高考数学大一轮复习 第三章 三角函数、解三角形 3.5 两角和与差的正弦、余弦和正切公式课件 文

第三章三角函数、解三角形第五节两角和与差的正弦、余弦和正切公式1．会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式．2．能利用两角差的余弦公式推导出两角差的正弦、正切公式．3．能利用两角差的余弦公式推导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系．4．能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).考纲下载本节主要题型有：①三角函数式的化简与求值；②三角函数式的简单证明.这部分知识难度已较以前有所降低，应适当控制其难度.请注意突破考点04高考真题演练突破考点01突破考点02突破考点03课时作业突破考点01三角函数公式的基本应用（基础送分型——自主练透）1．两角和与差的正弦、余弦和正切公式sin(α±β)＝sinαcosβ±cosαsinβ；cos(α∓β)＝cosαcosβ±sinαsinβ；tan(α±β)＝tanα±tanβ1∓tanαtanβ.2．二倍角的正弦、余弦、正切公式sin2α＝2sinαcosα；cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；tan2α＝2tanα1－tan2α.【调研1】(1)(2015·课标卷Ⅰ)sin20°cos10°－cos160°sin10°＝()A．－32B.32C．－12D.12【解析】原式＝sin20°cos10°＋cos20°sin10°＝sin(20°＋10°)＝sin30°＝12，故选D.【答案】D(2)已知0＜α＜π2，cosα＋π6＝45，则sin2α＋π12＝()A.13250B.17250C．－17250D.1750【解析】因为0απ2，cosα＋π6＝45，所以sinα＋π6＝35，sin2α＋π3＝2sinα＋π6cosα＋π6＝2425，cos2α＋π3＝2cos2α＋π6－1＝725，所以sin2α＋π12＝sin2α＋π3－π4＝22sin2α＋π3－22cos2α＋π3＝17250.【答案】B(3)(2014·江苏卷)已知α∈π2，π，sinα＝55.①求sinπ4＋α的值；②求cos5π6－2α的值．【解】①∵α∈π2，π，sinα＝55，∴cosα＝－255.∴sinπ4＋α＝22sinα＋22cosα＝1010－21010＝－1010.②由①可知sin2α＝2sinαcosα＝－45，cos2α＝35∴cos(5π6－2α)＝cos5π6·cos2α＋sin5π6·sin2α＝－4＋3310.对于三角函数公式的直接运用，特别应注意角的取值范围对相应三角函数值符号的影响，如本例中的第(3)题，首先求出cosα的值，进而求得sin2α，cos2α的值．突破考点02给角求值（重点得分型——师生共研）【调研2】(1)化简sin15°cos9°－cos66°sin15°sin9°＋sin66°的结果是()A．tan9°B．－tan9°C．tan15°D．－tan15°【解析】sin15°cos9°－cos66°sin15°sin9°＋sin66°＝sin15°·cos9°－sin24°sin15°·sin9°＋cos24°＝sin15°·cos9°－sin15°·cos9°－cos15°·sin9°sin15°·sin9°＋cos15°·cos9°－sin15°·sin9°＝－cos15°·sin9°cos15°·cos9°＝－tan9°.【答案】B(2)(2015·四川卷)sin15°＋sin75°的值是________．【解析】sin15°＋sin75°＝sin(45°－30°)＋sin(45°＋30°)＝2sin45°cos30°＝62.【答案】62对于给角求值问题，往往是非特殊角，此类问题的基本思路(1)化为特殊角的三角函数值．(2)化大角为小角，利用诱导公式，将代数式中的角尽可能化为锐角．(3)化分子、分母出现公约数进行约分求值．(4)化代数式出现正、负相消的项求值．(1)(tan10°－3)sin40°的值为()A．－1B．0C．1D．2解析：(tan10°－3)·sin40°＝(sin10°cos10°－sin60°cos60°)·sin40°＝－sin50°cos10°·cos60°·sin40°＝－2sin40°·cos40°cos10°＝－sin80°cos10°＝－1.答案：A(2)求tan70°cos10°(3tan20°－1)的值．解：原式＝tan70°cos10°3sin20°－cos20°cos20°＝sin70°cos70°cos10°－2sin10°cos20°＝－sin20°cos70°＝－1.突破考点03给值求角（重点得分型——师生共研）【调研3】已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tanβ＝－17，求2α－β的值．【解】∵tanα＝tan[(α－β)＋β]＝tanα－β＋tanβ1－tanα－βtanβ＝12－171＋12×17＝130，∴0απ2，又∵tan2α＝2tanα1－tan2α＝2×131－132＝340，∴02απ2.∴tan(2α－β)＝tan2α－tanβ1＋tan2αtanβ＝34＋171－34×17＝1.∵tanβ＝－170，∴π2βπ，－π2α－β0，∴2α－β＝－3π4.解决给值求角问题应遵循以下原则(1)已知正切函数值，选正切函数．(2)已知正、余弦函数值，选正弦函数或余弦函数，且①若角的范围是0，π2，选正、余弦皆可；②若角的范围是(0，π)，选余弦较好；③若角的范围是－π2，π2，选正弦较好．(2016·金华模拟)设α，β为钝角，且sinα＝55，cosβ＝－31010，则α＋β的值为()A.3π4B.5π4C.7π4D.5π4或7π4解析：∵α，β为钝角，sinα＝55，cosβ＝－31010，∴cosα＝－255，sinβ＝1010.∴cos(α＋β)＝cosαcosβ－sinαsinβ＝220.又α＋β∈(π，2π)，∴α＋β∈3π2，2π，∴α＋β＝7π4.答案：C突破考点04三角变换中有关角的变换（题点多变型——一题多变）角的变换技巧α＝(α＋β)－β；α＝β－(β－α)；α＝12[(α＋β)＋(α－β)]；β＝12[(α＋β)－(α－β)]；π4＋α＝π2－π4－α.【调研4】(2016·常州一模)已知α，β均为锐角，且sinα＝35，tan(α－β)＝－13.(1)求sin(α－β)的值；(2)求cosβ的值．【解】(1)∵α，β∈(0，π2)，∴α－β∈－π2，π2又∵tan(α－β)＝－130，∴α－β∈－π2，0∴sin(α－β)＝－1010.(2)由(1)可知cos(α－β)＝31010，易知cosα＝45，∴cosβ＝cos[α－(α－β)]＝cosα·cos(α－β)＋sinα·sin(α－β)＝45×31010＋35×(－1010)＝91050.【题点发散一】本例条件下，求sin(α－2β)的值．【解】∵sin(α－β)＝－1010，cos(α－β)＝31010，cosβ＝91050，sinβ＝131050.∴sin(α－2β)＝sin[(α－β)－β]＝sin(α－β)cosβ－cos(α－β)sinβ＝－2425.【题点发散二】本例中“sinα＝35”变为“tanα＝35”，其他条件不变，求tan(2α－β)的值．【解】∵tanα＝35，tan(α－β)＝－13，∴tan(2α－β)＝tan[α＋(α－β)]＝tanα＋tanα－β1－tanαtanα－β＝35－131＋35×13＝29.【题点发散三】本例中，条件变为：已知cosα－β2＝－19，sinα2－β＝23，且π2απ，0βπ2，求cos(α＋β)的值．【解】∵π2απ，0βπ2，cosα－β2＝－19，sinα2－β＝23，∴π2α－β2π，0α2－βπ2.∴sinα－β2＝459，cosα2－β＝53，∴cosα＋β2＝cosα－β2－α2－β＝cosα－β2cosα2－β＋sinα－β2·sin(α2－β)＝－19×53＋459×23＝7527.则cos(α＋β)＝2cos2α＋β2－1＝－239729.(1)当“已知角”有两个时，一般把“所求角”表示为两个“已知角”的和或差的形式；(2)当“已知角”有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”；(3)注意角的变换技巧．