高中物理竞赛中的数学知识(超全面)

第1页共30页初等数学在物理竞赛中的应用一、函数1．正比例函数0kkxyk为常数2．反比例函数0kxkyk为常数3．一次函数0b0kbkxyk、b为常数4．二次函数0acbxaxy2a为常数（1）当2abx时，函数有极值4ab4acy2。若a0，函数有极小值；若a0，函数有极大值。（2）函数是否存在y=0的x值，取决于4acb2二、不等式1．不等式的基本性质（略）2．均值不等式nnnaaanaa112a1（ai0）(1)若naa21a为定值时，当且仅当a1=a2=…=an时，nnaaa11有最大值(naa21a)/n。(2)若nnaaa11为定值时，当且仅当a1=a2=…=an时，naa21a有最小值nnnaaa11。3．三角不等式1sinθ11cosθ1三、三角函数和差角公式:二倍角公式：升降幂公式:xyo正比例函数k0k0xyo二次函数k0k0xyo一次函数bxyo二次函数a0第2页共30页三倍角公式:半角公式:万能公式:四、求极值的方法1、代数方法（1）二次函数的极值（2）利用一元二次方程的判别式（3）利用不等式（4）配方2、利用三角函数3、利用几何方法4、利用物理方法（1）加速度a=0时，物体的速度有极值；（2）同一直线上运动的两个物体速度相等时，距离有极值；五、圆锥曲线在平面解析几何中，把圆、椭圆、双曲线和抛物线统称为圆锥曲线。它们的标准方程分别是：1、圆：22020Ryyxx)()(圆心坐标（x0，y0），半径为R2、椭圆：1byax2222（ab0）中心坐标（0，0），半长轴为a，半短轴为b，半焦距22bac，离心率1ace0，准线方程cax23、双曲线：1byax2222（a0b0）中心坐标（0，0），实轴长为2a，虚轴长为2b，半焦距22bac，离心率1ace，A第3页共30页准线方程cax2，渐近线xaby4、抛物线：2pxy2顶点坐标（0，0），焦点坐标（,02p），离心率e=1，准线方程2px圆锥曲线的一般形式为：0FEyDxCyBxyAx22（A、B、C不能同时为0）（1）若04ACB2，对应的曲线为椭圆或圆；（2）若04ACB2，对应的曲线为抛物线；（3）若04ACB2，对应的曲线为双曲线；圆锥曲线还具有以下光学性质：（1）椭圆：从椭圆的一个焦点发出的光线经过椭圆面反射后，汇聚于椭圆的另一个焦点；（2）抛物线：从抛物线的焦点发出的光线经过抛物面反射后，变成平行光线；（3）双曲线：从双曲线的一个焦点发出的光线经过双曲线面反射后，反向延长线汇聚于双曲线的另一个焦点；第4页共30页高中物理竞赛中的高等数学一、微积分初步物理学研究的是物质的运动规律，因此经常遇到的物理量大多数是变量，而要研究的正是一些变量彼此间的联系．这样，微积分这个数学工具就成为必要的了．考虑到，读者在学习基础物理课时若能较早地掌握一些微积分的初步知识，对于物理学的一些基本概念和规律的深入理解是很有好处的．所以在这里先简单地介绍一下微积分中最基本的概念和简单的计算方法，在讲述方法上不求严格和完整，而是较多地借助于直观并密切地结合物理课的需要．至于更系统和更深入地掌握微积分的知识和方法，可在通过高等数学课程的学习去完成．§1．函数及其图形1．1函数自变量和因变量绝对常量和任意常量在数学中函数的功能是这样定义的：有两个互相联系的变量x和y，如果每当变量x取定了某个数值后，按照一定的规律就可以确定y的对应值，那么称y是x的函数，并记作：y=f(x)，（A．1）；其中x叫做自变量，y叫做因变量，f是一个函数记号，它表示y和x数值的对应关系．有时把y=f(x)也记作y=y(x)．如果在同一个问题中遇到几个不同形式的函数，也可以用其它字母作为函数记号，如(x)、ψ(x)等等．①常见的函数可以用公式来表达，例如()32yfxx，212axbx，cx，cos2x，lnx，xe等等．在函数的表达式中，除变量外，还往往包含一些不变的量，如上面出现的1322e、、、、和abc、、等，它们叫做常量；常量有两类：一类如1322e、、、、等，它们在一切问题中出现时数值都是确定不变的，这类常量叫做绝对常量；另一类如a、b、c等，它们的数值需要在具体问题中具体给定，这类常量叫做任意常量．在数学中经常用拉丁字母中最前面几个（如a、b、c）代表任意常量，最后面几个（x、y、z）代表变量．当y=f(x)的具体形式给定后，就可以确定与自变量的任一特定值x0相对应的函数值f(x0)．例如：（1）若y=f(x)=3+2x，则当x=-2时y=f(-2)=3+2×(-2)=-1．一般地说，当x=x0时，y=f(x0)=3+2x0．（2）若()cyfxx，则当0xx时，00()cfxx．1．2函数的图形在解析几何学和物理学中经常用平面上的曲线来表示两个变量之间的函数关系，这种方法对于直观地了解一个函数的特征是很有帮助的．作图的办法是先在平面上取一直角坐标系，横轴代表自变量x，纵轴代表因变量（函数值）y=f(x)．这样一来，把坐标为（x，y）且满足函数关系y=f(x)的那些点连接起来的轨迹就构成一条曲线，它描绘出函数的面貌．图A-1便是上面举的第一个例子y=f(x)=3+2x的图形，其中P1，P2，P3，P4，P5各点的坐标分别为：（-2，-1）、（-1，1）、（0，3）、（1，5）、（2，7），各点连接成一根直线．图A-2是第二个例子()cyfxx的图形，其中P1，P2，P3，P4，P5各点的坐标分别为：1(,4)4c、1(,2)2c、(1,)c、(2,)2c、(4,)4c，各点连接成双曲线的一支．1．3物理学中函数的实例反映任何一个物理规律的公式都是表达变量与变量之间的函数关系的．下面举几个例子．（1）匀速直线运动公式：s=s0＋vt．（A．2）此式表达了物体作匀速直线运动时的位置s随时间t变化的规律，在这里t相当于自变量x，s相当于因变量y，s是t的函数．因此记作：s=s(t)＝s0＋vt，（A．3）式中初始位置s0和速度v是任意常量，s0与坐标原点的选择有关，v对于每个匀速直线运动有一定的值，但对于不同的匀速直线运动可以取不同的值．图A-3是这个函数的图形，它是一根倾斜的直线．易知它的斜率等于v．第5页共30页（2）匀变速直线运动公式：20012ssvtat，（A．4），v=v0＋at．（A．5）两式中s和v是因变量，它们都是自变量t的函数，因此记作：2001()2sstsvtat，（A．6），v=v(t)=v0＋at，（A．7）图A-4a、4b分别是两个函数的图形，其中一个是抛物线，一个是直线．（A．6）和（A．7）式是匀变速直线运动的普遍公式，式中初始位置s0、初速v0和加速度a都是任意常量，它们的数值要根据讨论的问题来具体化．例如在讨论自由落体问题时，若把坐标原点选择在开始运动的地方，则s0＝0，v0＝0，a＝g≈9.8M／s2，这时（A．6）和（A．7）式具有如下形式：21()2sstgt,（A．8）；v＝v(t)＝gt．（A．9）；这里的g可看作是绝对常量，式中不再有任意常量了．（3）玻意耳定律：PV＝C．（A．10）上式表达了一定质量的气体，在温度不变的条件下，压强P和体积V之间的函数关系，式中的C是任意常量．可以选择V为自变量，P为因变量，这样，（A．10）式就可写作：()CPPVV，（A．11）它的图形和图A-2是一样的，只不过图中的x、y应换成V、P．在（A．10）式中也可以选择P为自变量，V为因变量，这样它就应写成：()CVVPP，（A．12）由此可见，在一个公式中自变量和因变量往往是相对的．（4）欧姆定律：UIR．（A．13）当讨论一段导线中的电流I这样随着外加电压U而改变的问题时，U是自变量，I是因变量，R是常量．这时，（A．13）式应写作：()UIIUR，（A．14）；即I与U成正比．应当指出，任意常量与变量之间的界限也不是绝对的．例如，当讨论串联电路中电压在各电阻元件上分配问题时，由于通过各元件的电流是一样的，（A．13）式中的电流I成了常量，而R是自变量，U是因变量．于是U＝U(R)＝IR，（A．15）即U与R成正比．但是当讨论并联电路中电流在各分支里的分配问题时，由于各分支两端具有共同的电压，（A．13）式中的U就成了常量，而R为自变量，I是因变量，于是：()UIIRR，（A．16）即I与R成反比．总之，每个物理公式都反映了一些物理量之间的函数关系，但是其中哪个是自变量，哪个是因变量，哪些是常量，有时公式本身反映不出来，需要根据所要讨论的问题来具体分析．§2．导数2．1极限若当自变量x无限趋近某一数值x0（记作x→x0）时，函数f(x)的数值无限趋近某一确定的数值a，则a叫做x→x0时函数f(x)的极限值，并记作：0lim()xxfxa，（A．17）（A．17）式中的“lim”是英语“limit（极限）”一词的缩写，（A．17）式读作“当x趋近x0时，f（x）的极限值等于a”．极限是微积分中的一个最基本的概念，它涉及的问题面很广．这里不企图给“极限”这个概念下一个普遍而严格的定义，只通过一个特例来说明它的意义．考虑下面这个函数：232()1xxyfxx，（A．18），这里除x＝1外，计算任何其它地方的函数值都是没有困难的．例如当0x时，(0)2f，当2x，(2)8f，等等．第6页共30页但是若问x＝1时函数值f（1）＝？，就会发现，这时（A．18）式的分子和分母都等于0，即0(1)0f！用0去除以0，一般地说是没有意义的．所以表达式（A．18）没有直接给出f（1），但给出了x无论如何接近1时的函数值来．下表列出了当x的值从小于1和大于1两方面趋于1时f（x）值的变化情况：表A-1x与f(x)的变化值x232xx1x232()1xxfxx0.9-0.47-0.14.70.99-0.0497-0.014.970.999-0.004997-0.0014.9970.9999-0.0004997-0.00014.99971.10.530.15.31.010.5030.015.031.0010.0050030.0015.0031.00010.000500030.00015.0003从上表看，x值无论从哪边趋近1时，分子分母的比值都趋于一个确定的数值5，这便是x→1时f(x)的极限值．其实计算f(x)值的极限无需这样麻烦，只要将（A．18）式的分子作因式分解：3x2-x-2＝(3x＋2)(x-1)，并在x≠1的情况下从分子和分母中将因式(x－1)消去：(32)(1)()32(1)1xxyfxxxx；即可看出：x趋于1时，函数f(x)的数值趋于：3×1＋2＝5．所以根据函数极限的定义，21132lim()lim51xxxxfxx．2．2几个物理学中的实例（1）瞬时速度当一个物体作任意直线运动时，它的位置可用它到某个坐标原点O的距离s来描述．在运动过程中s是随时间t变化的，也就是说，s是t的函数：s＝s(t)．函数s(t)表示的是这个物体什么时刻到达什么地方．形象一些说，假如物体是一列火车，则函数s(t)就是它的一张“旅行时刻表”．但是，在实际中往往不满足于一张“时刻表”，还需要知道物体运动快慢的程度，即速度或速率的概念．例如，当车辆驶过繁华的街道或桥梁时，为了安全，对它的速率就要有一定的限制；一个上抛体（如高射炮弹）能够达到怎样的高度，也与它的初始速率有关，等等．为了建立速率的概念，就要研究在一段时间间隔里物体位置的改变情况．假设考虑的是从t＝t0到t＝t1的一段时间间隔，则这间隔的大小为：△t＝t1-t0．根据s和t的函数关系s（t）可知，在t0和t1＝t0+△t两个时刻，s的数值分别为s（t