,-√),点M(1,√)在椭圆C上.(1)求椭圆C的方程;(2)已知直线l:2x-y-2=0与椭圆C交于A,B两点,求|AB|.解:(1)因为椭圆C的对称轴为坐标轴,一个焦点为F(0,-√),所以c=√,因为点M(1,√)在椭圆C上,所以2a=√-√√+√-√-√=4,a=2,b2=a2-c2=2,所以椭圆C的方程为+=1.(2)联立直线l与椭圆C的方程{--解得{-{令A(0,-2),B(,),10则|AB|=√-=√.第四讲：双曲线的定义及标准方程1.已知M(-2,0),N(2,0),|PM|-|PN|=4,则动点P的轨迹是(C)(A)双曲线(B)双曲线左支(C)一条射线(D)双曲线右支解析:因为|PM|-|PN|=4=|MN|,所以动点P的轨迹是一条射线.故选C.2.双曲线-=1上的点到一个焦点的距离为12,则到另一个焦点的距离为(A)(A)22或2(B)7(C)22(D)2解析:因为a2=25,所以a=5.由双曲线定义可得||PF1|-|PF2||=10,由题意知|PF1|=12,所以|PF1|-|PF2|=±10,所以|PF2|=22或2.故选A.3.(2018·洛阳高二月考)已知方程--=1表示双曲线,则k的取值范围是(A)(A)(-1,1)(B)(0,+∞)(C)[0,+∞)(D)(-∞,-1)∪(1,+∞)解析:由题意得(1+k)(1-k)0,所以(k-1)(k+1)0,所以-1k1.故选A.114.设动点P到A(-5,0)的距离与它到B(5,0)距离的差等于6,则P点的轨迹方程是(D)(A)-=1(B)-=1(C)-=1(x≤-3)(D)-=1(x≥3)解析:由题意知,动点P的轨迹应为以A(-5,0),B(5,0)为焦点的双曲线的右支.由c=5,a=3,知b2=16,所以P点的轨迹方程为-=1(x≥3).故选D.5.(2018·大连双基检测)双曲线--=1的焦距是(C)(A)4(B)2√(C)8(D)与m有关解析:因为a2=m2+12,b2=4-m2,c2=a2+b2=16,所以c=4,所以焦距2c=8.故选C.6.(2017·龙泉驿区高二月考)一动圆P过定点M(-4,0),且与已知圆N:(x-4)2+y2=16相切,则动圆圆心P的轨迹方程是(C)(A)-=1(x≥2)(B)-=1(x≤2)(C)-=1(D)-=1解析:由题知||PN|-|PM||=4,2a=4,2c=8,所以b=2√,所以动圆圆心P的轨迹方程为-=1,故选C.7.已知F1,F2为双曲线C:x2-y2=1的左、右焦点,点P在C上,∠F1PF2=60°,则|PF1|·|PF2|等于.解析:在△PF1F2中,|F1F2|2=|PF1|2+|PF2|2-2|PF1|·|PF2|·cos60°=(|PF1|-|PF2|)2+|PF1|·|PF2|,即(2√)2=22+|PF1|·|PF2|,解得|PF1|·|PF2|=4.12答案:48.已知椭圆x2+2y2=32的左、右两个焦点分别为F1,F2,动点P满足|PF1|-|PF2|=4.求动点P的轨迹E的方程.解:由椭圆的方程可化为+=1得|F1F2|=2c=2√-=8,|PF1|-|PF2|=48.所以动点P的轨迹E是以F1(-4,0),F2(4,0)为焦点,2a=4,a=2的双曲线的右支,由a=2,c=4得b2=c2-a2=16-4=12,故轨迹E的方程为-=1(x≥2).第五讲：双曲线几何性质1.双曲线2x2-y2=8的实轴长是(C)(A)2(B)2√(C)4(D)4√解析:双曲线2x2-y2=8化为标准形式为-=1,所以a=2,所以实轴长为2a=4.故选C.2.双曲线-=1(a0,b0)的两条渐近线互相垂直,那么该双曲线