2017-2018学年浙江省丽水市高一(上)期末数学试卷(解析版)

2017-2018学年浙江省丽水市高一（上）期末数学试卷（解析版）一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.cos7𝜋6的值是（）A.−12B.12C.−√32D.√322.函数f（x）=x2+2x（x∈[-2，1）的值域是（）A.[0,3B.[−1,3C.[−1,0D.[−1,+∞3.已知sinα＜0且tanα＞0，则α是（）A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角4.已知函数f（x）=2x-2-x（x∈R），则函数f（x）（）A.既是奇函数又是增函数B.既是偶函数又是增函数C.既是奇函数又是减函数D.既是偶函数又是减函数5.已知a∈（0，π），tana=-2，则cosa=（）A.√55B.−√55C.2√55D.−2√556.已知正方形ABCD的边长为1，𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗=𝑎⃗⃗，𝐵𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝑏⃗，𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗=𝑐⃗，则𝑎⃗⃗+𝑏⃗+𝑐⃗等于（）A.0B.3C.√2D.2√27.奇函数f（x）在区间（-∞，0）上单调递减，且f（-1）=0，则不等式（x-1）f（x-1）＜0的解集是（）A.(−∞,0)∪(2,+∞)B.(0,1)∪(1,2)C.(−∞,0)∪(0,2)D.(0,1)∪(2,+∞)8.已知𝑒1⃗⃗⃗，𝑒2⃗⃗⃗是夹角为60°的两个单位向量，则𝑎⃗⃗=2𝑒1⃗⃗⃗+𝑒2⃗⃗⃗与𝑏⃗=-3𝑒1⃗⃗⃗+2𝑒2⃗⃗⃗的夹角是（）A.30∘B.60∘C.120∘D.150∘9.已知函数f（x）={−𝑥−1,𝑥0𝑥−1,𝑥≥0，则函数g（x）=𝑓(𝑥−1)+𝑓(𝑥+1)2的图象大致是（）A.B.C.D.10.已知log1𝑎x1=loga+1x2=log√𝑎x3＞0，则x1，x2，x3的大小关系可以是（）A.𝑥1𝑥2𝑥3B.𝑥3𝑥1𝑥2C.𝑥2𝑥1𝑥3D.𝑥2𝑥3𝑥111.已知函数f（x）=sinωx（ω∈N+）在区间（0，𝜋3）上至多取到两次最大值，且在区间（𝜋3，𝜋2）上不单调，则满足条件的ω的个数是（）A.6B.7C.8D.912.已知12≤≤34，设函数f（x）=5x-1-和g（x）=5x-1-2的零点分别为x1，x2和x3，x4，则x1+x2+x3+x4的最小值是（）A.log53B.log54C.1D.2二、填空题（本大题共7小题，共34.0分）13.已知全集U={1，2，3，4，5，6，7}，集合A={1，2，3}，B={2，3，4}，则A∩B=______，∁UA=______．14.已知向量𝑎⃗⃗=（1，2），𝑏⃗=（x，-1）．若𝑎⃗⃗∥𝑏⃗，则x=______；若𝑎⃗⃗⊥𝑏⃗，则x=______．15.计算：1.50+√643-0.5-2=______；2-2+log23=______．16.已知扇形的圆心角为𝜋3，弧长为π，则该扇形的面积S=______．17.已知函数y=sin（ωx+φ）（ω＞0，φ＜π）的部分图象如图所示，则φ=______．18.已知函数f（x）=x2+bx，若{yy=f（x），x∈R}⊆{yy=f（f（x）），x∈R}，则实数b的取值范围是______．19.已知O是△ABC外接圆的圆心，AB=6，AC=15，𝐴𝑂⃗⃗⃗⃗⃗=x𝐴𝐵⃗⃗⃗⃗⃗+y𝐴𝐶⃗⃗⃗⃗⃗，2x+3y=1，则cos∠BAC=______．三、解答题（本大题共4小题，共56.0分）20.已知函数f（x）=sin（2x+𝜋3）．（Ⅰ）若f（x0）=1，求x0的值；（Ⅱ）求函数y=f（x）在区间[𝜋2，π上的最大值和最小值．21.已知函数f（x）=𝑎⋅2𝑥−12𝑥−1．（Ⅰ）若f（x）是奇函数，求实数a的值；（Ⅱ）当0＜x≤1时，f（2x）-f（x）≥1恒成立，求实数a的取值范围．22.如图，在平面直角坐标系中，已知点A（2，0）和单位圆上的两点B（1，0），C（-35，45），点P是劣弧𝐵𝐶⏜上一点，∠BOC=α，∠BOP=β．（Ⅰ）若OC⊥OP，求sin（π-α）+sin（-β）的值；（Ⅱ）设f（t）=𝑂𝐴⃗⃗⃗⃗⃗+t𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗（t∈R），当f（t）的最小值为1时，求𝑂𝑃⃗⃗⃗⃗⃗•𝑂𝐶⃗⃗⃗⃗⃗的值．23.已知函数f（x）=x2+ax+b，实数x1，x2满足x1∈（a-1，a），x2∈（a+1，a+2）．（Ⅰ）若a＜-23，求证：f（x1）＞f（x2）；（Ⅱ）若f（x1）=f（x2）=0，求b-2a的取值范围．答案和解析1.【答案】C【解析】解：cos=cos（）=-cos=．故选：C．直接利用诱导公式化简求解即可．本题考查诱导公式的应用，三角函数化简求值，是基本知识的考查．2.【答案】B【解析】解：∵函数f（x）=x2+2x=（x+1）2-1的对称轴x=-1，开口向上，∴函数f（x）在区间[-2，-1上单调递减，在区间[-1，1上单调递增，∴最小值为f（-1）=-1；最大值为f（-2）与f（1）中的较大的一个，∵f（-2）=0，f（1）=3，∴最大值为3．因此，函数f（x）=x2+2x，x∈[-2，1的值域为[-1，3．故选：B．先对函数进行配方，然后结合二次函数的开口方向及对称轴判断函数在已知区间上的单调性，即可求解函数的最值，进而可求．本题给出二次函数，求它在闭区间上的值域，着重考查了函数的单调性、二次函数的图象与性质等知识，属于基础题．3.【答案】C【解析】解：由sinα＜0，得α为第三或第四象限角及终边在y轴负半轴上的角；由tanα＞0，得α是第一或第三象限角．取交集得：α是第三象限角．故选：C．分别求出满足sinα＜0和tanα＞0的角α得范围，取交集得答案．本题考查三角函数值的符号，是基础题．4.【答案】A【解析】解：f（-x）=2-x-2x=-（2x-2-x）=-f（x）；∴f（x）为奇函数；∵y=2x，y=-2-x都是增函数；∴f（x）=2x-2-x是增函数．故选：A．通过求f（-x），可得出f（-x）=-f（x），从而判断出f（x）是奇函数；由y=2x和y=-2-x都是增函数，可得出f（x）是增函数，从而选A．考查奇函数的定义及判断，以及指数函数的单调性，函数单调性的定义．5.【答案】B【解析】解：∵a∈（0，π），tana=-2，∴cosa=-=-．故选：B．根据a的范围，且tana的值小于0，得到a为钝角，利用同角三角函数间基本关系求出cosa的值即可．此题考查了同角三角函数基本关系的运用，熟练掌握基本关系是解本题的关键，属于基础题．6.【答案】D【解析】解：由题意得，，且=，∴=2=2，故选：D．由题意得，=，故有=2，由此求出结果．本题考查两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，向量的模的定义，求向量的模的方法．7.【答案】A【解析】解：根据题意，函数f（x）在（-∞，0）上单调递减，且f（-1）=0，则在区间（-∞，-1）上，f（x）＞0，在（-1，0）上，f（x）＜0，又由函数f（x）为奇函数，则在区间（0，1）上，f（x）＞0，在（1，+∞）上，f（x）＜0，（x-1）f（x-1）＜0⇔或，即或，解可得：x＜0或x＞2，即x的取值范围为（-∞，0）∪（2，+∞）；故选：A．根据题意，分析可得在区间（-∞，-1）上，f（x）＞0，在（-1，0）上，f（x）＜0，结合函数的奇偶性可得在区间（0，1）上，f（x）＞0，在（1，+∞）上，f（x）＜0，又由（x-1）f（x-1）＜0⇔或，解可得x的取值范围，即可得答案．本题抽象函数的单调性以及奇偶性的应用，注意分析f（x）的取值情况，属于综合题．8.【答案】C【解析】解：∵已知，是夹角为60°的两个单位向量，∴•=1×1×cos60°=，设=2+与=-3+2的夹角为θ，θ∈（0°，180°），∵===，===，•=（2+）•（-3+2）=-6+•+2=-6++2=-，∴cosθ===-，∴θ=120°，故选：C．利用两个向量数量积的定义求出•，再求出，，•的值，根据cosθ=，求得则=2+与=-3+2的夹角θ的值．本题主要考查两个向量数量积的运算，两个向量数量积的定义，求向量的模的方法，属于中档题．9.【答案】D【解析】解：由函数f（x）=，函数g（x）=，当x=1时，可得g（1）==0．当x=0时，可得g（0）==0，排除A，B．当x=-1时，可得g（-1）==0当x=时，可得g（）==0，排除C．故选：D．根据函数g（x）=，带入特殊点即可选出答案．本题考查了函数图象变换，是基础题．10.【答案】B【解析】解：令logx1=loga+1x2=logx3=t＞0则x1=（）t，x2=（a+1）t，x3=（）t，由已知得a＞0且a≠1，此时a+1-=（）2+＞0恒成立，所以a+1＞，又幂函数y=xt（t＞0）在（0，+∞）上为递增函数，故恒有（a+1）t＞（）t，即x2＞x3，故可排除A、C、D故选：B．令logx1=loga+1x2=logx3=t＞0，则x1=（）t，x2=（a+1）t，x3=（）t，在a＞0且a≠1的条件下，利用幂函数y=xt（t＞0）在（0，+∞）上为增函数，可得x2＞x3，排除A，C，D本题考查了对数值大小比较．属基础题．11.【答案】D【解析】解：∵x∈（0，），∴ωx∈（0，），∴≤，解得，∵x∈（，），∴ωx∈（，），ω=1时，f（x）=sinx在（，）上递增，不符合题意；ω=2时，f（x）=sin2x在（，）上递减，不符合题意；ω=3时，f（x）=sin3x在（，）上递减，不符合题意；ω=4时，f（x）=sin4x在（，）上先减后增，符合题意；ω=5时，f（x）=sin5x在（，）上递增，不符合题意；ω=6时，f（x）=sin6x在（，）上先增后减，不单调，符合题意；ω=7时，f（x）=sin7x在（，）上不单调，符合题意；同理可得ω=8，9，10，11，12，13时均符合题意．故满足条件的ω有9个故选：D．因为f（x）在（0，）上至多取到两次最大值，所以≤2T+=•，∴ω≤．再验证可知：ω取4，6，7，8，9，10，11，12，13共9个值本题考查了正弦函数的单调性，属中档题．12.【答案】C【解析】解：函数y=5x-1的图象如图：设x1＜x2，∴5x1=1-，5x2=1+，可得x1=log5（1-）＜0，x2=log5（1+）＞0，又设x3＜x4，可得x3=log5（1-2）＜0，x4=log5（1+2）＞0，x1+x2+x3+x4=（x2+x4）-（x1+x3）=log5（1+）（1+2）-log5（1-）（1-2）=log5，由=，由≤，可得=，+在≤递减，可得+∈[，，即有∈[，，1-∈[，，可得log5∈[1，2，即有所求最小值为1．故选：C．由题意画出图形，得到x1，x2，x3，x4与，2的关系，从而表示出x4+x2-（x3+x1）与的关系，利用的范围结合对勾函数的单调性求得x4+x2-（x3+x1）的范围，可得所求最小值．本题考查函数零点的判定，考查数形结合的解题思想方法与数学转化思想方法，是中档题．13.【答案】{2，3}{4，5，6，7}【解析】解：全集U={1，2，3，4，5，6，7}，集合A={1，2，3}，B={2，3，4}，所以A∩B={2，3}；∁UA={4，5，6，7}．故答案为：{2，3}，{4，5，6，7}．根据交集与补集的定义，写出A∩B和∁UA即可．本题考查了交集和补集的定义与应用问题，是基础题目．14.【答案】−122【解析】解：=（1，2），=（x，-1），由∥，得-1-2x=0，即x=-；由⊥，得x-2=0，即x=2．故答案为：；2．由已知结合平面向量平行及垂直的坐标运算列式求解．本题考查平面向量平行及垂直的坐标运算，是基础的计算题．15.【答案】134【解析】解：1.50+-0.5-2=1+4-4=1．2-2+log23===．故答案为：1；．利用指数、对数的性质、运算法则直接求解．本题考查指数式、对数式化简求值，考查指数、对数的性质、