2017年普通高等学校招生全国统一考试数学试题理(全国卷3,含解析)

绝密★启用前2017年普通高等学校招生全国统一考试数学试题理全国卷3【命题特点】2017年新课标III高考数学试卷，试卷内容上体现新课程理念，贴近中学数学教学，坚持对基础知识、基本技能以及数学思想方法的考查。在保持稳定的基础上，进行适度的改革和创新。2017年的数学试卷“以稳为主”试卷结构平稳，同时题目平和、无偏怪题，难度控制理想。“稳中求进”试卷考查的具体知识点有变化。1、回归教材，注重基础2017年新课标III卷遵循了考查基础知识为主体的原则，尤其是考试说明中的大部分考点，考查了复数、三角函数、折线图、概率、解析几何、向量、框图、线性规划等考点。2、适当设置题目难度与区分度与往年课标III卷相对比，今年的难度设置在最后21题。尤其以选择题第12题和填空题第16道，只要能认真分析，解决此问题的是不成问题。3、布局合理，考查全面，着重数学方法和数学思想的考察解答题部分，包括三角函数、立体几何、概率统计、解析几何、导数五大版块和二选一问题。以知识为载体，立意于能力。4、命题考察的沿续性2017年新课标III卷，在力求创新基础上，也有一些不变的东西。例如2017年新课标III卷在集合、复数、算法、线性规划的命题方式基本完全一致。【命题趋势】1.函数知识：以导数知识为背景的函数问题；分段函数与不等式结合的题目；三角函数的性质及其讨论；从重结果考查转向重过程考查；从熟悉情景的考查转向新颖情景的考查。2.函数零点问题：函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，这也体现了数形结合思想的应用．3.不等式知识：突出工具性，不等式的性质与分段函数，绝对值的性质综合起来进行考查，考查学生的等价转化能力和分类讨论能力；4.立体几何知识：2016年已经变得简单，2017年难度依然不大，16题填空题将立体几何的知识与运动问题相联系，然后确定最值及取值范围；第8题考查圆柱的体积问题，要求学生的空间想象能力比加强.5.解析几何知识：解答题主要考查直线、抛物线和圆的知识，考试的难度与往年持平，选择题5题考查共焦点问题，属于常规题目，10题综合了抛物线、圆和直线的问题，需要对位置关系有透彻的理解。6.导数知识：导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，21题加强了与不等式的联系，要求学生的对导数的深层含义能准确把握，12题涉及零点问题，由唯一性确定参数值，要应用选择题的特点灵活处理.一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知集合A=22(,)1xyxy│，B=(,)xyyx│，则AB中元素的个数为A．3B．2C．1D．0【答案】B【解析】【考点】交集运算；集合中的表示方法。【名师点睛】求集合的基本运算时，要认清集合元素的属性(是点集、数集或其他情形)和化简集合，这是正确求解集合运算的两个先决条件。集合中元素的三个特性中的互异性对解题影响较大，特别是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意检验集合中的元素是否满足互异性。2．设复数z满足(1+i)z=2i，则∣z∣=A．12B．22C．2D．2【答案】C【解析】【考点】复数的模；复数的运算法则【名师点睛】共轭与模是复数的重要性质，注意运算性质有：(1)1212zzzz；(2)1212zzzz；(3)22zzzz；(4)121212zzzzzz；(5)1212zzzz；(6)1121zzzz。3．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2014年1月至2016年12月期间月接待游客量（单位：万人）的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论错误的是A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7,8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对7月至12月，波动性更小，变化比较平稳【答案】A【解析】动性大，选项D说法正确；故选D。【考点】折线图【名师点睛】将频率分布直方图中相邻的矩形的上底边的中点顺次连结起来，就得到一条折线，我们称这条折线为本组数据的频率折线图，频率分布折线图的的首、尾两端取值区间两端点须分别向外延伸半个组距，即折线图是频率分布直方图的近似，他们比频率分布表更直观、形象地反映了样本的分布规律。4．52xyxy的展开式中x3y3的系数为A．80B．40C．40D．80【答案】C【解析】试题分析：555222xyxyxxyyxy，由52xy展开式的通项公式：5152rrrrTCxy可得：当3r时，52xxy展开式中33xy的系数为33252140C，当2r时，52yxy展开式中33xy的系数为22352180C，则33xy的系数为804040。故选C。【考点】二项式展开式的通项公式【名师点睛】(1)二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的条件(特定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中n和r的隐含条件，即n，r均为非负整数，且n≥r，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所求的指数，再求所求解的项。(2)求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解。5．已知双曲线C：22221xyab(a＞0,b＞0)的一条渐近线方程为52yx,且与椭圆221123xy有公共焦点，则C的方程为A．221810xyB．22145xyC．22154xyD．22143xy【答案】B【解析】故选B。【考点】双曲线与椭圆共焦点问题；待定系数法求双曲线的方程。【名师点睛】求双曲线的标准方程的基本方法是待定系数法。具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值。如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可利用有公共渐近线的双曲线方程为2220xyab，再由条件求出λ的值即可。6．设函数f(x)=cos(x+3)，则下列结论错误的是A．f(x)的一个周期为−2πB．y=f(x)的图像关于直线x=83对称C．f(x+π)的一个零点为x=6D．f(x)在(2,π)单调递减【答案】D【解析】当,2x时，54,363x，函数在该区间内不单调，选项D错误；故选D。【考点】函数cosyAx的性质【名师点睛】(1)求最小正周期时可先把所给三角函数式化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的形式，则最小正周期为2T；奇偶性的判断关键是解析式是否为y＝Asinωx或y＝Acosωx＋b的形式。(2)求f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω≠0)的对称轴，只需令2xkkZ，求x；求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)即可。7．执行右图的程序框图，为使输出S的值小于91，则输入的正整数N的最小值为A．5B．4C．3D．2【答案】D【解析】【考点】流程图【名师点睛】利用循环结构表示算法，一定要先确定是用当型循环结构，还是用直到型循环结构；当型循环结构的特点是先判断再循环，直到型循环结构的特点是先执行一次循环体，再判断；注意输入框、处理框、判断框的功能，不可混用；赋值语句赋值号左边只能是变量，不能是表达式，右边的表达式可以是一个常量、变量或含变量的运算式。8．已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为A．πB．3π4C．π2D．π4【答案】B【解析】试题分析：绘制圆柱的轴截面如图所示，由题意可得：11,2ACAB，结合勾股定理，底面半径2213122r，由圆柱的体积公式可得：圆柱的体积是2233124Vrh，故选B。【考点】圆柱的体积公式【名师点睛】(1)求解以空间几何体的体积的关键是确定几何体的元素以及线面的位置关系和数量关系，利用相应体积公式求解；(2)若所给几何体的体积不能直接利用公式得出，则常用等积法、分割法、补形法等方法进行求解。9．等差数列na的首项为1，公差不为0．若a2，a3，a6成等比数列，则na前6项的和为A．24B．3C．3D．8【答案】A【解析】【考点】等差数列求和公式；等差数列基本量的计算【名师点睛】(1)等差数列的通项公式及前n项和公式，共涉及五个量a1，an，d，n，Sn，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题。(2)数列的通项公式和前n项和公式在解题中起到变量代换作用，而a1和d是等差数列的两个基本量，用它们表示已知和未知是常用方法。10．已知椭圆C：22221xyab，（ab0）的左、右顶点分别为A1，A2，且以线段A1A2为直径的圆与直线20bxayab相切，则C的离心率为A．63B．33C．23D．13【答案】A【解析】【考点】椭圆的离心率的求解；直线与圆的位置关系【名师点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质，求椭圆的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：①求出a，c，代入公式e＝ca；②只需要根据一个条件得到关于a，b，c的齐次式，结合b2＝a2－c2转化为a，c的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以a或a2转化为关于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范围)。11．已知函数211()2()xxfxxxaee有唯一零点，则a=A．12B．13C．12D．1【答案】C【解析】试题分析：函数的零点满足2112xxxxaee，设11xxgxee，则211111111xxxxxxegxeeeee，当0gx时，1x，当1x时，0gx，函数gx单调递减，当1x时，0gx，函数gx单调递增，【考点】函数的零点；导函数研究函数的单调性，分类讨论的数学思想【名师点睛】函数零点的应用主要表现在利用零点求参数范围，若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用。12．在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，动点P在以点C为圆心且与BD相切的圆上。若AP=AB+AD，则+的最大值为A．3B．22C．5D．2【答案】A【解析】试题分析：如图所示，建立平面直角坐标系设0,1,0,0,2,0,2,1,,ABCDPxy,根据等面积公式可得圆的半径25r，即圆C的方程是22425xy，【考点】平面向量的坐标运算；平面向量基本定理【名师点睛】(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算。(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是：先选择一组基底，并运用该基底将条件和结论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决。二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．若x，y满足约束条件y0200xxyy，则z34xy的最小值为__________。【答案】1【解析】试题分析：绘制不等式组表示的可行域，目标函数即：3144yxz，其中z表示斜率为34k的直线系与可行域有交点时直线的截距值的14倍，截距最大的时候目标函数取得最小值，数形结合可得目标函数在点1,1A处取得最小值341zxy。【考点】应用线性规划求最值【名师点睛】求线性目标函数z＝ax＋by(ab≠0)的最值，当b＞0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最大，在y轴截距最小时，z值最小；当b＜0时，直线过可行域且在y轴上截距最大时，z值最小，在y轴上截距最小时，z值最大。14．设等比数列