经济高数课件1-1

第一章函数与极限第一节函数一、预备知识二、函数的概念三、函数的特性四、反函数五、复合函数与初等函数1.集合具有某种特定性质的事物的总体.组成这个集合的事物称为该集合的元素.},,,{21naaaA}{所具有的特征xxM有限集无限集,aA,aA.,,的子集是就说则必若BABxAx.BA记作一、预备知识数集分类:N----自然数集Z----整数集Q----有理数集R----实数集数集间的关系:.,,RQQZZN.,,相等与就称集合且若BAABBA)(BA例如2{1,4},{540},ACxxx.CA则例如,规定空集为任何集合的子集.}01,{2xRxx不含任何元素的集合称为空集,记作.2.区间是指介于某两个实数之间的全体实数..,,baRba且}{bxax称为开区间,),(ba记作}{bxax称为闭区间,],[ba记作oxaboxab这两个实数叫做区间的端点.}{bxax}{bxax称为半开区间,称为半开区间,).,[ba记作].,(ba记作,}{),[xaxa.}{),(bxxboxaoxb有限区间无限区间区间长度的定义:两端点间的距离(线段的长度)称为区间的长度.3.邻域:,0,且是两个实数与设a).,(aU记作,叫做这邻域的中心点a.叫做这邻域的半径.}{),(axaxaUxaaa,邻域的去心的点a,}{邻域的称为点数集aaxx.}0{),(axxaU4.绝对值00aaaaa)0(a运算性质:;baab;baba.bababa)0(aax;axa)0(aax;axax或绝对值不等式:例如圆内接正多边形的周长.nnrSnsin2,5,4,3n3S5S4S6S圆内接正n边形Orn二、函数概念例如圆的面积随半径的改变而变化.例如自由落体运动中下落距离随时间的变化而改变2102hgtt20Srr因变量自变量.)(,000处的函数值为函数在点称时当xxfDx.}),({称为函数的值域函数值全体组成的数集DxxfyyW)(xfy定义.).(.叫做因变量量，叫做自变，叫做这个函数的定义域数集的函数，记作是，则称有确定的数值和它对应按照一定的法则总，变量如果对于每个数集是一个给定的数是两个变量，和设yxDxfyxyyDxDyx函数的两要素:定义域与对应法则.约定:定义域是自变量所能取的使算式有意义的一切实数值.,12xy例如，],1,1[D,112xy例如，).1,1(Dfx)(xfDW.)(}),(),{(的图形函数称为点集xfyDxxfyyxCoxy),(yxxyWD定义:如果自变量在定义域内任取一个数值时，对应的函数值总是只有一个，这种函数叫做单值函数，否则叫与多值函数．.222确定的函数是多值函数例如，方程ayx(1)符号函数.0,1,0,0,0,1sgnxxxxy当当当几个特殊的函数举例1-1xyo(2)取整函数y=[x].阶梯曲线x[x]表示不超过的最大整数.y12345-2-4-4-3-2-14321-1-3xo.,0,,1)(是无理数时当是有理数时当xxxDy有理数点无理数点•1xyo(3)狄利克雷函数(4)需求函数与供给函数1(),()20.1.DpDppp0.01()3,()20012.pSpeSpp..0,1,0,12)(12的定义域和值域求例xxxxxf12xy12xy在自变量的不同变化范围中,对应法则用不同的式子来表示的函数,称为分段函数.),,(D解：.,1W.0,00,1sin2的定义域和值域求函数例xxxy解显然该函数的定义域为R.又因为,11sinx所以该函数的值域为].1,1[M-Myxoy=f(x)D有界无界M-MyxoD0x,0,,(),DMxDfxM若定义域为有成立1．函数的有界性()..fxD则称函数在上有界否则称无界三、函数的特性有上界MyxoD0x,,,(),DMxDfxM若定义域为有成立().fxDM则称函数在上有上界为一个上界有下界MyxoD0x,,,(),DMxDfxM若定义域为有成立().fxDM则称函数在上有下界为一个下界2．函数的单调性,,)(DIDxf区间的定义域为设函数,,2121时当及上任意两点如果对于区间xxxxI;)(上是单调增加的在区间则称函数Ixf),()()1(21xfxf恒有)(xfy)(1xf)(2xfxyoI)(xfy)(1xf)(2xfxyoI;)(上是单调减少的在区间则称函数Ixf,,)(DIDxf区间的定义域为设函数,,2121时当及上任意两点如果对于区间xxxxI),()()2(21xfxf恒有3．函数的奇偶性有对于关于原点对称设,,DxD),()(xfxf偶函数yx)(xf)(xfyox-x)(xf;)(为偶函数称xf.轴是对称的偶函数的图形关于注y有对于关于原点对称设,,DxD),()(xfxf;)(为奇函数称xf奇函数)(xfyx)(xfox-x)(xfy.是对称的奇函数的图形关于原点注22(),33xxxxfx设函数2222()().3333xxxxxxxxfxfx()fx所以为奇函数2()ln(1),()fxxxfx设函数试确定的奇偶性.2211ln(1)ln(1)xxxx2222()ln(1)(1)(1)ln(1)fxxxxxxxxx2ln(1)().xxfx()fx所以为奇函数4．函数的周期性0x0yxyDW)(xfy函数o0x0yxyDW)(yx反函数o四、反函数)..()()(.)()(,)(,,)(指其最小正周期常说周期函数的周期是通的周期称为为周期函数，则称恒成立且使得对于任一数的，如果存在一个不为零的定义域为设函数xflxfxflxfDlxDxlDxf)(xfy直接函数xyo),(abQ),(baP)(xy反函数直接函数与反函数的图形关于直线对称.xy二.复合函数初等函数22()()1,1,yfuuuxxyxxy引例1若函数,函数得到一个以为自变量、为因变量的函数;1()sin(),231sin,23xyfuuuxxxyxxy引例2若函数,函数也得到一个以为自变量、为因变量的函数..,)()()(,.,)(,.,,,,)(,)(21122212221称为中间变量的复合函数，记作复合而成及个函数称为由函数为因变量的函数，这为自变量、得到一个以与之对应，从而有确定的数值通过值这样，对于每个数对应与值因此有确定的值的定义域也属于这个值于由与之对应有确定的数值每个数值那么对于并且值域为的定义域为函数的定义域为若函数定义uxfyxuufyyxyuDxuyDufyuDWWuDxDWWDxuDufy由常数和基本初等函数经过有限次四则运算和有限次的函数复合步骤所构成并可用一个式子表示的函数,称为初等函数.注意:1.不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;,arcsinuy例如;22xu).2arcsin(2xy2.复合函数可以由两个以上的函数经过复合构成.,2cosxy例如,uy,cosvu.2xv练习题解答设ux1则2111uuuf,112uu故).0(,11)(2xxxxf.)(,11,02的解析表达式求函数设xfyxxxfx练习题1.幂函数)(是常数xy基本初等函数oxy)1,1(112xyxyxy1xy.),0()1,1(.),0()1,1()0,0(,,1212上单减，在的图象过点上单增，且在和的图象过xyxyxyxy2.指数函数)1,0(aaayxxeyxeyxayxay)1()1(a)1,0(.101)1,0(时单减时单增，当，当过点aaayx3.对数函数)1,0(logaaxyaxylnxyalogxya1log)1(a)0,1(对数函数都过点(1,0)，当底数大于1时单增，底数小于1时单减.4.三角函数正弦函数xysin,2为周期的周期函数正弦函数是以),,(D.1,1Wxycos余弦函数,2为周期的周期函数余弦函数是以),,(D.1,1W正切函数xytanxytan.,它是奇函数为周期的周期函数正切函数是以.,2,:ZnnxRxxD余切函数xycotxycot.,:ZnnxRxxD，.,它是奇函数为周期的周期函数余切函数是以正割函数xysecxysec,cos1secxx.2为周期的周期函数正割函数是以xycsc余割函数xycsc.sin1cscxx.2为周期的周期函数余割函数是以5.反三角函数xyarcsin反正弦函数xyarcsin,1,1D.2,2Wxyarccos反余弦函数xyarccos,1,1D.,0Wxyarctan反正切函数xyarctan,),(D.)2,2(W反余切函数xarcycotxarcycot,),(D.),0(W幂函数,指数函数,对数函数,三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.（简称：幂、指、对、三、反。）复合函数的分解.cos2cos,2xyxyuu例如cos,2,cos,2xyxyuuvv1cos,21,cos,2xyxxyuuvvx练习234,21xyxx112sin,yx2213arcsin,3xyx1sin4,xye23345log,1axxyx26logcos(1),ayx227cos23xyx1arctan382xy