2017年天津市和平区高考数学一模试卷(理科)(解析版)

第1页（共23页）2017年天津市和平区高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．设集合A={﹣1，1，2}，B={a+1，a2﹣2}，若A∩B={﹣1，2}，则a的值为（）A．﹣2或﹣1B．0或1C．﹣2或1D．0或﹣22．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x+2y的取值范围是（）A．[6，22]B．[7，22]C．[8，22]D．[7，23]3．在△ABC中，若AB=4，AC=BC=3，则sinC的值为（）A．B．C．D．4．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出的S的值为（）A．B．C．D．5．“|x+1|+|x﹣2|≤5”是“﹣2≤x≤3”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件第2页（共23页）C．充要条件D．既不充分也不必要条件6．已知A、B分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右顶点，P为双曲线上一点，且△ABP为等腰三角形，若双曲线的离心率为，则∠ABP的度数为（）A．30°B．60°C．120°D．30°或120°7．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD=，AB=2，AD=1，若M、N分别是边AD、CD上的点，且满足==λ，其中λ∈[0，1]，则•的取值范围是（）A．[﹣3，﹣1]B．[﹣3，1]C．[﹣1，1]D．[1，3]8．已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）﹣m=0恰有五个不相等的实数解，则m的取值范围是（）A．[0，4]B．（0，4）C．（4，5）D．（0，5）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分）.9．已知复数=a+bi，则a+b=．10．（﹣）8的展开式中x2的系数为．（用数字作答）11．已知一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为第3页（共23页）cm3．12．在直角坐标系xOy，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程式ρ=﹣4cosθ，则圆C的圆心到直线l的距离为．13．已知f（x）=x3+3x2+6x，f（a）=1，f（b）=﹣9，则a+b的值为．14．若不等式3x2+y2≥mx（x+y）对于∀x，y∈R恒成立，则实数m的取值范围是．三、解答题：本大题共6小题，共48分．解答写出文字说明、证明过程或演算过程．15．已知函数f（x）=2sin（ax﹣）cos（ax﹣）+2cos2（ax﹣）（a＞0），且函数的最小正周期为．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求f（x）在[0，]上的最大值和最小值．16．理科竞赛小组有9名女生、12名男生，从中随机抽取一个容量为7的样本进行分析．（Ⅰ）如果按照性别比例分层抽样，可以得到多少个不同的样本？（写出算式即可）第4页（共23页）（Ⅱ）如果随机抽取的7名同学的物理、化学成绩（单位：分）对应如表：学生序号1234567物理成绩65707581858793化学成绩72688085908691规定85分以上（包括85份）为优秀，从这7名同学中再抽取3名同学，记这3名同学中物理和化学成绩均为优秀的人数为X，求随机变量X的分布列和数学期望．17．如图，四棱锥P﹣ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB∥DC，DA⊥AB，AB=AP=2，DA=DC=1，E为PC上一点，且PE=PC．（Ⅰ）求PE的长；（Ⅱ）求证：AE⊥平面PBC；（Ⅲ）求二面角B﹣AE﹣D的度数．18．设Sn是数列{an}的前n项和，已知a1=1，an+1=2Sn+1（n∈N*）．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若=3n﹣1，求数列{bn}的前n项和Tn．19．已知椭圆E：+=1（a＞b＞0）经过点（2，1），且以椭圆短轴的两个端点和一个焦点为顶点的三角形是等边三角形．（Ⅰ）求椭圆E的方程；第5页（共23页）（Ⅱ）设P（x，y）是椭圆E上的动点，M（2，0）为一定点，求|PM|的最小值及取得最小值时P点的坐标．20．设函数f（x）=x2+alnx（a＜0）．（1）若函数f（x）的图象在点（2，f（2））处的切线斜率为，求实数a的值；（2）求f（x）的单调区间；（3）设g（x）=x2﹣（1﹣a）x，当a≤﹣1时，讨论f（x）与g（x）图象交点的个数．第6页（共23页）2017年天津市和平区高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．设集合A={﹣1，1，2}，B={a+1，a2﹣2}，若A∩B={﹣1，2}，则a的值为（）A．﹣2或﹣1B．0或1C．﹣2或1D．0或﹣2【考点】交集及其运算．【分析】由交集定义得到或，由此能求出a的值．【解答】解：∵集合A={﹣1，1，2}，B={a+1，a2﹣2}，A∩B={﹣1，2}，∴或，解得a=﹣2或a=1．故选：C．2．设变量x，y满足约束条件，则目标函数z=3x+2y的取值范围是（）A．[6，22]B．[7，22]C．[8，22]D．[7，23]【考点】简单线性规划．【分析】由约束条件作出可行域，化目标函数为直线方程斜截式，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案．【解答】解：由约束条件，作可行域如图．由z=3x+2y，结合图形可知，当直线分别经过可行域内的点A，B时，目标函数取得最值，第7页（共23页）由：，可得A（4，5），由可得B（1，2）时，目标函数取得最小值和最大值，分别为zmax=3×4+2×5=22，zmin=3×1+2×2=7．目标函数的范围：[7，22]．故选：B．3．在△ABC中，若AB=4，AC=BC=3，则sinC的值为（）A．B．C．D．【考点】余弦定理．【分析】由已知利用余弦定理可求cosC的值，进而利用同角三角函数基本关系式可求sinC的值．【解答】解：在△ABC中，∵AB=4，AC=BC=3，∴cosC===，∴sinC==．故选：D．4．阅读如图的程序框图，运行相应的程序，则输出的S的值为（）第8页（共23页）A．B．C．D．【考点】程序框图．【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S、i的值，当i=5时，满足条件i＞4，退出循环，输出S的值即可．【解答】解：模拟执行程序框图，可得i=1，S=0，k=1；k=1，不满足条件i＞4，S=1，i=2；k=，不满足条件i＞4，S=，i=3；k=，不满足条件i＞4，S=，i=4；k=，不满足条件i＞4，S=，i=5；k=，满足条件i＞4，退出循环，输出S=．故选：C．5．“|x+1|+|x﹣2|≤5”是“﹣2≤x≤3”的（）A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分也不必要条件第9页（共23页）【考点】必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】对x分类讨论，解出不等式|x+1|+|x﹣2|≤5，即可判断出结论．【解答】解：由|x+1|+|x﹣2|≤5，x≥2时，化为2x﹣1≤5，解得2≤x≤3；﹣1≤x＜2时，化为x+1﹣（x﹣2）≤5，化为：3≤5，因此﹣1≤x＜2；x＜﹣1时，化为﹣x﹣1﹣x+2≤5，解得﹣2≤x＜﹣1．综上可得：﹣2≤x≤3．∴“|x+1|+|x﹣2|≤5”是“﹣2≤x≤3”的充要条件．故选：C．6．已知A、B分别为双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的左、右顶点，P为双曲线上一点，且△ABP为等腰三角形，若双曲线的离心率为，则∠ABP的度数为（）A．30°B．60°C．120°D．30°或120°【考点】双曲线的简单性质．【分析】双曲线的离心率为，则a=b，双曲线方程为x2﹣y2=a2，利用△ABP为等腰三角形，分类讨论，即可求出∠ABP的度数．【解答】解：双曲线的离心率为，则a=b，双曲线方程为x2﹣y2=a2，若|AB|=|BP|=2a，设P（m，n），则，∴m=2a，∴∠PBx=60°，∴∠ABP=120°；若|AB|=|AP|=2a，设P（m，n），则，∴m=﹣2a，∴∠PAB=120°，∴∠ABP=30°，故选D．7．如图，在平行四边形ABCD中，∠BAD=，AB=2，AD=1，若M、N分别是边AD、CD上的点，且满足==λ，其中λ∈[0，1]，则•的取值范围是第10页（共23页）（）A．[﹣3，﹣1]B．[﹣3，1]C．[﹣1，1]D．[1，3]【考点】平面向量数量积的运算．【分析】画出图形，建立直角坐标系，求出B，A，D的坐标，利用比例关系和向量的运算求出，的坐标，然后通过二次函数的单调性，求出数量积的范围．【解答】解：建立如图所示的以A为原点，AB，AD所在直线为x，y轴的直角坐标系，则B（2，0），A（0，0），D（，）．∵满足==λ，λ∈[0，1]，=+=+（1﹣λ）=+（1﹣λ）=（，）+（1﹣λ）（2，0）=（﹣2λ，）；=+=﹣+（1﹣λ）=（﹣2，0）+（1﹣λ）（，）=（﹣﹣λ，（1﹣λ）），则•=（﹣2λ，）•（﹣﹣λ，（1﹣λ））=（﹣2λ）（﹣﹣λ）+•（1﹣λ）=λ2+λ﹣3=（λ+）2﹣，因为λ∈[0，1]，二次函数的对称轴为：λ=﹣，则[0，1]为增区间，故当λ∈[0，1]时，λ2+λ﹣3∈[﹣3，﹣1]．故选：A．第11页（共23页）8．已知函数f（x）=，若关于x的方程f（x）﹣m=0恰有五个不相等的实数解，则m的取值范围是（）A．[0，4]B．（0，4）C．（4，5）D．（0，5）【考点】根的存在性及根的个数判断．【分析】关于x的方程f（x）﹣m=0恰有五个不相等的实数解，则y=f（x）与y=m有五个不同的交点，数形结合可得答案．【解答】解：作出函数的图象，如图所示，关于x的方程f（x）﹣m=0恰有五个不相等的实数解，则y=f（x）与y=m有五个不同的交点，∴0＜m＜4，故选B．二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分）.9．已知复数=a+bi，则a+b=2．【考点】复数代数形式的乘除运算．【分析】直接由复数代数形式的乘除运算化简求出a，b的值，则a+b的答案可第12页（共23页）求．【解答】解：∵=，∴，．则a+b=．故答案为：2．10．（﹣）8的展开式中x2的系数为70．（用数字作答）【考点】二项式系数的性质．【分析】利用通项公式即可得出．【解答】解：Tr+1==（﹣1）r，令8﹣=2，解得r=4，∴展开式中x2的系数==70．故答案为：70．11．已知一个几何体的三视图如图所示（单位：cm），则该几何体的体积为20cm3．【考点】由三视图求面积、体积．【分析】根据几何体的三视图知该几何体是直三棱柱，切去一个三棱锥，结合图中数据求出它的体积．第13页（共23页）【解答】解：根据几何体的三视图知，该几何体是直三棱柱，切去一个三棱锥，如图所示；该几何体的体积为V=×3×4×4﹣××2×3×4=20cm3．故答案为：20．12．在直角坐标系xOy，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，x轴非负半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程式ρ=﹣4cosθ，则圆C的圆心到直线l的距离为．【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．【分析】直线l的参数方程化为普通方程，圆的极坐标方程化为直角坐标方程，利用点到直线的距离公式，即可得出结论．【解答】解：直线l的参数方程为（t为参数），普通方程为x﹣y+1=0，圆ρ=﹣4cosθ即ρ2=﹣4ρcosθ，即x2+y2+4x=0，即（x+2）2+y2=4，表示以（﹣2，0）为圆心，半径等于2的圆．∴圆C的圆心到直线l的距离为=，故答案为．13．已知f（x）=x3+3x2+6x，f（a）=1，f（b）=﹣9，则a+b的值为﹣2．【考点】函数的值．第14页（共23页）【分析】推导出函数f（x）的图象关于（﹣1，﹣4）对称，（a，f（a）），（b，f（b））恰好关于（﹣1，﹣4）对称，由此能求出a+b的值．【解答】解：∵f（x）=x3+3x2+6x，f（a）=1，f（b）=﹣9，∴f（x）=（x+1）3﹣3x﹣1+6x=（x+1）3+3x﹣1=（x+1）3+3（x+1）﹣4，∴函数f（x）的图象关于（﹣1，﹣4