专题1 第06课时 函数的最值

专题一函数、导数与不等式223[2]6.1fxxxaaa已知函数在区间，上的最大值为，求实数的值例从二次函数图象的对称轴与区间的位置关系入手解切入点：决问题．考点1闭区间上二次函数的最值求法max22max1.1[2](2)6(2)2(2)3=6+23=013()(2)1012(2)61123xaaafxfaaaaaaaaaaafxfaaa函数的对称轴方程为分四种情况讨论：若，则函数在区间，上递增，所以，即，即，解得或舍去；当，即时，，解得或，不解析合题意；2max2max(2)12102=623=013()21341[2]=623=0113aaaafxfaaaaaaafxaafxfaaaaaaa若，即-时，，即，解得或舍去；若，即时，函数在区间，上为递减函数，所以，即，解得或，不合题意．综上所当或述，[2]61.fxaa，函数在区间，上取到最大值时1．闭区间上的二次函数的最值的求法一般有三种情形：(1)已知函数的对称轴，已知区间，亦即不含参数，则配方观察或联系函数的图象可以解决；(2)已知函数的对称轴，区间含参数，如本题，需讨论对称轴与区间的位置关系；(3)函数的对称轴方程中含有参数，已知区间，也需要讨论对称轴与区间的位置关系．2．如果是选择、填空题，则解法可化简，直接由端点的函数值为最值或在对称轴上取到最值求出参数，再检验即可．243()12121fxxaxaxbxfxfx已知函数的图象关于直线对称变式．求的表达式；求的最大值与最小值．2415.111227.3(57)15,72111()24759.xaaabbafxxxxxff由题意知：，即又由，得所以．函数图象是开口向上的抛物线，其对称轴为，所以函数的最小值为，最大值为解析()1[1)12fxxxx已知函数，，．利用定义判断函数的单调性，并证明你的结论；求函数的最大值或例2原创题最小值．先利用定义判断函数的单调性，再代入切入点：求最值．考点2利用函数的单调性求函数的最值1212121212121212121212121212[1)()(1)11[1)0101[1)1111.22xxxxxxxxfxfxxxxxxxxxxxxxxxfxfxfxfxfxxxxfxf设，，，且，则，因为，，，且，所以，，所以，即．所以函数是增函数．因为函数，，是增函数，所以函数有最小值，其最小值解为析判断函数的单调性用导数法是比较好的，但定义法也不可忘记，应用定义法时，要记住解题格式和定义，注意变量的约束性和任意性．3,63,681263A15B13C8D16fxff已知奇函数在区间上是增函数，在区间上的最大值为，最小值为，则．．．变．式23,63,681683126326328115.fxfffxffff因为函数在区间上是增函数，在区间上的最大值为，最小值为，所以，，又是奇函数．所以解析A2ln1()12)1(fxxaxaxaafxfxR已知函数．当例3改时，求函数的最值；求函数的单编题调区间．先求导数，再利用导数方法判断函数的切入点：单调性．考点3导数法求函数最值22ln1()(1)1ln132()12211133(1)()2233()l41n2.2fxxaxaxaafxxxxxxfxxxxfxfxfR函数的定义域是，，当时，，则，所以在，为减函数，在，为增函数，所以函数的最小值为解析22()221122()2201021(1)(1)201222()22(1]0221axxafxxaxxaxxaafxxfxaaaxxaxfxx，若时，则，在，恒成立，所以的增区间为，．若＞，则，故当，，，22()22[)02120(1]22[)2axxaxfxxaafxfxa当，时，，所以＞时的减区间为，，的增区间为，．用导数作工具解决函数的单调性和最值问题比较有效的．本题是有关含参数的函数的单调性和最值问题，都是通性通法，并有一定的梯度，还需要分类讨论．由于一元二次函数和y=lnx的导数都不难，因此本解法选择了求导．21212143()22413pqpcqbbcbcfxxcfxxbfxfxfxfxxbcRR在上定义运算：、是常数，已知，，，若函数在处有极值，试确定变3、式的值．32322213411(1).313(1)01111321101fxxbxcxbcbbfccfbfxxxxcfxxxxfxxR依题意，解，得或若，，，解析在上单调递减，在处无极值；32211333323133031010113bfxxxxcfxxxxxxfxfxxfxfxxfxfxbfxxc若，，．当时，，函数是减函数．当时，，函数是增函数．当时，，函数是减函数．所以在处有极大值，所以为所求．900log9l()og34xyxyxyxy已知，，且，求的最小值及取得最小值时，例4改编题的值．xy利用对数方程，先去掉对数符号，将原式化为、的和与积的形式，再用基本不等切入点：式求解．考点4利用基本不等式求函数的最值930log9log99.199(1)9444141199411324(1)1325.11954112515.15425.2xyxyxyxxyxyyxxxxyxxxxxxxxxxxyxyxy因为，都大于，且，所以，即当且仅当，即时，等号解成立．此时即当，时，的最小值为析10“”“”“”yxxx形如的函数，由于其具有积为定值的特点，适合积定和最小的口诀，所以应用几率较高．另外，利用基本不等式求函数的最值必须注意正、定、等三要素．2200,2()xaxa若不等式在区间上恒成立，则实数的取值范围是_____变式4原创题____.(,22]2minmin200,220,22,0,2.2222=222=22.22xaxaxxgxxagxxxgxxxxxxxxgxa不等式在区间上恒成立，即在区间上恒成立．设则题设等价于，又因为，当且仅当，即时等号成立，即，所以解析243[0]yxxa例5求函数在，上的最小值．先求函数图象的对称轴，再分区间讨论，代切入点：入求值．考点5运用数形结合思想求函数的最值22224327[0]102[0]43.220,2[2]27.1243(02).7(2)yxxxxaaaxaaaaaxaaafaa，，．当时，函数在，上是减函数，故当时，函数有最小值当时，函数在上是减函数，在，上是增函数，故当时，函数有最小值由，知，函数的最小值为解析求一元二次函数在某一区间上的最大最小值问题，一要注意抛物线的开口方向；二要利用函数图象的对称轴与区间端点值的比较，然后代入求值．22525(4)yxxxx函数+的最小值为________变式5原创题____.352222222(1)(02)1(||13||(1)(12)5.22)(01),0(1,2)21(,1)2yxxPxAABABBBBx将函数表达式变形为+即可理解为点到点和点的距离和的最小值解析为所求．由图可知点为点关于轴的对称点，则另解提示：也可用导数法求．解，略．1．本课时介绍的五种求函数最值的方法是高考重点考查的方法，必须熟练掌握其要义，掌握解法步骤和使用条件．2．求函数的最值，首先得观察函数表达式的结构特征，然后与对应方法相联系．3.不等式的恒成立问题的一种基本解法就是等价转化为函数的最值问题，如“变式4”和“导数及其应用”中所涉及一些问题，请注意体会，并能把此种方法作为一种重要的思考方法．