第7章 参数估计7.4 区间估计

第四节区间估计一、区间估计的基本概念二、典型例题三、小结一、区间估计的基本概念1.置信区间的定义含有一个未知参的分布函数设总体);(xFX,数1),(0对于给定值确定的两个统计量nXXX,,,21),,,(21nXXX满足对于任意和),,,(21nXXX)},,,(),,,({2121nnXXXXXXP,1的置信区的置信度为是则称随机区间1),(，若由样本,)(.1为置信水平,的置信下限和置信上限关于定义的说明,虽然未知被估计的参数,但它是一个常数,没有随机性.),(是随机的而区间因此定义中下表达式)},,,(),,,({2121nnXXXXXXP1:的本质是,1),(的真值的概率包含着参数以随机区间,间的双侧置信区间分别称为置信度为和1:还可以描述为若反复抽样多次(各次得到的样本容量相等,都是n)),,(间每个样本值确定一个区另外定义中的表达式)},,,(),,,({2121nnXXXXXXP1).,(1的概率落入随机区间以而不能说参数,的真值的真值或不包含包含每个这样的区间或按伯努利大数定理,在这样多的区间中,真值的约占包含,)%1(100.%100不包含的约占例如,1000次反复抽样.101000个真值的约为个区间中不包含0.01,若则得到的2.求置信区间的一般步骤(共3步)，以及其它未知参数的分布不依赖于使W)1(的函数和寻求一个样本nXXX,,,21，);,,,(WW21nXXX称具这种性质的函数W为枢轴量.,),,,(21nXXX其中,等式,),,,(21都是统计量nXXX.1的置信区间的一个置信度为是就那么),()2(,1对于给定的置信度ba,出两个常数定使得});,,,({21bXXXZaPn1得到等价的不从);,,,(21bXXXZan)3(,固定　　样本容量n,1固定　　置信水平单击图形播放/暂停ESC键退出单击图形播放/暂停ESC键退出.区间估计精度降低,可信程度增大,间长度增大置信区,1增大置信水平.区间估计精度提高,可信程度不变,间长度减小置信区,增大样本容量n解,的无偏估计是因为X,参数的例1,),(~2NX设总体,2为已知,为未知的样本，是来自设XXXXn,,,21的置信水平求.1的置信区间为且nX/),1,0(N~)1,0(N所服从的分布nX/是不依赖于任何未知,分位点的定义按标准正态分布的上有二、典型例题/2/znXP2/2/znXznXP,1即,1的置信区间的一个置信水平为于是得1这样的置信区间常写成.2/znX.,2/2/znXznX)1(其置信区间的长度为.22/zn,05.0,1,161n中取如果在例,96.1025.02/zz查表可得.1.961610.95X的置信区间得一个置信水平为由一个样本值算得样本均值的观察值,20.5x则置信区间为),49.020.5().69.5,71.4(即.1:的置信区间是不唯一的置信水平为注意,05.01中如果给定在例,95.0/01.004.0znXzP则又有,95.0}{04.001.0znXznXP即.0.95,04.001.0的置信区间为的置信水平也是故znXznX其置信区间的长度为.)(01.004.0zzn比较两个置信区间的长度2L1L.21LL显然置信区间短表示估计的精度高.说明:对于概率密度的图形是单峰且关于纵坐标,3.92n025.02zn,4.08n)(01.004.0zzn使置信区间长度最小.能易证取a和b关于原点对称时,轴对称的情况,补充例题三、小结点估计不能反映估计的精度,故而本节引入了区间估计.求置信区间的三个步骤..1}{,),(),,(－有意的即对于任置信水平概率参数具有预先给定的高它覆盖未知间置信区间是一个随机区P