高考数学总复习 第8章 第4节 直线与圆、圆与圆的位置关系课件 新人教A版

第四节直线与圆、圆与圆的位置关系1.考纲要求考情分析1.能根据给定直线、圆的方程，判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程，判断两圆的位置关系．2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题．3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.1.从考查内容看，高考中主要侧重于对直线和圆位置关系的判定及应用的考查，特别是直线与圆相切、相交的问题，是高考的重点和热点．2.从考查形式看，多以选择题、填空题的形式出现，有时也出现在综合性较强的解答题中，难度中等.一、直线与圆的位置关系设直线l：Ax＋By＋C＝0(A2＋B2≠0)，圆：(x－a)2＋(y－b)2＝r2(r＞0)，设d为圆心(a，b)到直线l的距离，联立直线和圆的方程，消元后得到的一元二次方程的判别式为Δ.位置关系相交相切相离图形几何法drdrdr代数法Δ0Δ0Δ0＜＝＞＞＝＜1．在求过一定点的圆的切线方程时，应注意什么？提示：应首先判断这点与圆的位置关系，若点在圆上则该点为切点，切线只有一条；若点在圆外，切线应有两条．解决直线与圆相交的问题时，一定要注意由弦心距、半径、半弦长构成的直角三角形的应用．二、圆与圆的位置关系设圆O1：(x－a1)2＋(y－b1)2＝r21(r1＞0)，圆O2：(x－a2)2＋(y－b2)2＝r22(r2＞0).相离外切相交内切内含图形几何法d＞d＝d＝d＜|r1－r2|＜d＜r1＋r2r1＋r2r1＋r2|r1－r2||r1－r2|2．两圆相交时，公共弦所在直线的方程与两圆的方程有何关系？提示：两圆的方程中，若x2、y2项的系数相同时，将两方程相减，所得方程即为公共弦所在直线的方程．1．(2012·陕西高考)已知圆C：x2＋y2－4x＝0，l是过点P(3,0)的直线，则()A．l与C相交B．l与C相切C．l与C相离D．以上三个选项均有可能解析：将点P(3,0)的坐标代入圆的方程，得32＋02－4×3＝9－12＝－3＜0，∴点P(3,0)在圆内．∴过点P的直线l定与圆C相交．答案：A2．圆x2＋y2－4x＝0在点P(1，3)处的切线方程为()A．x＋3y－2＝0B．x＋3y－4＝0C．x－3y＋4＝0D．x－3y＋2＝0解析：方法一：圆方程为(x－2)2＋y2＝4，圆心(2,0)，半径为2，点P在圆上，设切线方程为y－3＝k(x－1)，即kx－y－k＋3＝0，∴|2k－k＋3|k2＋1＝2，解得k＝33.∴切线方程为y－3＝33(x－1)，即x－3y＋2＝0.答案：D方法二：由圆方程为(x－2)2＋y2＝4，故圆心坐标为M(2,0)，所以kMP＝31－2＝－3，故切线斜率为33，所以切线方程为y－3＝33(x－1)，即x－3y＋2＝0.3．(理)圆C1：x2＋y2＋2x＋2y－2＝0与圆C2：x2＋y2－4x－2y＋1＝0的公切线有且仅有()A．1条B．2条C．3条D．4条解析：⊙C1：(x＋1)2＋(y＋1)2＝4，圆心C1(－1，－1)，半径r1＝2.⊙C2：(x－2)2＋(y－1)2＝4，圆心C2(2,1)，半径r2＝2.∴|C1C2|＝13，∴0＜|C1C2|＜r1＋r2＝4，∴两圆相交，故两圆有两条公切线．答案：B3．(文)⊙O1：x2＋y2－2x＝0与⊙O2：x2＋y2－4y＝0的位置关系是()A．相离B．相交C．外切D．内切解析：⊙O1：(x－1)2＋y2＝1，⊙O2：x2＋(y－2)2＝4，圆心距d＝1－02＋0－22＝5，故|r1－r2|＜d＜r1＋r2，即1＜d＜3，因此两圆相交．答案：B4．已知圆C的圆心是直线x－y＋1＝0与x轴的交点，且圆C与直线x＋y＋3＝0相切，则圆C的方程为________．解析：在方程x－y＋1＝0中，令y＝0，得x＝－1，故圆心坐标为(－1,0)．又由题意知半径r＝|－1＋0＋3|2＝2，所以圆C的方程为(x＋1)2＋y2＝2.答案：(x＋1)2＋y2＝25．若圆x2＋y2＝4与圆x2＋y2＋2ay－6＝0(a＞0)的公共弦的长为23，则a＝________.解析：x2＋y2＋2ay＝6，x2＋y2＝4，两方程相减得y＝1a.由y＝1a，x2＋y2＝4，消去y得x2＝4a2－1a2(a＞0)．由公共弦长为23知24a2－1a＝23，解得a＝1.答案：1【考向探寻】1．直线与圆的位置关系的判定．2．直线与圆的位置关系的逆向问题．【典例剖析】(1)(2013·湛江模拟)已知点P(a，b)(ab≠0)是圆O：x2＋y2＝r2内一点，直线l的方程为ax＋by＋r2＝0，那么直线l与圆O的位置关系是A．相离B．相切C．相交D．不确定(2)“a＝3”是“直线y＝x＋4与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8相切”的A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件(3)(2012·江苏高考)在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为x2＋y2－8x＋15＝0，若直线y＝kx－2上至少存在一点，使得以该点为圆心，1为半径的圆与圆C有公共点，则k的最大值是________．题号分析(1)根据圆心到直线的距离与半径的关系判断．(2)先确定相切的充要条件，再进行判断．(3)由圆心到直线的距离不大于2建立关于k的不等式，解不等式可得结论.答案：A解析：(1)由点P(a，b)是圆O内一点得a2＋b2＜r，得a2＋b2＜r2.故圆心到直线l的距离d＝|a×0＋b×0＋r2|a2＋b2＝r2a2＋b2＞r，所以直线l与圆相离．(2)由直线y＝x＋4与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8相切，得|a－3＋4|2＝22，整理得|a＋1|＝4，所以a＝3或a＝－5，但当a＝3时，直线y＝x＋4与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8一定相切，故“a＝3”是“直线y＝x＋4与圆(x－a)2＋(y－3)2＝8相切”的充分不必要条件．答案：A(3)圆C的标准方程为(x－4)2＋y2＝1，圆心为(4,0)．由题意知(4,0)到kx－y－2＝0的距离应不大于2，即|4k－2|k2＋1≤2.整理得3k2－4k≤0，解得0≤k≤43.所以k的最大值为43.答案：43(1)判定直线和圆的位置关系时常用几何法，即根据圆心到直线的距离与半径的大小关系来确定．(2)已知直线和圆的位置关系时，常用几何法将位置关系转化为圆心到直线的距离与半径的大小关系，并以此来确定参数的取值或范围【活学活用】1．(1)直线l：x＝my＋2与圆M：x2＋2x＋y2＋2y＝0相切，则m的值为()A．1或－6B．1或－7C．－1或7D．1或－17答案：B解析：由题意可知，圆M：x2＋2x＋y2＋2y＝0的圆心(－1，－1)到直线l：x＝my＋2的距离为圆的半径2，由点到直线的距离公式可知m＝1或m＝－7.(2)若过点A(4,0)的直线l与曲线(x－2)2＋y2＝1有公共点，则直线l斜率的取值范围为()A．[－3，3]B．(－3，3)C.－33，33D.－33，33(2)若过点A(4,0)的直线l与曲线(x－2)2＋y2＝1有公共点，则直线l斜率的取值范围为()A．[－3，3]B．(－3，3)C.－33，33D.－33，33答案：C解析：由条件知直线l的斜率一定存在．设l的方程为y＝k(x－4)，即kx－y－4k＝0.由题意知|2k－4k|k2＋1＝2|k|k2＋1≤1，解得－33≤k≤33.【考向探寻】1．判定圆与圆的位置关系．2．与圆的位置关系有关的综合问题．【典例剖析】(1)已知圆C1：x2＋y2－2mx＋m2＝4，圆C2：x2＋y2＋2x－2my＝8－m2(m＞3)，则两圆的位置关系是A．相交B．内切C．外切D．相离(2)已知圆C1：x2＋y2－6x－7＝0与圆C2：x2＋y2－6y－27＝0相交于A、B两点，则线段AB的中垂线方程为________．(3)已知圆C与圆C1：x2＋y2－2x＝0相外切，并且与直线l：x＋3y＝0相切于点P(3，－3)，求圆C的方程．(1)根据两圆圆心距与两半径的关系判断即可．(2)AB的中垂线即为两圆的连心线．(3)根据条件确定圆心及半径，然后求圆方程．(1)解析：将两圆方程分别化为标准式圆C1：(x－m)2＋y2＝4，圆C2：(x＋1)2＋(y－m)2＝9，则|C1C2|＝m＋12＋m2＝2m2＋2m＋1＞2×32＋2×3＋1＝5＝2＋3，∴两圆相离．答案：D(2)解析：AB的中垂线即为圆C1、圆C2的连心线C1C2，又C1(3,0)，C2(0,3)，∴C1C2的方程为x＋y－3＝0.答案：x＋y－3＝0(3)解：设所求圆的圆心为C(a，b)，半径长为r，则圆C的标准方程为(x－a)2＋(y－b)2＝r2，∵C(a，b)在过点P且与l垂直的直线上，∴b＋3a－3＝3.①又∵圆C与l相切于点P，∴r＝|a＋3b|2.②∵圆C与圆C1相外切，∴a－12＋b2＝r＋1.③由①得3a－b－43＝0，从而4a2－26a＋49＝|2a－6|＋1，解得a＝4b＝0，或a＝0b＝－43，此时，r＝2或r＝6.即所求的圆C的方程为(x－4)2＋y2＝4或x2＋(y＋43)2＝36.(1)判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系来判断，另外知道两圆公切线的条数，也可以判断出两圆的位置关系．(2)若两圆相交，则两圆公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2，y2项即可得到．解题中要注意平面几何知识的运用，如两圆相切时，连心线经过切点；两圆相交时，连心线垂直平分公共弦等．【活学活用】2．圆O1的方程为：x2＋(y＋1)2＝4，圆O2的圆心为O2(2,1)．(1)若圆O2与圆O1外切，求圆O2的方程；(2)若圆O2与圆O1交于A、B两点，且|AB|＝22，求圆O2的方程．解：(1)设圆O2的半径为r2，由于两圆外切，∴|O1O2|＝r1＋r2，r2＝|O1O2|－r1＝2(2－1)，故圆O2的方程是：(x－2)2＋(y－1)2＝4(2－1)2.(2)设圆O2的方程为：(x－2)2＋(y－1)2＝r22，∵圆O1的方程为：x2＋(y＋1)2＝4，此两圆的方程相减，即得两圆公共弦AB所在直线的方程：4x＋4y＋r22－8＝0.∴圆心O1(0，－1)到直线AB的距离为|r22－12|42＝4－2222＝2，解得r22＝4或r22＝20.故圆O2的方程为(x－2)2＋(y－1)2＝4或(x－2)2＋(y－1)2＝20.【考向探寻】1．求圆的切线方程、圆的弦长．2．与圆的切线、弦长有关的综合问题．【典例剖析】(1)(理)(2012·天津高考改编)设m，n∈R，若直线l：mx＋ny－1＝0与x轴相交于点A，与y轴相交于点B，且l与圆x2＋y2＝4相交所得弦的长为2，O为坐标原点，则△AOB面积的最小值为A．2B．22C．3D.2(文)(2012·福建高考)直线x＋3y－2＝0与圆x2＋y2＝4相交于A，B两点，则弦AB的长度等于A．25B．23C.3D．1(2)(理)(12分)已知直线l：y＝kx＋5及圆C：(x＋2)2＋(y－6)2＝16，直线l交圆C于A，B两点．①若|AB|＝43，求直线l的方程；②求弦AB中点的轨迹方程．(文)(12分)已知，圆C：x2＋y2－8y＋12＝0，直线l：ax＋y＋2a＝0.①当a为何值时，直线l与圆C相切；②当直线l与圆C相交于A、B两点，且|AB|＝22时，求直线l的方程．(1)(理)由弦长得到m、n的关系，结合不等式的性质求解．(文)根据半径，圆心到直线的距离与弦长的关系求解．(2)(理)①利用几何法求直线方程；②设出AB中点P的坐标，利用AB与CP垂直求轨迹方程．(文)①根据直线与圆的位置关系求解．②利用几何法求直线方程．(1)(理)由题意知A1m，0，B0，1n，圆的半径为2，且l与圆的相交弦长为2，则圆心到弦所在直线的距离为3，即1m2＋n2＝3，∴m2＋n2＝13，∴S△AOB＝121m1n＝