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第四章平面向量、数系的扩充与复数的引入第二节平面向量基本定理及坐标表示1.了解平面向量基本定理及其意义.2.掌握平面向量的正交分解及坐标表示.3.会用坐标表示平面向量的加法、减法与数乘运算.4.理解用坐标表示的平面向量共线的条件.考纲下载本节内容在高考中一般不单独命题,常是结合向量的其他知识命制综合性的小题,多属于中低档题,问题常涉及以下几个方面:1结合向量的坐标运算求向量的值,2结合平面向量基本定理考查向量的坐标表示,3结合向量的垂直与共线等知识,求解参数问题.请注意高考真题演练突破考点01突破考点02突破考点03课时作业突破考点01向量的基本概念(基础送分型——自主练透)平面向量的坐标运算(1)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a±b=________;(2)若A(x1,y1),B(x2,y2),则AB→=________;(3)若a=(x,y),则λa=________;(4)若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b⇔________.(1)(x1±x2,y1±y2)(2)(x2-x1,y2-y1)(3)(λx,λy)(4)x1y2=x2y1【调研1】(1)(2015·课标卷Ⅰ)已知点A(0,1),B(3,2),向量AC→=(-4,-3),则向量BC→=()A.(-7,-4)B.(7,4)C.(-1,4)D.(1,4)【解析】AB→=(3,1),BC→=AC→-AB→=(-7,-4),选A.【答案】A(2)(2015·江苏卷)已知向量a=(2,1),b=(1,-2),若ma+nb=(9,-8),(m,n∈R),则m-n的值为________.【解析】由a=(2,1),b=(1,-2),可得ma+nb=(2m,m)+(n,-2n)=(2m+n,m-2n),由已知可得2m+n=9,m-2n=-8.解得m=2,n=5,从而m-n=-3.【答案】-3(3)(2016·沈阳三校模拟)向量AB→与向量a=(-3,4)的夹角为π,|AB→|=10,若点A的坐标是(1,2),则点B的坐标是()A.(-7,8)B.(9,-4)C.(-5,10)D.(7,-6)【解析】由题意,设AB→=(3a,-4a)(a0).又|AB→|=10,∴3a2+-4a2=10,解得a=2.设B(x,y),有AB→=(x-1,y-2)=(6,-8).∴x-1=6,y-2=-8⇒x=7,y=-6.故B(7,-6).【答案】D平面向量坐标运算的技巧(1)向量的坐标运算主要是利用向量加、减、数乘运算的法则来进行求解的,若已知有向线段两端点的坐标,则应先求向量的坐标.(2)解题过程中,常利用向量相等则其坐标相同这一原则,通过列方程(组)来进行求解,并注意方程思想的应用.突破考点02平面向量基本定理(重点得分——师生共研)1.平面向量基本定理如果e1,e2是同一平面内的两个________向量,那么对于这一平面内的任意向量a,________一对实数λ1,λ2,使a=________.其中,不共线的向量e1,e2叫做表示这一平面内所有向量的一组________.2.平面向量的坐标表示(1)在平面直角坐标系中,分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量i,j作为基底,对于平面内的一个向量a,有且只有一对实数x,y,使a=xi+yj,把有序数对________叫做向量a的坐标,记作a=________,其中________叫做a在x轴上的坐标,________叫做a在y轴上的坐标.(2)设OA→=xi+yj,则向量OA→的坐标(x,y)就是________的坐标,即若OA→=(x,y),则A点坐标为________,反之亦成立.(O是坐标原点).1.不共线有且只有λ1e1+λ2e2基底2.(1)(x,y)(x,y)xy(2)A(x,y)【调研2】(1)已知两点A(1,0),B(1,3),O为坐标原点,点C在第二象限,且∠AOC=5π6,OC→=-2OA→+λOB→(λ∈R),则λ=()A.-12B.12C.-1D.1【解析】如图所示,∠AOC=5π6,根据三角函数的定义,可设C-32r,12r.∵OC→=-2OA→+λOB→,∴-32r,12r=(-2,0)+(λ,3λ),∴-32r=λ-2,12r=3λ,解得λ=12.【答案】B(2)如图所示,|OA→|=|OB→|=1,|OC→|=3,∠AOB=60°,OB→⊥OC→,设OC→=xOA→+yOB→.求实数x,y的值.【解】过C作CD∥OB,交OA的反向延长线于点D,连接BC,由|OB→|=1,|OC→|=3,OB→⊥OC→,得∠OCB=30°.又∠COD=30°,∴BC∥OD,∴OC→=OD→+OB→=-2OA→+OB→,∴x=-2,y=1.平面向量基本定理的应用技巧对于基底e1,e2明确后,平面内任意向量OP→=xe1+ye2中,x,y的求法一般有三种思路:(1)几何方法.用平行四边形法则,分解OP→在e1,e2两个方向的分向量为OA→,OB→,则易知OA→=xe1,OB→=ye2,且|x|=|OA→||e1|,|y|=|OB→||e2|.(2)代数方法:即建立坐标系,由已知条件求得OP→,e1,e2的坐标,通过方程来求解.(3)线性方法:用基底e1,e2表示出与OP→相等的向量,进而表示出OP→=xe1+ye2.(2016·济南调研)如图,在△ABC中,AN→=13NC→,P是BN上的一点,若AP→=mAB→+211AC→,则实数m的值为________.【解析】因为AP→=AB→+BP→=AB→+kBN→=AB→+k(AN→-AB→)=AB→+k14AC→-AB→=(1-k)AB→+k4AC→,且AP→=mAB→+211AC→,所以1-k=m,k4=211,解得k=811,m=311.【答案】311突破考点03平面向量共线的坐标表示(高频考点型——多维探究)向量a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b⇔x1y2=x2y1.注:这里面a,b的坐标是相对于同一个基底下的坐标,而且这样的基底并不一定要求是向量直角坐标系下的基底i,j.平面向量共线的坐标表示是高考的常考内容,多以选择题或填空题的形式出现,难度较小,属容易题,且主要有以下几个命题角度:【调研3】(1)(2014·陕西卷)设0θπ2,向量a=(sin2θ,cosθ),b=(cosθ,1),若a∥b,则tanθ=________.利用两向量共线求参数【解析】∵a∥b,∴sin2θ=cos2θ,∴2sinθcosθ=cos2θ,∵θ∈0,π2,∴2sinθ=cosθ,∴tanθ=12.【答案】12(2)若a=(1,2),b=(-3,0),(2a+b)∥(a-mb),则m=________.【解析】方法1:∵a=(1,2),b=(-3,0).∴2a+b=(-1,4),a-mb=(1+3m,2).又∵(2a+b)∥(a-mb).∴-1×2-4(1+3m)=0,∴m=-12.方法2:由a,b不共线,故它们可以作一对基底则2a+b的坐标为(2,1),a-mb的坐标为(1,-m).则由2a+b∥a-mb,则-2m=1,∴m=-12.【答案】-12利用两向量共线求参数.如果已知两向量共线,求某些参数的取值时,则利用“若a=(x1,y1),b=(x2,y2),则a∥b的充要条件是x1y2=x2y1”解题比较方便.【调研4】(1)已知梯形ABCD,其中AB∥CD,且DC=2AB,三个顶点A(1,2),B(2,1),C(4,2),则点D的坐标为________.利用向量共线求点的坐标【解析】∵在梯形ABCD中,DC=2AB,AB∥CD,∴DC→=2AB→.设点D的坐标为(x,y),则DC→=(4-x,2-y),AB→=(1,-1).∴(4-x,2-y)=2(1,-1),即(4-x,2-y)=(2,-2).∴4-x=2,2-y=-2,解得x=2,y=4.故点D的坐标为(2,4).【答案】(2,4)(2)(2016·衡阳模拟)平面内给定三个向量a=(3,2),b=(-1,2),c=(4,1),请解答下列问题:①求满足a=mb+nc的实数m,n;②若(a+kc)∥(2b-a),求实数k.③若d满足(d-c)∥(a+b),且|d-c|【解】①由题意得(3,2)=m(-1,2)+n(4,1).所以-m+4n=3,2m+n=2,得m=59,n=89.②a+kc=(3+4k,2+k),2b-a=(-5,2).∵(a+kc)∥(2b-a).∴2×(3+4k)-(-5)(2+k)=0,∴k=-1613.③设d=(x,y),d-c=(x-4,y-1),a+b=(2,4),由题意得4x-4-2y-1=0,x-42+y-12=5,解得x=3,y=-1或x=5,y=3,∴d=(3,-1)或d=(5,3).利用两向量共线的条件求向量坐标.一般地,在求与一个已知向量a共线的向量时,可设所求向量为λa(λ∈R),然后结合其他条件列出关于λ的方程,求出λ的值后代入λa即可得到所求的向量.也可以先设出a=(x,y),依据条件列方程.【调研5】已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),则AC与OB的交点P的坐标为________.解决三点共线问题【解析】法1:由O,P,B三点共线,可设OP→=λOB→=(4λ,4λ),则AP→=OP→-OA→=(4λ-4,4λ).又AC→=OC→-OA→=(-2,6),由AP→与AC→共线,得(4λ-4)×6-4λ×(-2)=0,解得λ=34,所以OP→=34OB→=(3,3),所以点P的坐标为(3,3).法2:设点P(x,y),则OP→=(x,y),因为OB→=(4,4),且OP→与OB→共线,所以x4=y4,即x=y.又AP→=(x-4,y),AC→=(-2,6),且AP→与AC→共线.所以(x-4)×6-y×(-2)=0,解得x=y=3,所以点P的坐标为(3,3).【答案】(3,3)三点共线问题:A、B、C三点共线⇔AB→与AC→共线,进而通过方程知识解决问题.
本文标题:高考数学大一轮复习 第四章 平面向量、数系的扩充与复数的引入 4.2 平面向量基本定理及坐标表示课件
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