56平面向量的加法及其几何意义

2.2.1向量加法运算及其几何意义1向量：既有又有的量叫向量2相等向量：长度且方向的向量叫相等向量。1向量的关键特征是大小和方向一：复习大小方向相等相同回忆说明：2向量可以平移到平面内的任一位置1引例：如图，某对象从A点经B点到C点，两次位移AB，BC的结果，与A点直接到C点的位移AC.二：新授ABC相同=AB+BCAC如图表示橡皮条在两个力作用下，沿着GC的方向伸长了EO。撤去力F1和F2，用一个力F作用在橡皮条上，使橡皮条沿着相同的方向伸长相同的长度。问：力F对橡皮条产生的效果，与力F1与F2共同作用的效果.相同改变力F1和F2的大小和方向，重复以上实验，观察F与F1，F2关系.结论：FF1+F2=2加法的定义：如图，已知非零向量a、b在平面内任取一点A，作AB=a，BC=b，则向量AC叫做a与b的和，记作a+b，即a+b=AB+BC=AC.求两个向量和的运算，叫做向量的加法.这种求向量和的方法称为向量加法的三角形法则.向量加法的平行四边形法则：如图以同一点O为起点的两个已知向量a,b为邻边作OACB，则以O为起点的对角线OC就是a与b的和。我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则。说明：1：用三角形法则作图要求首尾相连ABCOABC说明：1：用三角形法则作图要求首尾相连ABCOABCABCB?说明：1：用三角形法则作图要求首尾相连ABCOABCABCBCBCBCBCBCBCBCBCBCBCBCB说明：1：用三角形法则作图要求首尾相连2：用平行四边形法则作图要求向量有共同的起点规定：a+00+aa==3：三角形法则与平行四边形法则本质上是一致的说明：此规定是对向量加法定义的补充4:实数相加结果是数，而向量相加结果是向量.ABCOABCabO.ABO.ABC3.例1已知向量a、b，求作向量a+b.作法1：在平面内任取一点O，作法2：在平面内任取一点O，作OA=a，AB=b，则OB=a+b.作OA=a，OB=b，连结OC，则OC=OA+OB=a+b.以OA、OB为邻边做OACB，练习1已知向量a、b，用向量加法的三角形法则作向量a+b.abababab（1）（2）（3）（4）aba+b（1）ABCaba+b（2）ABCa+bab（3）ABCa+bab（4）ABC用三角形法则作图的关键是首尾相连，结果由起点指向终点练习2已知向量a、b，用向量加法的平行四边形法则作向量a+b.abab（1）（2）a+bab（1）a+bab（2）OABCOABC用平行四边形法则作图的关键是将两向量平移到共同的起点思考：当两个向量共线时，它们的加法与数的加法关系如何？结论：abab（1）（2）4.1两向量同向时，和的模等于模的和，且方向与两向量的方向相同.2两向量异向时，和的模等于模的差的绝对值，方向与模较大的向量的方向相同.Aa+bBCa+bABC（1）（2）abab5探究：1当a、b不共线时，|a+b||a|+|b|2当a、b同向时，|a+b||a|+|b|=3当a、b异向时，|a+b|||a|-|b||=a+bABCaba+bABCaba+bABC||a|-|b||结论：|a+b||a|+|b|||a|-|b||ABCabDaba+b6探究：数的加法满足交换律与结合律，任意向量a、b的加法是否也满足交换律与结合律？结论：交换律：a+b=b+aa+bABCDababa+b6探究：数的加法满足交换律与结合律，任意向量a、b的加法是否也满足交换律与结合律？结论：交换律：a+b=b+aABCabDca+b+ca+b结合律：(a+b)+c=a+(b+c)ABCDababa+b6探究：数的加法满足交换律与结合律，任意向量a、b的加法是否也满足交换律与结合律？结论：交换律：a+b=b+aAaBCDbca+b+cb+c结合律：(a+b)+c=a+(b+c)a+b练习3.根据图示填空：(1)a+d=;(2)c+b=.练习4.根据图示填空：(1)a+b=;(2)c+d=.(3)a+b+d=;(4)e+c+d=.ABCDabcOd第3题图ABCDabcEdefg第4题图DACBcffgd+a=e+(c+d)=(c+d)+e=7.例2应用长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输，如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以5km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h.7.例2长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输，如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以5km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h.应用BCAD解：（1）如图所示，AD表示船速，AB表示水速，以AD、AB为邻边作ABCD，则AC表示船实际航行的速度.例2长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输，如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以5km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h.（1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度（保留两个有效数字）；（2）求船实际航行速度的大小与方向（用与江水速度间的夹角表示，精确到度）.答：船实际航行速度的大小约为5.4km/h，方向与水的流速间的夹角约为68°。∵tan∠CAB=,∴由计算器得∠CAB≈68°52例2长江两岸之间没有大桥的地方，常常通过轮渡进行运输，如图所示，一艘船从长江南岸A点出发，以5km/h的速度向垂直于对岸的方向行驶，同时江水的速度为向东2km/h.（1）试用向量表示江水速度、船速以及船实际航行的速度（2）求船实际航行速度的大小与方向（用与江水速度间的夹角表示，精确到度）.BCAD（2）在RtABC中，|AB|=2，|BC|=5，∴|AC|=√|AB|2+|BC|2=√22+52=√29≈5.4小结1.向量加法的定义。2.向量加法的几何意义，包括三角形法则和3.对任意向量a、b，||a|-|b|||a+b||a|+|b|。4.向量加法的运算律（1）a+b=b+a（2）(a+b)+c=a+(b+c)。5.向量的加法在实际生活中的应用。平行四边形法则。----求两个向量和的运算。