线性代数公式及考点大全

线性代数公式及考点大全基本运算①ABBA②CBACBA③cBcABAcdAcAAdc④AcddAc⑤00ccA或0A。AATTTTTBABATTAccA。TTTABAB212112nnCnnnnnAaAaAaD2222222121转置值不变AAT逆值变AA11AccAn,,,,,,2121321,,A，3阶矩阵321,,BBABA332211,,BA332211,,BABABABA001,cjiE有关乘法的基本运算njinjijiijbababaC2211线性性质BABABAA2121，2121ABABBBAcBAABcBcA结合律BCACABTTTABABBAABlklkAAAkllkAAkkkBAAB不一定成立！AAE，AEAkAkEA，kAAkEEBAEAB与数的乘法的不同之处kkkBAAB不一定成立！无交换律因式分解障碍是交换性一个矩阵A的每个多项式可以因式分解，例如EAEAEAA3322无消去律（矩阵和矩阵相乘）当0AB时0A或0B由0A和00BAB由0A时CBACAB（无左消去律）特别的设A可逆，则A有消去律。左消去律：CBACAB。右消去律：CBCABA。如果A列满秩，则A有左消去律，即①00BAB②CBACAB可逆矩阵的性质i）当A可逆时，TA也可逆，且TTAA11。kA也可逆，且kkAA11。数0c，cA也可逆，111AccA。ii）A，B是两个n阶可逆矩阵AB也可逆，且111ABAB。推论：设A，B是两个n阶矩阵，则EBAEAB命题：初等矩阵都可逆，且jiEjiE,,1ciEciE11cjiEcjiE,,1命题：准对角矩阵kkAAAA0000000000002211可逆每个iiA都可逆，记11221111000000000000kkAAAA伴随矩阵的基本性质：EAAAAA**当A可逆时，EAAA*得AAA*1，（求逆矩阵的伴随矩阵法）且得：11*AAAAAAAAA1111*伴随矩阵的其他性质①1*nAA,1*AAA②,**TTAA③**1AccAn,④*,**ABAB⑤kkAA**，⑥AAAn2**。2n时，AA**dcbaA*关于矩阵右上肩记号：T，k，1，*i)任何两个的次序可交换，如TTAA**，**11AA等ii)111,ABABABABTTT，***ABAB但kkkABAB不一定成立！线性表示s,,,021si,,,21sssxxx221121,,,有解xs,,,21有解Tsxxx,,1Ax有解，即可用A的列向量组表示srrrCAB,,,21，nA,,,21，则nsrrr,,,,,,2121。st,,,,,,2121，则存在矩阵C，使得Cst,,,,,,2121线性表示关系有传递性当pstrrr,,,,,,,,,212121，则ptrrr,,,,,,2121。等价关系：如果s,,,21与t,,,21互相可表示ts,,,,,,2121记作ts,,,,,,2121。线性相关1s，单个向量，0x相关02s，21,相关对应分量成比例21,相关nnbababa:::2211①向量个数s=维数n，则n1,,线性相（无）关01nnA,,,21，0Ax有非零解0A如果ns，则s,,,21一定相关0Ax的方程个数n未知数个数s②如果s,,,21无关，则它的每一个部分组都无关③如果s,,,21无关，而,,,,21s相关，则s,,,21证明：设cccs,,,1不全为0，使得011cccss则其中0c，否则scc,,1不全为0，011sscc，与条件s,,1无关矛盾。于是sscccc11。④当s,,1时，表示方式唯一s1无关（表示方式不唯一s1相关）⑤若st,,,,11，并且st，则t,,1一定线性相关。证明：记sA,,1，tB,,1，则存在ts矩阵C，使得ACB。0Cx有s个方程，t个未知数，ts，有非零解，0C。则0ACB，即也是0Bx的非零解，从而t,,1线性相关。各性质的逆否形式①如果s,,,21无关，则ns。②如果s,,,21有相关的部分组，则它自己一定也相关。③如果s1无关，而s,,1，则s,,1无关。⑤如果st11，t1无关，则st。推论：若两个无关向量组s1与t1等价，则ts。极大无关组一个线性无关部分组I，若I#等于秩I6421,,,，I就一定是极大无关组①s,,,21无关ss,,,21②sss,,,,,,,,,12121另一种说法：取s,,,21的一个极大无关组II也是,,,,21s的极大无关组,I相关。证明：,,,1IIs相关。sssss,,/,1,,,,,,,,11111③可用s,,1唯一表示sss,,,,,11④stsst,,,,,,,,,,,11111st,,,,11⑤ts,,,,11ttss,,,,,1111矩阵的秩的简单性质nmAr,min000AArA行满秩：mArA列满秩：nArn阶矩阵A满秩：nArA满秩A的行（列）向量组线性无关0AA可逆0Ax只有零解，Ax唯一解。矩阵在运算中秩的变化初等变换保持矩阵的秩①ArArT②0c时，ArcAr③BrArBAr④BrArABr,min⑤A可逆时，BrABr弱化条件：如果A列满秩，则BAB证：下面证0ABx与0Bx同解。是0ABx的解0AB0B是0Bx的解B可逆时，ArABr⑥若0AB，则nBrAr（A的列数，B的行数）⑦A列满秩时BrABrB行满秩时ArABr⑧BrArnABr解的性质1．0Ax的解的性质。如果e,,,21是一组解，则它们的任意线性组合eeccc2211一定也是解。00,2211eeiicccAA2．0Ax①如果e,,,21是Ax的一组解，则eeccc2211也是Ax的解121eccceeccc2211是0Ax的解021eccciAieeeeAcAcAccccA22112211eccc21特别的：当21,是Ax的两个解时，21是0Ax的解②如果0是Ax的解，则n维向量也是Ax的解0是0Ax的解。解的情况判别方程：Ax，即nnxxx2211有解n,,,21AA|nn,,,,,,,2121无解AA|唯一解nAA|无穷多解nAA|方程个数m：mAmA,|①当mA时，mA|，有解②当nm时，nA，不会是唯一解对于齐次线性方程组0Ax，只有零解nA（即A列满秩）（有非零解nA）特征值特征向量是A的特征值是A的特征多项式AxE的根。两种特殊情形：（1）A是上（下）三角矩阵，对角矩阵时，特征值即对角线上的元素。321000**A321321000**xxxxxxAxE（2）1Ar时：A的特征值为Atr,0,,0,0特征值的性质命题：n阶矩阵A的特征值的重数AErn命题：设A的特征值为n,,,21，则①An21②Atrn21命题：设是A的特征向量，特征值为，即A，则①对于A的每个多项式Af，xfAf②当A可逆时，11A，||*AA命题：设A的特征值为n,,,21，则①Af的特征值为nfff,,,21②A可逆时，1A的特征值为n1,,1,121*A的特征值为nAAA21||,,||,||③TA的特征值也是n,,,21特征值的应用①求行列式nA,,,||21②判别可逆性是A的特征值EAAE0不可逆EA可逆不是A的特征值。当0Af时，如果0cf，则cEA可逆若是A的特征值，则f是Af的特征值0f。ccf0不是A的特征值AcE可逆。n阶矩阵的相似关系当UAAU时，AB，而UAAU时，AB。相似关系有i）对称性：ABBA~~BAUU1，则1UBUAii）有传递性：BA~，CB~，则CA~BAUU1，CBVV1，则CBVVAUVUVUVAUV1111命题当BA~时，A和B有许多相同的性质①BA②BA③A，B的特征多项式相同，从而特征值完全一致。A与B的特征向量的关系：是A的属于的特征向量1U是B的属于的特征向量。1111111UAUUUUAUUUBA正定二次型与正定矩阵性质与判别可逆线性变换替换保持正定性nxxxf,,,21变为nyyyg,,,21，则它们同时正定或同时不正定BA~，则A，B同时正定，同时不正定。例如ACCBT。如果A正定，则对每个0x0ACxCxACxCxBxxTTTT（C可逆，0x，0Cx！）我们给出关于正定的以下性质A正定EA~存在实可逆矩阵C，CCAT。A的正惯性指数n。A的特征值全大于0。A的每个顺序主子式全大于0。判断A正定的三种方法：①顺序主子式法。②特征值法。③定义法。基本概念对称矩阵AAT。反对称矩阵AAT。简单阶梯