空间几何体的三视图与直观图、表面积和体积课件

第2节空间几何体的三视图与直观图、表面积和体积高考命题趋势空间几何体空间几何体是立体几何初步的重要内容，高考非常重视对这一部分的考查．一是在选择、填空题中有针对性地考查空间几何体的概念、性质及主要几何量(角度、距离、面积、体积)的计算等．二是在解答题中，以空间几何体为载体考查线面位置关系的推理、论证及有关计算．1.了解柱、锥、台、球的概念、性质及他们之间的关系，能识别柱、锥、台、球的结构特征；2.能识别各种简单几何体和简单组合体的三视图，并会用斜二测画法画出他们的直观图.能进行三视图与直观图的相互转化.3.了解柱、锥、台、球的表面积和体积的计算公式，并能运用这些公式解决相关问题.1.下列说法中正确的是()DA.有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱B.用一个平面去截一个圆锥，可以得到一个圆台和一个圆锥C.有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥D.将一个直角三角形绕其一条直角边旋转一周，所得圆锥的母线长等于斜边长由棱柱、圆锥、棱锥的定义知，A、B、C不正确，故选D.2.已知正三角形ABC的边长为a,那么△ABC的平面直观图△A′B′C′的面积为()DA.a2B.A2C.a2D.a2343868616如图，图①、图②所示的分别是实际图形和直观图.从图②可知，A′B′=AB=a,O′C′=OC=a,所以C′D′=O′C′sin45°=a，所以S△A′B′C′=A′B′·C′D′=·a·a=a2,故选D.346861612121268小结：42原直SS3.某几何体的直观图如图所示,该几何体的主(正)视图和左(侧)视图都正确的是()BA.B.C.D.主视图应有一条实对角线,且对角线应向上到下,左视时,看到一个矩形,且不能有实对角线,故淘汰A、D，故选B.4.如图是一个空间几何体的三视图，若它的体积是3，则a=.33由三视图可知几何体为一个直三棱柱,底面三角形中,边长为2的边上的高为a,则V=3××2×a=3，所以a=.1233题型一三视图与直观图例1典例精讲典例精讲典例精讲典例精讲(09山东）一个空间几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为()A.2π+2B.4π+2C.2π+D.4π+33233233C分析分析本例题型的切入点和基本策略是将三视图还原成空间几何体，必要时作出直观图.该空间几何体为一个圆柱和一个正四棱锥构成的组合体.圆柱的底面半径为1,高为2,故其体积为2π.四棱锥的底面边长为，高为，所以其体积为×()2×=.所以该几何体的体积为2π+.选C232332332133点评点评1.三视图是新课标中新增的内容，要求是能画，能识别，能应用.经常与立体几何中有关的计算问题融合在一起考查，如面积、体积的计算，考查学生的空间想象能力，因此我们应对常见的简单几何体的三视图有所理解，能够进行识别和判断.2.注意三视图的特点：“正、侧一样高，正、俯一样长，俯、侧一样宽”.3.空间想象能力与多观察实物相结合是解决此类问题的关键.题型二简单几何体的体积与表面积例2如图是一个以A1B1C1为底面的直三棱柱被一平面所截得到的几何体，截面为ABC，已知A1B1=B1C1=2，∠A1B1C1=90°，AA1=4，BB1=3，CC1=2，求该几何体的体积及截面ABC的面积.分析分析过C作平行于底面A1B1C1的截面A2B2C2,将该几何体分割为柱和锥或将其还原为直棱柱，然后计算其体积.(方法一)过C作平行于A1B1C1的截面A2B2C,交AA1、BB1于A2、B2.由直三棱柱性质可知中B2C⊥平面ABB2A2,则V=V柱A1B1C1-A2B2C+V锥C-ABB2A2=×2×2×2+×(1+2)×2×2=6.121312(方法二)延长BB1、CC1到B3、C3，使得BB1=CC3=AA1.则V=V柱A1B1C1-AB3C3-V锥A-BB3C3C=×2×2×4-×(1+2)×2×2=6.在△ABC中,AB==，BC==，AC==.则S△ABC=×2×=.23131212222(43)5222(32)522(22)(42)12322(5)(3)6处理不规则几何体的体积时，或将其分割柱、锥、台或补体为柱、锥、台，然后计算其体积.(割补法）点评点评如图，在多面体ABCDEF中，已知ABCD是边长为1的正方形，且△ADE、△BCF均为正三角形，EF∥AB，EF＝2，则该多面体的体积为()解析：如图所示，过BC作与EF垂直的截面BCG，做面ADM∥面BCGFO＝32，FG＝12.∴GO＝FO2－FG2＝22，∴S△BCG＝12×1×22＝24.V1＝VBCG－ADM＝S△BCG·AB＝24，V2＝2VF－BCG＝2×13×24×12＝212，∴V总＝V1＋V2＝23.∴选A.题型三简单组合体问题例3有一个圆锥的侧面展开图是一个半径为5，圆心角为π的扇形，在这个圆锥中内接一个高为x的圆柱.(1)求圆锥的体积；(2)当x为何值时,圆柱的侧面积最大?65由圆锥的侧面展开图，圆心角与半径的关系可求圆锥的母线长，底面半径和高.内接圆柱的侧面积是高x的函数，再用代数方法求最值.分析分析(1)因为圆锥侧面展开图的半径为5,所以圆锥的母线长为5.设圆锥的底面半径为r，则2πr=5×,所以r=3,则圆锥的高为4,故体积V=πr2×4=12π.65134x33r34则=，得r=3-x.圆柱的侧面积S(x)=2π(3-x)x=π(4x-x2)=π［4-(x-2)2］(0＜x＜4).当x=2时，S(x)有最大值6π.所以当圆柱的高为2时，有最大侧面积6π.342332旋转体的接、切问题常考虑其相应轴截面内的接、切情况，实际是把空间图形平面化.点评点评(2)右图为轴截面图，这个图为等腰三角形中内接一个矩形.设圆柱的底面半径为r,例4.如图，正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为a,它的各个顶点都在球O的球面上，问球O的表面积。ABCDD1C1B1A1OABCDD1C1B1A1O分析：正方体内接于球，则由球和正方体都是中心对称图形可知，它们中心重合，则正方体对角线与球的直径相等。略解：2222211113423,)2()2(22:aRSaRaaRaDBRDBDDBRt得：，中变题.如果球O和这个正方体的六个面都相切，则有S=——。2a关键：找正方体的棱长a与球半径R之间的关系变式1：如图所示，正四面体ABCD的外接球的体积为4π，求正四面体的棱长和体积．分析：设法寻求正四面体的棱长与球的半径之间的关系．将正四面体ABCD置于正方体中．正四面体的外接球即为正方体的外接球，正方体的对角线长为球的直径．由V球＝43π得R＝3，∴正方体棱长为2，所以AB＝22，∴VA－BCD＝38221231424-23BCFAVV正方体方法提炼方法提炼1.三视图的识别规则是：“正、侧同高,正、俯同长,俯、侧同宽”.2.要用联系的观点来认识柱、锥、台、球的性质，在给出相关体积、表面积公式的前提下能准确计算其体积和表面积.3.将空间问题转化化归为平面图形问题是解决立体几何问题的最基本、最常用的方法.4.不规则几何体的体积可考虑割补法求解。走进高考走进高考学例1(2007·江苏卷)将正三棱柱截去三个角(如图1所示，A、B、C分别是△GHI三边的中点)得到几何体如图2，则该几何体按图2所示方向的侧视图(或称左视图)为()因为EFD-HIG是正三棱锥，且AE在平面EG中，所以在侧视图(左视图)中,AE应为竖直的，选A.学例2(2009·辽宁卷)设某几何体的三视图如下（长度单位为m):则该几何体的体积为m3.4由三视图可知原几何体是一个三棱锥(其直观图如右),且该三棱锥高为2,底面三角形一边为4,且该边上的高为3,故该几何体体积V=1/6×(2×4×3)=4.(2010年广东省惠州市高三调研)如图，已知正三棱柱ABC－A1B1C1的底面边长是2，D，E是CC1，BC的中点，AE＝DE.(1)求此正三棱柱的侧棱长；(2)正三棱柱ABC－A1B1C1的表面积．【思路点拨】(1)证明△AED为直角三角形，然后求侧棱长；(2)分别求出侧面积与底面积．本节完，谢谢聆听